1997年考研数学三真题.docx
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1997年考研数学三真题
1997年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析
一、填空题
(1)设y=
f(lnx)ef(x)其中f可微,则dy=.
【答】
ef(x)⎡1f'(lnx)+f'(x)f(lnx)⎤dx
【详解】
⎢⎣x⎥⎦
⎣⎦
dy=d⎡f(lnx)ef(x)⎤=⎡⎣df(lnx)⎤⎦⋅ef(x)+f(lnx)def(x)
=⎡1f'(lnx)dx⎤⋅ef(x)+f(lnx)ef(x)⋅f'(x)dx
⎢⎣x⎥⎦
=⎡1f'(lnx)dx⎤⋅ef(x)+f(lnx)ef(x)⋅f'(x)dx
⎢⎣x
(2)若f(x)=
p
⎥⎦
1+
1+x2
⎰0f(x)dx,则
⎰0f(x)dx=.
【答】
4-π
1
【详解】设⎰0f(x)dx=A,
则
1
A=f(x)dx=1dx+A⋅
1-x2dx
⎰0⎰01+x2⎰0
=arctanx1+A⋅(arcsinx+x1-x2)1=π+πA
故A=
02
p
4-π.
044
(3)
t+1tt
差分方程y-y=t2t的通解为y=.
【答】
C+(t-2)2t
【详解】齐次差分方程yt+1-yt=0的通解为C.C为任意常数
设(at+b)2t是差分方程yt+1-yt=t2t的一个特解,则a=1,b=-2.因此
yt=C+(t-2)2t为所求通解.
(4)若二次型f(x,x,x)=2x2+x2+x2+2xx
+
txx
是正定的,则t的取值范围
是.
1231231223
【答】
- 【详解】f正定的充分必要条件是f对应矩阵的各阶顺序主子式大于零,因此 210 11t 2 >0, 0t1 2 解得- 19 (5)设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32),而X,…,X 和Y1,…,Y9 分别式来自总体X和Y的简单随机样本,则统计量U= X1+…+X9 服从 分布,参数为. 【答】 t,9 【详解】令X'=Xi,Y'=Yi,i=1,2,…,9 i3i3 则Xi'~N(0,1),Yi'~N(0,1),i=1,2,…,9 19 X'=X'+…+X'~N(0,32), 19 Y'=Y'+…+Y'~X2(9) 因此 U=X1+…+X9= X1'+…+X9' X' =X'= Y' 由于 X'~N(0,1),Y'~X2(9) 3 故U~t(9). 二、选择题 1-cosx2 x5x6 (1)设f(x)=⎰0sintdt,g(x)= + 则当x→0时,f(x)是g(x)的 56 (A)低阶无穷小(B)高阶无穷小 (C)等阶无穷小(D)同阶但不等价的无穷小 【】 【答】应选(B) 【详解】利用洛必达法则,有 lim f(x) =lim sinx⋅sin(1-cos)2 =lim sin(1-cos)2 x→0g(x) x→0 x4+x5 x→0 x4 x3+x4 =lim (1-cos)2 =lim4 =0. x→0 x3+x4 x→0x3+x4 (2)若f(-x)= (0,+∞)内有 f(x)(-∞ (A)f'(x)>0,f'(x)<0 (C)f'(x)<0,f'(x)>0 (B)f'(x)>0,f'(x)>0 (D)f'(x)<0,f'(x)>0 【答】应选(C) 【详解】由f(-x)= 【】 f(x),得 -f'(x)= f'(x),f'(-x)= f'(x) 可见当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0),且 f'(x)=-f'(-x)<0,f'(x)= 所以应选(C). f'(-x)<0 (2)设向量α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 (A)α1+α2,α2+α3,α3-α1 (B)α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3 (C)α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1 (D)α1+α2+α3,2α1-3α2+22α3,3α1+5α2-5α3 【】 【答】应选(C) 【详解】 (A): (α1+α2)-(α2+α3)+(α3-α1)=0 (B): (α1+α2)-(α2+α3)-(α1+2α2+α3)=0 可见(A)、(B)中向量组线性相关,(C)、(D)不能直接观察出,对于(C),令k1(α1+2α2)+k2(2α2+3α3)+k3(3α3+α1)=0 即 (k1+k3)α1+(2k1+2k2)α2+(3k2+3k3)α3=0 由于α1,α2,α3线性无关,故 ⎧k1+k3=0 ⎪2k+2k=0 ⎨ ⎩ ⎪3k 12 2+3k3=0 101 因上述齐次线性方程组的系数行列式220=12≠0,,故方程组由惟一零解,即 033 k1=k2=k3=0,故(C)中向量组线性无关,应选(C). (4)设A,B为同阶可逆矩阵,则 (A)AB=BA (B)存在可逆矩阵P,使P-1AP=B (C)存在可逆矩阵C,使CTAC=B (D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B 【】 【答】应选(D). 