圆柱和圆锥的侧面展开图.docx
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圆柱和圆锥的侧面展开图.docx
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圆柱和圆锥的侧面展开图
例
(1)若圆锥的底面半径是3cm,母线长是5cm,则它的侧面展开图的面积是
2
cm
(2)若圆锥的母线长为5cm,高为3cm,则其侧面展开图中扇形的圆心角是度.
1
分析首先弄清圆的侧面展开图是扇形,
(1)中可直接用S扇lR求得15cm2,
(2)
中先求底面圆半径,扇形弧长,再由弧长公式求圆内角为288°.
例一个圆锥的高是10㎝,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积.分析:
如图,欲求圆锥的侧面积,即求母线长l,底面半径r.由圆锥的形成过程可知,
圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即RtSOA,且SO10,SAl,OAr,关键
∴所求圆锥的侧面积为
典型例题八
典型例题九
例一个圆锥形的零件,经过轴的剖面是一个等腰直角三角形,求它的侧面展开图的中心角.
解:
设圆锥的母线SA=l,底面半径为r,
则底边周长c=2πr,即为展开扇形的弧长,这个扇形的半径
∴2r2r,
180
说明:
圆锥展开图的应用,圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径等于圆锥母线的
长,扇形的弧长等于圆锥底面周长,千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径.
典型例题十
的边
例矩
为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是
)
A)
B)
C)
D)
分析与解答:
圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形
.因此,圆柱
的侧面积是矩形的面积,即底面周长(
圆柱的高(母线)的积,解之选(C).
典型例题十二
例一个圆锥的底面半径为10cm,母线长20cm,求:
(1)圆锥的表面积;高;(3)轴与一条母线所夹的角;(4)侧面展开图扇形的圆心角.
解
(1)S圆锥表r2rl100200300(cm2).
(2)如图,OS为圆锥的高,在RtOSA中,OSOA2AS2202
)与
2)圆锥的
102103
cm)
4)
,在RtOSA中,
设侧面展开图扇形的圆心角度数为
,则由2r180l得180,
∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.说明:
本题考查与圆锥有关的计算问题,解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式
典型例题十三
例一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形,这个直角三角形的斜边长为10厘米,现为这个工件刷油漆,若每平方厘米要2.5克油漆,问至少要油漆多少克(备用数据:
取3.14,2取1.41,结果精确到0.1)
解设圆锥的底面半径为r,母线长为l,表面积为S.
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形,∴由勾股定理得l2l2102.
∴l52(负值已舍).
12
又r105,Sr(lr)3.145(525)189.19(cm2)
2
则2.5189.19472.98473.0.
答至少要油漆473.0克.
说明:
本题考查圆锥表面积计算的应用,易错点是忽视精确度误得472.98克.
例
(1)如果圆柱底面半径为4cm,它的侧面积为64cm2,那么圆柱的母线长为().
(A)16cm(B)16cm(C)8cm(D)8cm
(2)如果圆柱底面直径为6cm,母线长为10cm,那么圆柱的侧面积为()
2222
(A)30cm(B)60cm(C)90cm(D)120cm
分析圆柱侧面展开图是矩形,
(1)可直接用公式求出母线长为8cm,故选(C),
(2)
中,由直径求出半径是关键,应选(B).
典型例题二
例已知矩形ABCD一边AB=10cm,AD=6cm,求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积.
解:
(1)以AD为圆柱高围成圆柱,则底面圆的半径r=
则圆柱表面积为S602(5)26050.
3
(2)以AB为圆柱高围成圆柱,则底面圆的半径r=
318则圆柱表面积为S602()260.
说明:
①圆柱表面积的计算;②分类思想;③圆柱各元素的关系和计算.
典型例题五
例已知矩形ABCD一边AB=10cm,AD=6cm,求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积.
5
解:
(1)以AD为圆柱高围成圆柱,则底面圆的半径r=
则圆柱表面积为S602(5)26050.
3
(2)以AB为圆柱高围成圆柱,则底面圆的半径r=
318
则圆柱表面积为S602()260.
说明:
①圆柱表面积的计算;②分类思想;③圆柱各元素的关系和计算.
典型例题九
例一个圆锥形的零件,经过轴的剖面是一个等腰直角三角形,求它的侧面展开图的中心
角.
说明:
圆锥展开图的应用,圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径等于圆锥母线的长,扇形的弧长等于圆锥底面周长,千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径.
典型例题七
例一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240°的扇形,求这个圆锥的轴截
面积.
