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函数的有关概念
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中
的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合
A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x)
,x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做
函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|
x∈A}叫做函数的
值域.
例1.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从
A到B的函数是(
)
A.f:
xy
1
y
1
C.f:
x
y
2
yx
xB.f:
x
x
xD.f:
x
2
3
3
例2.某物体一天中的温度是时间
t的函数:
T(t)t3
3t
60,时间单位是小时,温度单位为℃,t0
表示12:
00,其后t的取值为正,则上午
8时的温度为(
)
A.8℃
B.112℃
C.58℃
D.18℃
例3.函数y
f(x)的图象与直线x
a的交点个数有(
)
A.必有一个
B.一个或两个
C.至多一个
D.可能两个以上
2.定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
例3.函数y=x+1+
1x的定义域是
A.(-1,1)
B.[0,1]C
.[-1,1]
D.(-,-1)(1,+
)
1
例4.函数y=x+1+2-x的定义域是(用区间表示)________.
1
例5.
求函数y=x+x2-4
的定义域.
例6.
已知函数f(x)x2
x1
(1)求f
(2)
(2)求f(1
1)(3)若f(x)
5,求x的值.
x
3.相同函数的判断方法:
(满足以下两个条件)①定义域一致(化简前)②表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
例7.下列各题中两个函数是否表示同一函数
?
(1)f(x)
1,g(x)x0
()
(2)f(x)
x2
4
g(x)x
2
(
)
x
2
(3)f(x)
x2
2x,g(t)t2
2t()
(4)f(x)|x1|,g(x)
x1(x1)
()
1
x(x
1)
4.值域:
先考虑其定义域
b(a,b0)
(1)图像观察法(掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、yax
x
1
三角函数等的图像,利用函数单调性)
(2)基本不等式
(3)换元法
(4)判别式法
例8.下列函数中值域是(0,+
)的是
A.y
2x1(x0)
B.yx2
C.y
1
1
D.2(x0)
例9.求下列函数的值域:
x2
x
(1)y
2x4
(2)yx2
4x6,x
[1,5)(3)
y
1
x2,x{2,1,0,1,2}
x3
5.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y)均在C上.
(2)画法
描点法
图象变换法:
常用变换方法有三种:
平移变换伸缩变换对称变换
例10.函数f(x)的图象经过点(1,1),则函数f(x4)的图象过点
6.区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
7.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的
任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从
集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)B(象)”
对于映射f:
A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
8.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
x2+3
(x>0),
例11.已知f(x)=1
(x=
0),
则f(f(f(-4)))
=()
x+4
(x<
0).
A.-4
B.4C.3
D.-3
2x
1(x
1)
例12.已知函数f(x)
2x(x
x2
1)
2
(1)试比较f(f(3))与f(f(3))的大小.
(2)若f(a)3,求a的值.
例13.画出下列函数的图象
并写出值域.
(1)f(x)|x|
(2)f(x)
|x2
2x|(3)f(x)|x5||x3|
9.复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 (2)减函数 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 注意: 函数的单调性是函数的局部性质; (3)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降 的。 (4)函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法: ○1任取x1,x2∈D,且x1 ○2作差f(x1)-f(x2); ○3变形(通常是因式分解和配方); ○4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ○5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)导数法 (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性相关,规律: “同增异减” 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间写成其并集. 例1. 函数f(x)=ax 2-(5a-2)x-4 在2, 上是增函数,则a的取值范围是______________. 例2. 判断函数y x 4 2, 上的单调性,并用定义证明. 在在 x 例3. 已知函数f(x)是定义在[ 1,1]上的增函数,且f(x1)f(1 3x),求x的取值范围. 2.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 3 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数。 (2)奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数。 注: 如果奇函数在x=0处有定义,则f(0)=0 (3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. (4)函数奇偶性判定方法: (A)定义法 ○1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○2 求出f(-x),与f(x)进行比较; ○3 作结论: 若f(-x)=f(x) ,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x) ,则f(x)是奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,再根据定义判定。 (B)借助函数的图象判定. 例4.判断下列函数的奇偶性 ①f(x)x31; ②f(x)2x112x; x 1x2 ③f(x)x4 x; f(x) ④ |x2|2。 3、函数的解析表达式 (1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 凑配法、待定系数法、换元法、构造法 例10.已知f(2x)2x,则f(x) A.2xB.xC.xD.4x 2 例11.定义域为R的函数f(x)满足f(x)2f(x)2x1,则f(x)=() 11 A.-2x+1B.2x-3C.2x-1D.-2x+3 例12.已知f(x)是二次函数,f(0)0,f(x1)f(x)x1,求f(x). 4、函数最大(小)值 (1)一般的,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (a)对于任意的xI,都有f(x)M; (b)存在x0I,使得f(x0)M 那么称M为yf(x)的最大值。 (2)求函数最值的方法 ○1利用二次函数的性质(配方法) 4 ○2 利用图象求函数的最大(小)值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x) 在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x) 在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 1.当x[0,5]时,函数f(x)3x2 4x 1的值域为 A. [f(0), f(5)]B. [f(0),f (2)] C. [f (2), f(5)]D.(f(0),f(5)] 1 3 3 2.函数f(x) x 在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是 1,1 1 1 1 1 A. B. 1, C. 1 D. 1, 5 5 7 7 3.函数f(x)2x1x的值域是 A.[1 ) B. (,1 ] C. (0,) D. [1,) 2 2 2x,0x1 4.f(x)2,1x2的值域是 3,x 2 A.R B. [0,3] C. [0,)D.[0,2]{3} 5.若0 t 1 则代数式 1 t的最小值是 4 t A. 2 B. 15 C.2 D.0 4 5 函数的概念 一、选择题 1.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数是() A.f: x y 1x B.f: x y 1x C.f: x y 2x D.f: x yx 2 3 3 2.某物体一天中的温度是时间 t的函数: T(t)t3 3t 60,时间单位是小时,温度单位为℃,t0 表示12: 00 ,其后t的取值为正,则上午 8时的温度为( ) A.8℃ B.112℃C.58℃ D.18℃ 3.函数y= x+1+ 1x的定义域是 A.(-1,1) B.[0,1] C.[-1,1] D.(- ,-1)(1,+ ) 4.函数yf(x)的图象与直线 x a的交点个数有( ) A.必有一个 B.一个或两个 C.至多一个 D.可能两个以上 5.函数 f(x) ax2 1 的定义域为R,则实数 a 的取值范围是 () 4ax3 A. R B.[0,3] C .[3, ) D.[0,3) 4 4 4 二、填空题 6.某种茶杯,每个 2.5元,把买茶杯的钱数 y(元)表示为茶杯个数 x(个)的函数,则y=________, 其定义域为________. 1 7.函数y= x+1+2-x的定义域是(用区间表示)________. 三、解答题 1 8.求函数y=x+x2-4的定义域. 9.已知函数f(x)的定义域为[0,1],求函数f(x a) f(x a)的定义域 (其中 0a 1 ). 1 2 10.已知函数f(x)x2 x 1 (1) 求f (2) (2)求f( 1)(3)若f(x) 5,求x的值. x 函数相等、函数的值域 1.下列各题中两个函数是否表示同一函数 ? (2)f(x) 1,g(x)x0 () (2)f(x) x2 4 g(x)x 2 () x 2 (3)f(x) x2 2x,g(t) t2 2t () (4)f(x) |x 1|,g(x) x 1(x 1) () 1 x(x 1) 2.下列函数中值域是(0,+)的是 A.y2x1(x0) B.yx2 C.y 1 D.2(x0) x2 x2 1 x 3.设函数f(x) 3x 1,则f(a) f(a) A.0 B. 6a C.2a2 2 D.2a2 6a2 4.已知f(x)满足2f(x) f(x)3x2,且f( 2) 16 则f (2) x22 3 5.已知函数f(x) 1 (1)计算f (2)与f (1) (2) 计算f(3) 与f (1) x 2 3 6 (3)计算f (1)f (2)f(3)...f(2011)f( 1 ) f( 1 ) f( 1 )... f( 1) 2 3 4 2011 6.求下列函数的值域: (2)y 2x 4 (2) y x2 4x6,x[1,5)(3)y1x2,x {2, 1,0,1,2} x 3 7.求函数f(x) 2x 3 13 4x的定义域和值域.(提示: 设t 13 4x) 函数的表示法 1.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离 学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图四个图形中较符合该学生走法的是() 2.已知f(2x)2x,则f(x) A.2x B.x C.x D.4x 已知函数f(x)=x2+px+q满足f 2 3. (1)=f(0) =0,则f(4)的值是( ) A.5 B.-5 C.12 D.20 4. 已知f(x)是一次函数,若2f (2) 3f (1) 5,2f(0)f (1)1,则f(x)的解析式为 A.f(x)3x2 B.f(x)3x2 C.f(x)2x3 D.f(x)2x3 5.定义域为R的函数f(x)满足f(x)2f( x)2x1,则f(x)=( ) 1 1 A.-2x+1 B.2x-3C.2x-1 D.-2x+3 6. 若g(x)12x, 1 x2 1 )的值是 f(g(x)) x2 则f( 2 A.1 B.15 C.4 D.30 7. 函数f(x)的图象经过点(1,1), 则函数f(x 4)的图象过点 8. 已知f(x)是二次函数, f(0) 0,f(x 1) f(x)x1,求f(x). 9. 若f(f(f(x))) 27x 26,求一次函数 f(x)的解析式. 分段函数与映射 x2+3 (x>0), .已知 f (x) =1 (x=0), 则 f(f(f( - 4))) = () 1 x+4 (x<0). A.-4 B.4C.3 D.-3 2已知函数f(x) 2x1(x 1) 2 2x(x x 1) (1)试比较f(f(3))与f(f(3))的大小. (2)若f(a)3,求a的值. 7 3.画出下列函数的图象,并写出值域. (2)f(x)|x| (2) f(x) |x2 2x|(3) f(x) |x5
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