【详解】由题设A,B可逆,若取P=B,Q=A-1,则PAQ=BAA-1=B,即A与B等价,可见(D).成立 矩阵乘法不满足交换律,故(A)不成立;任意两个同阶可逆矩阵,不一定是相似的或合同的,因此(B)、(C)均不成立. (5)设两个随机变量X与Y相互独立且同分布: P{X=-1}=P{Y=-1}=1, 2 1 P{X=1}=P{Y=1}= 则下列各式中成立的是 2 (A)P{X=Y}=1 2 (C)P{X+Y=0}=1 (B)P{X=Y}=1 (D)P{XY=1}=1 44 【】 【答】应选(A). 【详解】 而 P{X=Y}=P{X=1,Y=1}+P{X=-1,Y=-1} =1⨯1+1⨯1=1, 22222 P{X+Y=0}=1,P{XY=1}=1. 24 =⎡-x -x⎤-1 三、在经济学中,称函数Q(x) A⎣δK + (1-δ)L⎦x为固定替代弹性生产函数,而称函 数Q=AKδL1-xδ为Cobb-Douglas生产函数(简称C-D生产函数) 试证明: 当x→0时,固定替代弹性生产函数变为C-D同阶生产函数,即有 limQ(x)=Q → x0 【详解】而且 lnQ(x)=lnA-1ln⎡⎣δK-x+(1-δ)L-x⎤⎦ x ln⎡⎣δK-x+(1-δ)L-x⎤⎦ -δK-xlnK-(1-δ)L-xlnL limln x→0x =lim x→0 δK-x +(1-δ)L-x =-δlnK-(1-δ)lnL=-ln(AKδL1-δ) 所以 x→0 limlnQ(x)=lnA+ln(KδL1-δ)=ln(AKδL1-δ) 于是 → limQ(x)=AKδL1-δ x0 =Q. 四、设u= f(x,y,z)有连续偏导数,y=y(x)和z=z(x)分别是由方程exy-y=0和 ex-xz=0所确定,求du. dx du∂f∂fdy∂fdz 【详解】 =+⋅+⋅, (*) dx∂x∂ydx∂zdx 由exy-y=0得exy⎛y+xdy⎞-dy=0 ⎜dx⎟dx ⎝⎠ dy= dx yexy 1-xexy =y2 1-xy 由ex-xz=0,得ezdz-z-xdz=0 dxdx dz=z=z dxez-xxz-z 代入(*)式得 du=∂f+y2∂f+z∂f . dx∂x1-xy∂yxz-x∂z 五、一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x(万元/吨),x为销售量(单位: 吨),商品的成本函数是C=3x+1(万元) (1)若每销售一吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量; (2)t为何值时,政府税收总额最大. 【详解】 (1)设T为总税额,则T=tx;商品销售总收入为 R=px=(7-0.2x)x=7x-0.2x2, 利润函数为 π=R-C-T=7x-0.2x2-3x-1-tx=-0.2x2+(4-t)x-1. dπ 令=0,即-0.4x+4-t=0, dx d2π 由于dx2 =-0.4x<0,因此x=5(4-t)即为最大利润时的销售量. 2 (3)将x=5(4-t)代入T=tx,得 2 T=t⋅5(4-t)=10t-5t2 22 由dT=10-5t=0得惟一驻点t=2 dt d2T 由于dt2 =-5<0,可见当t=2时T有极大值,此时政府税收总额最大. 六、设函数f(x)在[0,+∞)上连续、单调不减且f(x)≥0.试证函数 ⎪ ⎧1⎰xtnf(t)dt, x>0 F(x)=⎨x0 ⎪⎩0, x=0 在[0,+∞)上连续且单调不减(其中n>0) 【详解1】显然当x>0时F(x)连续,又 ⎰xtnf(t)dt limF(x)=lim0=limxnf(x)=0=F(0) x→0+ x→0+x x→0+ 故F(x)在[0,+∞)上连续对于x∈(0,+∞)有 xn+1f(x)-⎰xtnf(t)dtxn+1f(x)-ξnf(ξ)x F'(x)= 0= x2x2 xn+1f(x)-ξnf(ξ) xn⎡⎣f(x)-f(ξ)⎤⎦+f(ξ)(xn-ξn) xx 其中0<ξ 因此,由f(x)在[0,+∞)上连续、单调不减知f(x)≥ F(x)在[0,+∞)上连续且单调不减. 【详解2】连续性的证明同上,由于 f(ξ),又xn>ξn,于是F'(x)≥0故 F'(x)= xn+1f(x)-xtnf(t)dt = x2 ⎰x⎡xnf(x)-tnf(t)⎤dt ⎰xxnf(x)dx-⎰xtnf(t)dt x2 =0⎣⎦ x2 ≥0. 可见F(x)在[0,+∞)上连续且单调不减. 七、从点P(1,0)做x轴垂线,交抛物线y=x2于点Q(1,1);再从Q做抛物线的切线与x轴 111 交于P2,然后又从P2做x的垂线,交抛物线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列的点 P1,Q1,P2,Q2,…Pn,Qn…. (1)求OPn; (2)求级数Q1P1+Q2P2+…+QnPn+…的和。 其中n(n≥1)为自然数,而M1M2表示点M1与M2之间的距离. 【详解】
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