半角旋转模型.docx
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半角旋转模型
•内容:
半角旋转模型,三垂直模型,以及旋转相似模型
探究:
(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且/EAF=45°
试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果:
;
(2)如图2,若把
(1)问中的条件变为在四边形ABCD中,AB=AD,/B+ZD=180E;,
1
F分别是边BC、CD上的点,且ZEAFdZBAD”则U
(1)问中的结论是否仍然成立?
若成
2
立,请给出证明,若不成立,请说明理由;
(3)在
(2)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时,
如图3所示,其它条件不变,则
(1)问中的结论是否发生变化?
若变化,请给出结论并予以证明..
小伟遇到这样一个问题
如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为DC、BC边上的点,
D
,连结EF,求证:
DE+BF=EF.
图2
AD
E
BC
图3
小伟是这样思考的:
要想解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线
段上•他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法,发现通过旋转可以解决此问题•他的方法
是将△ADE绕点A顺时针旋转90。
得到△ABG(如图2),此时GF即是DE+BF.
请回答:
在图2中,/GAF的度数是
DADkD
参考小伟得至C的结论和思考问题的方法
解决下列问题:
E
(1)如图3,在直角梯形ABCD中,AD//BC(AD>BC),
OBxBFCGBFC/D=90图4AD=CD=10,图是CD上一点,若JBAE=45°,
DE=4,则BE=•
(2)如图4,在平面直角坐标系xOy中,点B是x轴上一动点,且点A(3,2),连结AB和AO,并以AB为边向上作
正方形ABCD,若C(x,y),试用含x的代数式表示y,
已知:
正方形ABCD中,MAN45°,绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC
(或它们的延长线)于点M、N•
(1)如图1,当MAN绕点A旋转到BMDN时,有BMDNMN•当
MAN绕点A旋转到BMDN时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?
如
果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;
(2)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎样的等
量
关
系?
请写出你的猜想,并证明.
24.如图1,在等腰直角△ABC中,/BAC=90°,AB=AC=2,点E是BC边上一点,
/DEF=45。
且角的两边分别与边AB,射线CA交于点P,Q.
(1)如图2,若点E为BC中点,将ZDEF绕着点E逆时针旋转,DE与边AB交于点P,EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x,CQ为y,试求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)
如图3,点E在边BC上沿B到C的方向运动(不与B,C重合),且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点.探究:
在ZDEF运动过程中,△AEQ能否构成等腰三角形,若能,求出BE的长;若不能,请说明理由.
的三角板ABC沿直线I向右平移,设C、E两点间的距离为k.
解答问题:
(1)①当点C与点F重合时,如图2所示,可得处的值为;
DM
②在平移过程中,jAM的值为(用含k的代数式表示);
DM
(2)将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转,原题中的其他条件保持不变•当点A落在
线段DF上时,如图3所示,请补全图形,计算jAM的值;
DM
(3)将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度,0<90,原题中的其他条件保
持不变•计算如的值(用含k的代数式表示).
DM
昌平22.阅读下面材料
小伟遇到这样一个问题:
如图1,在正三角形ABC内有一点P,且PA=3,PB=4,
小伟是这样思考的
PC=5,求ZAPB的度数.
如图2,利用旋转和全等的知识构造△APC,连接PP,得到两
个特殊的三角形,从而将问题解决
请你回答:
图1中ZAPB的度数等于.
参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=22,PB=1,PD=,则ZAPB的
度数等于,正方形的边长为;
(2)如图4,在正六边形ABCDEF内有一点P,且PA=2,PB=1,PF=13,则ZAPB的
度数等于,正六边形的边长为.
通州24.(9分)在平面直角坐标系xOy中,点B(0,3),点C是x轴正半轴上一点,连结BC,过点C作直线CP//y轴.
(1)若含45。
角的直角三角形如图所示放置.其中,一个顶点与点O重合,直角顶点D在线段BC上,另一个顶点E在CP上.求点C的坐标;
(2)若含30。
角的直角三角形一个顶点与点O重合,直角顶点D在线段BC上,另一个顶点E在CP上,求点C的坐标.
y
B
P
B
B
A
E
O
r\C
xO
xO
x
第24题图备用图备用图
(西城19)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形PABC的边长为1,将其沿x轴的正
方向连续滚动,即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC顺时针旋转90。
得到第二个
正方形,再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90得到第三个正方形,
依此方法继续滚动下去得到第四个正方形,…,第n个正方形.设滚动过程中的点P的
坐标为(x,y).