24018解:
∵扇形的半径为18cm,圆心角为240°,∴扇形的弧长L=24
180
24∵扇形弧长等于底面圆周长,∴圆锥的母线长为18cm,底面半径=12cm
∴圆锥的高为18212265(cm),
∴圆锥的轴截面积S=2465725(cm2)
2
说明:
巩固圆锥的各元素之间的关系,弧长公式和解直角三角形等知识的应用.
典型例题六
例已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm2的正方形,求它们侧面积.
解:
∵圆柱的轴截面是正方形,且面积为16cm2
∴圆柱的高为4cm,圆柱底面直径也是4cm即底面半径为2cm.∴圆柱的侧面积=2π×2×4=16πcm2.
说明:
此题为基础题.应用圆柱轴截面的特征,圆柱各元素的关系,侧面积计算.
典型例题一
的边
为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是
)
A)
B)
C)
D)
分析与解答:
圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此,圆柱
的侧面积是矩形的面积,即底面周长()与圆柱的高(母线)的积,解之选(C).
典型例题七
例一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240°的扇形,求这个圆锥的轴截
面积.
24018解:
∵扇形的半径为18cm,圆心角为240°,∴扇形的弧长L=24
180
24∵扇形弧长等于底面圆周长,∴圆锥的母线长为18cm,底面半径=12cm
2∴圆锥的高为18212265(cm),
1∴圆锥的轴截面积S=2465725(cm2)
2
说明:
巩固圆锥的各元素之间的关系,弧长公式和解直角三角形等知识的应用.
典型例题四
例已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm2的正方形,求它们侧面积.
解:
∵圆柱的轴截面是正方形,且面积为16cm2
∴圆柱的高为4cm,圆柱底面直径也是4cm即底面半径为2cm.∴圆柱的侧面积=2π×2×4=16πcm2.
说明:
此题为基础题.应用圆柱轴截面的特征,圆柱各元素的关系,侧面积计算.
典型例题五
例
(1)若圆锥的底面半径是3cm,母线长是5cm,则它的侧面展开图的面积是
2cm.
(2)若圆锥的母线长为5cm,高为3cm,则其侧面展开图中扇形的圆心角是度.
1
分析首先弄清圆的侧面展开图是扇形,
(1)中可直接用S扇lR求得15cm2,
(2)
中先求底面圆半径,扇形弧长,再由弧长公式求圆内角为288°.
典型例题十一
已知
斜边
为轴旋转一周得一表面积
的圆锥,则这个圆锥的高等于
分析与解答:
圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的
侧面积是扇形的面积,即等于底面周长×母线长的一半.
此题在分析中要结合图形(如图)弄清欲求圆锥的高即为
的长,关键在于求底面半径
即可
求出
,解之得高=12cm.
典型例题八
例已知一个三角形的边长分别为3cm、4cm、5cm,求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积.
略解:
如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,
∵AB2=AC2+BC2,∴∠C=90
1)当以AC所在的直线为轴旋转一周时,
形成的几何体是以底面半
径为3,母线长为5的圆锥.
S全S底S侧3(53)24(cm2).
(2)当以BC所在的直线为轴旋转一周时,形成的几何体是以底面半径为4,母线长为5的圆锥.
S全S底S侧4(54)36(cm2).
(3)当以AB所在的直线为轴旋转一周时,两个圆锥的侧组成的几何体,母线长分别为
形成的几何体是同底面的
4、3.
3412
圆锥的底面半径=3412
55
S全S侧1S侧2
12
12384
55
cm2).
说明:
①分类思想;②圆锥的侧面积和表面积.
典型例题六
例一个圆锥的高是10㎝,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积
分析:
如图,欲求圆锥的侧面积,即求母线长l,底面半径r.由圆锥的形成过程可知,
圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即RtSOA,且SO10,SAl,OAr,关键找出l与r的关系,又其侧面展开图是
2l
半圆,可得关系2l,,即l2r.
2
解:
设圆锥底面半径r,扇形弧长为C,母线长为l,
2l
由题意得C2l,又C2r.
2
2l2l,得l2r
2
在RtSOA中,l2r2102
由①、②得:
r103cm,l203cm.22
∴所求圆锥的侧面积为
Srl
103320332030(cm2)
333
典型例题十
已知
斜边
为轴旋转一周得一表面积
的圆锥,则这个圆锥的高等于
分析与解答:
圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的
侧面积是扇形的面积,即等于底面周长×母线长的一半.
此题在分析中要结合图形(如图)弄清欲求圆锥的高即为
的长,关键在于求底面半径
,解之得高=12cm.
典型例题十二
例一个圆锥的底面半径为10cm,母线长20cm,求:
(1)圆锥的表面积;
(2)圆锥的高;(3)轴与一条母线所夹的角;(4)侧面展开图扇形的圆心角.
