浙江高考数学复习第1部分专题1 点3 平面向量含答案.docx
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浙江高考数学复习第1部分专题1点3平面向量含答案
突破点3 平面向量
(对应学生用书第14页)
[核心知识提炼]
提炼1平面向量共线、垂直的两个充要条件
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:
(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0.
(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
提炼2数量积常见的三种应用
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
(1)证明向量垂直:
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
(2)求向量的长度:
|a|==.
(3)求向量的夹角:
cos〈a,b〉==.
提炼3平面向量解题中应熟知的常用结论
(1)A,B,C三点共线的充要条件是存在实数λ,μ,有=λ+μ,且λ+μ=1.
(2)C是线段AB中点的充要条件是=(+).
(3)G是△ABC的重心的充要条件为++=0,若△ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心坐标为,.
(4)·=·=·⇔P为△ABC的垂心.
(5)非零向量a,b垂直的充要条件:
a⊥b⇔a·b=0⇔|a+b|=|a-b|⇔x1x2+y1y2=0.
(6)向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ=,
向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ=.
[高考真题回访]
回访1 平面向量的线性运算
1.(2017·浙江高考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是________,最大值是________.
4 2 [设a,b的夹角为θ.
∵|a|=1,|b|=2,
∴|a+b|+|a-b|=+
=+.
令y=+,
则y2=10+2.
∵θ∈[0,π],∴cos2θ∈[0,1],∴y2∈[16,20],
∴y∈[4,2],即|a+b|+|a-b|∈[4,2].]
2.(2014·浙江高考)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则( )
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2
D [由于|a+b|,|a-b|与|a|,|b|的大小关系与夹角大
小有关,故A,B错.当a,b夹角为锐角时,|a+b|>|a-b|,此时,|a+b|2>|a|2+|b|2;当a,b夹角为钝角时,|a+b|<|a-b|,此时,|a-b|2>|a|2+|b|2;当a⊥b时,|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2,故选D.]
3.(2014·浙江高考)设θ为两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1.( )
【68334048】
A.若θ确定,则|a|唯一确定
B.若θ确定,则|b|唯一确定
C.若|a|确定,则θ唯一确定
D.若|b|确定,则θ唯一确定
B [|b+ta|2=b2+2a·b·t+t2a2=|a|2t2+2|a|·|b|cosθ·t+|b|2.
因为|b+ta|min=1,
所以=|b|2(1-cos2θ)=1.
所以|b|2sin2θ=1,所以|b|sinθ=1,即|b|=.
即θ确定,|b|唯一确定.]
回访2 平面向量的数量积及其应用
4.(2013·浙江高考)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有·≥·,则( )
A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°
C.AB=ACD.AC=BC
D [A项,若∠ABC=90°,如图,则·=||·||cos∠BPC=||2,·=||2.当点P落在点P0的右侧时,||2<||2,即·<·,不符合;
B项,若∠BAC=90°,如图,则·=||·||cos∠BPC=-||·||,·=-||||=-3.
当P为AB的中点时,·=-4,
·<·,不符合;
C项,若AB=AC,假设∠BAC=120°,如图,则AC′=2,·=||·||cos∠BPC=-||||,·=||||cos∠BP0C=-||||=-5.当P落在A点时,-||||=-8,所以·<·,不符合.故选D.]
5.(2016·浙江高考)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1,若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是________.【68334049】
[∵a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉=1×2×cos〈a,b〉=1,
∴cos〈a,b〉=,
∴〈a,b〉=60°.
以a的起点为原点,所在直线为x轴建立直角坐标系,
则a=(1,0),b=(1,).
设e=(cosθ,sinθ),
则|a·e|+|b·e|=|cosθ|+|cosθ+sinθ|
≤|cosθ|+|cosθ|+|sinθ|
=2|cosθ|+|sinθ|
≤
=.]
6.(2015·浙江高考)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=________.
[∵e1·e2=,
∴|e1||e2|cos〈e1,e2〉=,∴〈e1,e2〉=60°.
又∵b·e1=b·e2=1>0,∴〈b,e1〉=〈b,e2〉=30°.