(1)画出第三个和第四个正方形的位置,并直接写出第三个正方形中的点P的坐标;
(2)画出点P(x,y)运动的曲线(0总<4),并直接写出该曲线与x轴所围成区域的
面积.
东城24.问题1:
如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=BC=CD,点M,N分别在
1
AD,CD上,若dMBN=—ZABC,试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系?
请
2
直接写出你的猜想,不用证明;
问题2:
如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,ZABC+ZADC=180。
,点M,N分别在
AM,CN又有怎样的数量关系?
写出你的猜想,并给予证明
昌平24.在厶ABC中,AB=4,BC=6,/ACB=30°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△AiBCi.
(1)如图1,当点Ci在线段CA的延长线上时,求/CCiAi的度数;
(2)如图2,连接AAi,CCi.若厶CBG的面积为3,求厶ABAi的面积;
(3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在厶ABC绕点B按逆时针
方向旋转的过程中,点P的对应点是点Pi,直接写出线段ER长度的最大值与最小值
朝阳24.在Rt△ABC中,ZA=90°,D、E分别为AB、AC上的点.
(1)如图1,CE=AB,BD=AE,过点C作CF//EB,且CF=EB,连接DF交EB于点G,eb
连接BF,请你直接写出一一的值;
DC
1,求k的值•
2
(2)女口图2,CE=kAB,BD=kAE,_EB
DC
西城24•在Rt△ABC中,/ACB=90°,ABC=,点P在厶ABC的内部.
(1)如图1,AB=2AC,PB=3,点M、N分别在AB、BC边上,则cos=
△PMN周长的最小值为-
(2)如图2,若条件AB=2AC不变,而PA=.2,PB=■■10,PC=1,求厶ABC的面积;
(3)若PA=m,PB=n,PC=k,且kmcosnsin,直接写出ZAPB的度数.
门头沟24.已知:
在厶ABC中,AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点
E在线段DF的延长线上
,点M在线段DF上,且ZBAE=ZBDF,ZABE=ZDBM.
顺义24.如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合.三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.
(1)求证:
EFEG;
(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不
变,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理
由;
(3)如图3,将
(2)中的正方形ABCD"改为矩形ABCD",且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若ABa,BCb,求旦匚的值.
EG
朝阳22•阅读下列材料
小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,/ACB=30o,BC=6,AC=5,在厶ABC
小华是这样思考的:
要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了•他先后尝试了翻折、旋转、平移的方
法,发现通过旋转可以解决这个问题•他的做法是,如图2,将厶APC绕点C顺时针旋转
60o,得到△EDC,连接PD、BE则BE的长即为所求•
(1)请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为;
(2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题:
①如图3,菱形ABCD中,ZABC=60o,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即
可);②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长•
丰台24.在Rt△ABC中,AB=BC,/B=90。
,将一块等腰直角三角板的直角顶点0放在斜
边AC上,将三角板绕点0旋转.
(1)当点0为AC中点时,
1如图1,三角板的两直角边分别交AB,BC于E、F两点,连接EF,猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系(无需证明);
2如图2,三角板的两直角边分别交AB,BC延长线于E、F两点,连接EF,判断①中的猜想是否成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
2)当点0不是AC中点时,如图3,,三角板的两直角边分别交AB,BC于E、F两点,若
A01
AC7
求的值.
OF朝阳期末25已知:
在ABC中ACB90,CDAB于点D,点E在AC上,BE交CD于点G,EFBE交AB于点F。
如图甲,当ACBC时,且CEEA时,则有EFEG;
(1)如图乙①,当AC2BC时,且CEEA时,则线段EF与EG的数量关系是:
EFEG;
(2)如图乙②,当AC2BC时,且CE2EA时,请探究线段EF与EG的数量关
系,并证明你的结论;
(3)当ACmBC时且CEnEA时,则线段EF与EG的数量关系,并直接写出你
的结论(不用证明);
IS甲
图乙①
图乙②
BMDN=;(用含a的
西城期末24.已知:
如图,正方形ABCD的边长为a,BM,DN分别平分正方形的两个外
角,且满足
MAN45,连结MC,NC,MN.
(1)填空:
与厶ABM相似的三角形是△
代数式表示)
(2)求MCN的度数;
(3)猜想线段BM,DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.
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