解
(1)S圆锥表r2rl100200300(cm2).
(2)如图,OS为圆锥的高,在RtOSA中,OSOA2AS2202102103
cm).
(3)设轴与一条母线所夹的角为,在RtOSA中,
AS1
sin,30.
OA2
(4)设侧面展开图扇形的圆心角度数为,则由2rl得180,
180∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.说明:
本题考查与圆锥有关的计算问题,解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式.
典型例题十三
例一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形,这个直角三角形的斜边长为10
厘米,现为这个工件刷油漆,若每平方厘米要2.5克油漆,问至少要油漆多少克(备用数据:
取3.14,2取1.41,结果精确到0.1)
解设圆锥的底面半径为r,母线长为l,表面积为S.
∴l52(负值已舍).
又r1105,Sr(lr)3.145(525)189.19(cm2)
2则2.5189.19472.98473.0.答至少要油漆473.0克.说明:
本题考查圆锥表面积计算的应用,易错点是忽视精确度误得472.98克.
典型例题十二
例圆锥的轴截面是等腰PAB,EGPAPB3,AB2,M是AB上一点,且
典型例题三
2
例
(1)如果圆柱底面半径为4cm,它的侧面积为64cm2,那么圆柱的母线长为().
(A)16cm(B)16cm(C)8cm(D)8cm
(2)如果圆柱底面直径为6cm,母线长为10cm,那么圆柱的侧面积为()
2222
(A)30cm2(B)60cm2(C)90cm2(D)120cm2
分析圆柱侧面展开图是矩形,
(1)可直接用公式求出母线长为8cm,故选(C),
(2)
中,由直径求出半径是关键,应选(B)
填空题
1.用边长分别为8和6的矩形卷成圆柱,则圆柱的底面面积是.
2.如果圆锥的高为8㎝,圆锥的底面半径为6㎝,那么它的侧面展开图的面积为
3.已知矩形ABCD,一边AB=30㎝,另一边AD=9㎝,以直线AB为轴旋转一周所得到的
圆柱的表面积为cm2(结果用表示)
4.已知一矩形的长为AB=6,宽AD=4,若以它垂直于一组对边的对称轴为轴旋转180°,
得到的立体图形的表面积为.
5.用一个圆心角为120°,半径为4的扇形做一个圆锥,那么这个圆锥的底面周长为.
6.用过轴线的平面把一个圆锥剖开得到一个等腰直角三角形,则这个圆锥的底面半径是高的倍,母线是高的倍.
7.圆柱的高与底面直径相等,如果它的侧面积为S,则底面积是
8.矩形ABCD的边AB4cm,AD2cm,以直线AD为轴旋转一周,所得的圆柱的侧
9.底面直径是10cm,高是12cm的圆锥,沿它的轴剖开得到一个三角形,该三角形
的面积是cm2
10.一个圆锥形零件的高为10cm,若经过轴的剖面是一个等腰直角三角形,则这个圆锥的
底面半径为cm,母线长为cm,侧面积为cm2,表面积为cm2
15
11.若一圆锥的侧面积为,母线长为3,则侧面展开图的圆心角为.
4
212.若一个圆锥的母线长是5cm,底面半径是3cm,则它的侧面展开图的面积是cm2.
13.一位同学制作一圆锥模型,这个模型的侧面是用一个半径为9cm,圆心角为240°的扇
形铁皮制作,再用一块圆铁片做底,那么这块圆铁片的半径为.
2
14.已知圆柱底面半径为,高为10,则圆柱侧面积是.
参考答案:
8S
1.16和9;2.60;3.702;4.42或32;5.;6.1,2.7.8.16
34
9.等腰6010.10cm,102cm,1002cm2100(21)cm211.150.12.15
13.6cm14.40.
选择题
1.在矩形ABCD中,ABCA,分别以直线AB,AC为轴旋转一周得两个圆柱,这两
个圆柱的底面积与侧面积分别有什么关系?