由b·e1=1,得|b||e1|cos30°=1,∴|b|==.]
7.(2013·浙江高考)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于________.
2 [根据题意,得
2====
==.
因为2+≥,所以0<2≤4,所以0<≤2.故的最大值为2.]
(对应学生用书第15页)
热点题型1 平面向量的运算
题型分析:
该热点是高考的必考点之一,考查方式主要体现在以下两个方面:
一是以平面图形为载体考查向量的线性运算;二是以向量的共线与垂直为切入点,考查向量的夹角、模等.
【例1】
(1)(2017·杭州第二次调研)在梯形ABCD中,AB∥DC,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=2.若=+,则|+t|(t∈R)的取值范围是( )
【68334050】
A. B.[,+∞)
C.D.[1,+∞)
(2)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )
A.-B.
C.D.
(1)A
(2)B [
(1)以A为坐标原点,AB,AD分别为x轴,y轴建立直角坐标系(图略),则D(0,1),B(2,0),C(1,1),设P(x,y),由=+得(x,y)=(0,1)+(2,0),x=,y=,所以P,
∴=,=(-1,1),即|+t|==≥,当且仅当t=时等号成立,故选A.
(2)如图所示,=+.
又D,E分别为AB,BC的中点,
且DE=2EF,所以=,=+=,所以=+.
又=-,
则·=·(-)
=·-2+2-·
=2-2-·.
又||=||=1,∠BAC=60°,
故·=--×1×1×=.故选B.]
[方法指津]
1.平面向量的线性运算要抓住两条主线:
一是基于“形”,通过作出向量,结合图形分析;二是基于“数”,借助坐标运算来实现.
2.正确理解并掌握向量的概念及运算,强化“坐标化”的解题意识,注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用.
提醒:
运算两平面向量的数量积时,务必要注意两向量的方向.
[变式训练1]
(1)已知向量a=(-1,2),b=(3,1),c=(x,4),若(a-b)⊥c,则c·(a+b)=( )
A.(2,12) B.(-2,12)
C.14D.10
(2)已知e1,e2是不共线向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0.若a∥b,则=__________.【68334051】
(1)C
(2)-2 [
(1)易知a-b=(-4,1),由(a-b)⊥c,可得(-4)×x+1×4=0,即-4x+4=0,解得x=1,
∴c=(1,4).
而a+b=(2,3),∴c·(a+b)=1×2+4×3=14.故选C.
(2)∵a∥b,∴a=λb,即me1+2e2=λ(ne1-e2),则解得=-2.]
热点题型2 三角与向量的综合问题
题型分析:
平面向量作为解决问题的工具,具有代数形式和几何形式的“双重型”,高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题,通过向量运算作为题目条件.
【例2】 (名师押题)已知向量a=,b=(cosx,-1).
(1)当a∥b时,求cos2x-sin2x的值;
(2)设函数f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,b=2,sinB=,求y=f(x)+4cos的取值范围.
[解]
(1)∵a∥b,∴cosx+sinx=0,2分
∴tanx=-,4分
∴cos2x-sin2x===.6分
(2)f(x)=2(a+b)·b=sin+,8分
由正弦定理得=,
可得sinA=.9分
∵b>a,∴A=,10分
y=f(x)+4cos=sin-.13分
∵x∈,∴2x+∈,
∴-1≤y≤-,
即y的取值范围是.15分
[方法指津]
平面向量与三角函数问题的综合主要利用向量数量积运算的坐标形式,多与同角三角函数关系、诱导公式以及和角与倍角等公式求值等问题相结合,计算的准确性和三角变换的灵活性是解决此类问题的关键点.
[变式训练2] 在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.
(1)若m⊥n,求tanx的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
[解]
(1)若m⊥n,则m·n=0.
由向量数量积的坐标公式得sinx-cosx=0,4分
∴tanx=1.6分
(2)∵m与n的夹角为,∴m·n=|m|·|n|cos,即sinx-cosx=,8分
∴sin=.12分
又∵x∈,∴x-∈,
∴x-=,即x=.15分
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