高考数学一轮复习第九章解析几何96双曲线学案理.docx
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高考数学一轮复习第九章解析几何96双曲线学案理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第九章解析几何9-6双曲线学案理
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1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.
2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用.
3.理解数形结合的思想.
考点1 双曲线的定义
双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做________,两焦点间的距离叫做________.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当________时,P点的轨迹是双曲线;
(2)当________时,P点的轨迹是两条射线;
(3)当________时,P点不存在.
答案:
距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距
(1)a (2)a=c (3)a>c (1)[教材习题改编]已知双曲线两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0).双曲线上一点P到F1,F2距离之差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为________. 答案: -=1 解析: 由已知可知,双曲线的焦点在x轴上,且c=5,a=3,∴b=4,故所求方程为-=1. (2)[教材习题改编]双曲线的方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为________. 答案: 解析: 将双曲线方程化为标准方程为x2-=1,∴a2=1,b2=,∴c2=a2+b2=, ∴c=,故右焦点坐标为. 双曲线的定义: 关注定义中的条件. (1)动点P到两定点A(0,-2),B(0,2)的距离之差的绝对值等于4,则动点P的轨迹是________. 答案: 两条射线 解析: 因为||PA|-|PB||=4=|AB|, 所以动点P的轨迹是以A,B为端点,且没有交点的两条射线. (2)动点P到点A(-4,0)的距离比到点B(4,0)的距离多6,则动点P的轨迹是________. 答案: 双曲线的右支,即-=1(x≥3) 解析: 依题意有|PA|-|PB|=6<8=|AB|, 所以动点P的轨迹是双曲线,但由|PA|-|PB|=6知, 动点P的轨迹是双曲线的右支,即-=1(x≥3). [典题1] (1)已知圆C1: (x+3)2+y2=1和圆C2: (x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________. [答案] x2-=1(x≤-1) [解析] 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小), 其中a=1,c=3,则b2=8. 故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). (2)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________. [答案] 9 [解析] 如图所示, 设双曲线的右焦点为E,则E(4,0). 由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4, 则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|. 由图可得,当A,P,E三点共线时, (|PE|+|PA|)min=|AE|=5, 从而|PF|+|PA|的最小值为9. [点石成金] 双曲线定义的应用主要有两个方面: 一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系. 考点2 双曲线的标准方程与性质 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 - =1 (a>0,b>0) - =1 (a>0,b>0) 图形 性 质 范围 x≤-a或 x≥a,y∈R y≤-a或 y≥a,x∈R 对称性 对称轴: ________ 对称中心: ________ 顶点 顶点坐标: A1______, A2______ 顶点坐标: A1______,A2______ 渐近线 y=± x y=± x 离心率 e= ,e∈(1,+∞) a,b,c 的关系 c2=________ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=________; 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=________; a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 答案: 坐标轴 原点 (-a,0) (a,0) (0,-a) (0,a) a2+b2 2a 2b (1)[教材习题改编]若实数k满足0 A.焦距相等B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等D.离心率相等 答案: A 解析: 由0 (2)[教材习题改编]设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为________. 答案: a 解析: 双曲线-=1的渐近线方程为3x±ay=0,与已知方程比较可得a=2. 双曲线的标准方程: 关注实轴的位置. 双曲线的渐近线方程为y=±x,虚轴长为2,则双曲线方程为________. 答案: x2-=1或-=1 解析: 当实轴在x轴上时,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0). 由已知可知=,b=, 所以a2=1,即所求方程为x2-=1. 当实轴在y轴上时,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0). 由已知可得b=,=, 所以a2=9,即所求方程为-=1. 求双曲线的标准方程: 待定系数法. 对称轴为坐标轴,经过点P(3,2),Q(-6,7)的双曲线是________. 答案: -=1 解析: 由于不能确定双曲线的焦点在哪个轴上,故可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0). ∵所求双曲线经过P(3,2),Q(-6,7), ∴解得A=,B=-. 故所求双曲线方程为-=1. [考情聚焦] 双曲线的标准方程和几何性质是每年高考命题的热点,尤其是渐近线与离心率问题,考查的力度比较大. 主要有以下几个命题角度: 角度一 求双曲线的标准方程 [典题2] (1)过双曲线C: -=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 [答案] A [解析] 由双曲线方程知右顶点为(a,0), 设其中一条渐近线方程为y=x, 可得点A的坐标为(a,b). 设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16, 所以有(c-a)2+b2=c2, 又c2=a2+b2,则c=2a,即a==2, 所以b2=c2-a2=42-22=12. 故双曲线的方程为-=1,故选A. (2)[2017·辽宁沈阳四校联考]设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点的坐标为(,4),则此双曲线的标准方程是________. [答案] -=1 [解析] 解法一: 椭圆+=1的焦点坐标是(0,±3), 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0), 根据定义知2a=|-|=4, 故a=2.又b2=32-a2=5, 故所求双曲线的方程为-=1. 解法二: 椭圆+=1的焦点坐标是(0,±3). 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0), 则a2+b2=9, 又点(,4)在双曲线上,所以-=1, 解得a2=4,b2=5. 故所求双曲线的方程为-=1. 解法三: 设双曲线的方程为+=1(27<λ<36), 由于双曲线过点(,4),故+=1, 解得λ1=32,λ2=0(舍去). 故所求双曲线方程为-=1. [点石成金] 求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法: 设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a,b,c的方程,并求出a,b,c的值.与双曲线-=1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0). (2)定义法: 依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值. 角度二 已知离心率求渐近线方程 [典题3] 若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为( ) A.y=±2xB.y=±x C.y=±xD.y=±x [答案] B [解析] 在双曲线中离心率e===,可得=,故所求的双曲线的渐近线方程是y=±x. 