()
A.底面积相等,侧面积也相等B.底面积不等,侧面积相等
C.底面积相等,侧面积不相等D.底面积不等,侧面积也不等
2.如图,已知圆锥的高为4cm,底面半径为3cm,则圆锥侧面展开图的面积为()
3.一个圆锥的高为
103cm,侧面展开后是一个半圆,则圆锥的表面积是()
2
A.200cm2
2
B.300cm2
2
C.400cm
2
D.360cm2
4.在ABC中,
C90,BCa,ACb(ab),分别以AC,BC所在的直线
2
为轴旋转一周,所得的圆锥的侧面积依次记为S1,S2,则S1和S2的大小关系为()
A.S1S2B.S1S2C.S1S2D.以上情况都有可能
5.一个圆柱的侧面展开图是正方形,那么它的侧面积和底面积的比是()
(A)1(B)(C)4(D)4
6.在△ABC中,AB3,AC4,A90,把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥,其表面积为S1;把Rt△ABC绕直线AB一周得到另一个圆锥,其表面积为S2,则
S1:
S2()
(A)2:
3(B)3:
4(C)4:
9(D)39:
56
7.已知一个扇形的半径为60厘米,圆心角为150°,若用它做成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为()
(A)12.5厘米(B)25厘米(C)50厘米(D)75厘米
8.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是()
(A)60°(B)90°(C)120°(D)180°
9.如果圆柱的底面直径为4,母线长为2,那么圆柱的侧面展开图的面积等于()
(A)8(B)4(C)16(D)8
10.一张矩形纸片,两边长分别为2cm和4cm,以它的一边所在直线为轴旋转一周,所得
的圆柱的表面积一定是()
(A)24cm2或48cm2
(B)32cm2或20cm2
22
(C)24cm2或32cm2
22
(D)20cm2或48cm2
参考答案:
1.B2.B3.B4.A5.C;6.A;7.B;8.D.9.A10.A.
解答题
1.已知圆柱的底面半径为2cm,圆柱的高为3cm.求它的侧面积.
2.已知圆柱的底面直径为4cm,圆柱的高为5cm.求它的全面积.
3.已知圆拄的高为4cm,侧面积为40πcm2.求它的全面积.
4.已知矩形ABCD中,AB=4cm,BC=2cm,以AB为轴旋转一周,补上底面,求所成的圆柱的全面积;再以BC为轴旋转一周,补上底面.求所成的圆柱的全面积.比较一下两个圆柱全面积的大小.
5.已知圆锥的母线长为6cm;底面半径为2cm.求它侧面展开图的圆心角的度数.6.已知扇形的半径为4cm,圆心角为120°,用它做成一个圆锥.求圆锥的底面面积.7.已知圆锥的高为6cm,底面半径为8cm.求这个圆锥的侧面积.
8.在如图所示的矩形ABCD中,AB2cm,BC3cm,MN是它的一条对称轴。
以AB为轴旋转一周得一圆柱,再以MN为轴,旋A转半周又得一圆柱,分别求出这两个圆柱的表面积。
9.已知矩形的一边是另一边的两倍,以矩形长边的垂直平分线为轴,将矩形旋转180,得
2
一侧面积32cm2的圆柱,求这个矩形的边长。
10.已知菱形的周长为20厘米,有一角为60,若以较长的对角线为轴把菱形旋转一周,求所成的旋转体的表面积。
1
11.已知圆锥的底面半径为8cm,圆锥的侧面展开图的圆心角为150,求圆锥母线的长。
3
12.一个圆锥的高为33厘米,侧面展开图是半圆,求:
母线与底面半径之比;锥角的大小及圆锥的表面积.
13.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为a的正方形,求这个圆柱的底面半径与圆柱的母线
之比.
14.圆锥的母线与底面直径相等,求这个圆锥侧面展开图确定的扇形的弧所对的圆心角.
15.如图,已知圆锥的母线AB6,底面半径r2,求圆锥的侧面展开图的扇形圆心角
参考答案与提示:
1.12πcm2.2.28πcm2.3.50πcm2.4.(8+8/π)cm2(8+2/π)cm2第一个表面积
大.5.120°.6.64π/9cm2.7.80πcm2.8.30cm2;10.5cm29.4cm、8cm10.25cm211.20cm
12.如图所示:
AO为圆锥的高,经过AO的剖面是等腰△ABC,则AB为锥面的母线l,BO为底面半径r.
13.圆柱的侧面展开图是一个边长为a的正方形,
∴圆柱的母线长为a,底面圆的周长为a,则底面圆的半径为.
2a
∴圆柱的底面圆的半径与圆柱的母线之比为:
:
a1:
2.
214.设圆的母线长为a,则底面半径为a.
2
∴展开图确定的扇形的弧长为a,扇形所在圆的半径为a,设弧所对的圆心角为
∴180∴扇形的弧所对的圆心角为180°.
15.设扇形半径为R,弧长为l,则RAB6,l2r4
探究活动
在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图).现找出其中的一种,测
得∠C=90°,AC=BC=4,今要从这种三角形中剪出一种扇形,做成不同形状的玩具,使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上,且扇形的弧与△ABC的其他边相切.请设计出所有可能符合题意的方案示意图,并求出扇形的半径(只要求画出图形,并直接写出扇形半径).
参考答案:
r4424
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- 圆柱 圆锥 侧面 展开