角度三 已知渐近线求离心率 [典题4] [2017·苏北四市联考改编]已知双曲线的一条渐近线方程为2x-y=0,则该双曲线的离心率为________. [答案] 或 [解析] 根据双曲线的渐近线方程知=2或=2.则e==或. 角度四 由离心率或渐近线方程求双曲线方程 [典题5] 下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( ) A.x2-=1B.-y2=1 C.-x2=1D.y2-=1 [答案] C [解析] 由双曲线焦点在y轴上,排除选项A,B,选项C中双曲线的渐近线方程为y=±2x,故选C. 角度五 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围 [典题6] 已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为( ) A.(1,)B.(1,] C.(,+∞)D.[,+∞) [答案] C [解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,则由题意得>2, ∴e==>=. 即双曲线离心率的取值范围为(,+∞). [点石成金] 解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点 (1)已知渐近线方程y=mx,若焦点位置不明确要分|m|=或|m|=讨论. (2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用. 考点3 直线与双曲线的位置关系 [典题7] 若双曲线E: -y2=1(a>0)的离心率等于,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点. (1)求k的取值范围; (2)若|AB|=6,点C是双曲线上一点,且=m(+),求k,m的值. [解] (1)由得 故双曲线E的方程为x2-y2=1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得(1-k2)x2+2kx-2=0.① ∵直线与双曲线右支交于A,B两点, ∴ 即 ∴1<k<. 故k的取值范围为(1,). (2)由①得x1+x2=,x1x2=, ∴|AB|=· =2=6, 整理得28k4-55k2+25=0, ∴k2=或k2=. 又1<k<,∴k=, ∴x1+x2=4,y1+y2=k(x1+x2)-2=8. 设C(x3,y3),由=m(+), 得(x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2)=(4m,8m). ∵点C是双曲线上一点, ∴80m2-64m2=1,得m=±. 故k=,m=±. [点石成金] 研究直线与双曲线位置关系问题的通法: 将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定. 已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),求双曲线E的方程. 解: 设双曲线E的标准方程为-=1(a>0,b>0), 由题意知c=3,a2+b2=9, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 两式作差,得 ===, 又AB的斜率是=1, 所以将4b2=5a2代入a2+b2=9得a2=4,b2=5. 所以双曲线E的标准方程是-=1. [方法技巧] 1.双曲线标准方程的求法 (1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时,其标准方程可设为-=1(mn>0),这样可避免讨论和复杂的计算;也可设为Ax2+By2=1(AB<0),这种形式在解题时更简便; (2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为b2x2-a2y2=λ(λ≠0),据其他条件确定λ的值; (3)与双曲线-=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0),据其他条件确定λ的值. 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程-=0就是双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程. 3.双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e=⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系). 4.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. 5.过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a+2|AB|. [易错防范] 1.在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支. 2.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x,-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x. 3.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如: 当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点. 4.要牢记在双曲线中c2=a2+b2,离心率e>1这两点是不同于椭圆的. 真题演练集训 1.[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( ) A.(-1,3)B.(-1,) C.(0,3)D.(0,) 答案: A 解析: 由题意,得(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2 2.[2016·天津卷]已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 答案: D 解析: 根据圆和双曲线的对称性,可知四边形ABCD为矩形.双曲线的渐近线方程为y=±x,圆的方程为x2+y2=4,不妨设交点A在第一象限,由y=x,x2+y2=4得xA=,yA=,故四边形ABCD的面积为4xAyA==2b,解得b2=12,故所求的双曲线方程为-=1,故选D. 3.[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知F1,F2是双曲线E: -=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( ) A.B. C.D.2 答案: A 解析: 设F1(-c,0),将x=-c代入双曲线方程,得-=1,所以=-1=, 所以y=±. 因为sin∠MF2F1=, 所以tan∠MF2F1== ===-=-=, 所以e2-e-1=0,所以e=.故选A. 4.[2016·浙江卷]已知椭圆C1: +y2=1(m>1)与双曲线C2: -y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( ) A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1 C.m 答案: A 解析: 由于m2-1=c2,n2+1=c2,则m2-n2=2,故m>n,又(e1e2)2=·=·==1+>1,所以e1e2>1.故选A. 5.[2016·北京卷]双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a=________. 答案: 2 解析: 双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,由已知可得两条渐近线方程互相垂直,由双曲线的对称性可得=1.又正方形OABC的边长为2,所以c=2,所以a2+b2=c2= (2)2,解得a=2. 6.[2016·山东卷]已知双曲线E: -=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________. 答案: 2 解析: 如图,由题意不妨设|AB|=3,则|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,则在Rt△BMN中, |MN|=2c=2, 故|BN|= ==. 由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=-=1,而2c=|MN|=2,所以双曲线的离心率e==2. 课外拓展阅读 求双曲线离心率的易错点 [典例] [2016·天津模拟]已知双曲线-=1(mn>0)的一条渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为________. [易错分析] (1)未考虑m,n的取值,易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况; (2)易将弄错,从而导致失分. [解析] 当m>0,n>0时, 则有=,所以=, e===; 当m<0,n<0时, 则有=,所以=, e===, 综上可知,该双曲线的离心率为或. [答案] 或 温馨提醒 (1)对于方程-=1表示的曲线一定要视m,n的不同取值进行讨论,m,n的取值不同表示的曲线就不同. (2)对于双曲线-=1(mn>0)的焦点位置不同,则的值就不一样,一定要注意区分.
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