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琴生不等式讲师版
自招竞赛数学讲义
琴生不等式和幂平均不等式
知识定位
不等式问题在高考中较为简单,但是在自招和竞赛中,是非常重要且富于变化的一类问题。
在复旦大学近三年自主招生试题中,不等式题目占12%,其中绝大多数涉及到不等式的证明;交大华约中,不等式部分通常占10%-15%,其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。
本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式,希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。
知识梳理
琴生不等式
1.凸函数的定义:
设连续函数的定义域为,对于区间内任意两点,都有,则称为上的下凸(凸)函数;
反之,若有,则称为上的上凸(凹)函数。
常见的下凸(凸)函数有,上的,上的,等
常见的上凸(凹)函数有上的,,上的等
2.琴生(Jensen)不等式
若为上的下凸(凸)函数,则
上式等号在时取到
反之显然:
若为上的上凸(凹)函数,则上式不等号反向
琴生(Jensen)不等式证明(数学归纳):
1)时,由下凸(凸)函数性质知结论成立;
2)假设时命题成立,即
那么当时,设,
所以
所以,变形即得证。
3.加权平均琴生不等式:
若为上的下凸(凸)函数,且,则
4.曲线凸性的充分条件:
设函数在开区间内具有二阶导数,
(1)如果对任意,,则曲线在内是下凸的;
(2)如果对任意,,则在内是上凸的。
幂平均不等式
若,且,,则.
(幂平均不等式的证明见当堂练习题)
推论:
由幂平均不等式得
例题精讲
【试题来源】2006复旦
【题目】
设,且,下列不等式成立的有
(1)
(2)
(3)(4)
【选项】(A)
(1)(3)(B)
(1)(4)(C)
(2)(3)(D)
(2)(4)
【答案】B
【解析】
y=tanx在给定区间上是下凸函数;y=sinx是上凸函数,由凹函数、凸函数定义和性质显然。
【知识点】当堂例题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
证明:
(1)在上是上凸函数
(2)在上是上凸函数
(3)上是下凸函数
【答案】(证明题)
【解析】
证明:
(1)对
(2)对
即:
.
(3)当时
(∵)
即:
.
【知识点】凹函数、凸函数的定义
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
用琴生不等式证明均值不等式,即:
.
【答案】(证明题)
【解析】
证:
∵
设,则为上的上凸函数
由琴生不等式:
即
【知识点】琴生不等式
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
证明幂平均不等式:
若,且,,则
【答案】(证明题)
【解析】
时,为下凸函数,
,
用代替,得证。
当和时,有同样的结论。
注:
,构造解题。
两边同形,把看成是关键。
【知识点】琴生不等式
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
,且a+b+c=3,求证:
.
【答案】(证明题)
【解析】
证明:
设,则上的上凸函数.
由琴生:
∴.
【知识点】琴生不等式
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
定义在(a,b)上,在(a,b)上恒大于0,且对,。
求证:
当时,有。
【答案】(证明题)
证明:
由题:
对,有,两边取常对:
则有
即
于是:
令,则为(a,b)上下凸
由琴生不等式:
对,有
即.
【知识点】琴生不等式
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
设,,
求证:
【答案】(证明题)
【解析】
设函数,则,
所以在上下凸,
所以
又由算术平均不大于平方平均得
所以
所以
注:
,适合应用琴生不等式。
构造函数,用二阶导数判断函数的凸性,求导运算是关键。
【知识点】琴生不等式
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
已知,,求证:
【答案】(证明题)
【解析】
因为在上是上凸函数,且
由加权平均琴生不等式
()
所以
注:
“两边取自然对数,把积化为和”是处理乘积问题的常用手段
【知识点】加权平均琴生不等式
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
证明赫尔德(Holder)不等式:
是个正实数,,
则
【答案】(证明题)
【解析】
令,上凸,
,所以
累加得,得证。
注:
变形:
,再变形
对第项取自然对数,得是加权平均琴生(Jensen)不等式的形式。
好方法是在有目的的变形之后想到的。
【知识点】加权平均琴生不等式
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】匈牙利奥林匹克数学竞赛
【题目】
求椭圆内接n边形的最大面积
【答案】
【解析】
【知识点】琴生不等式
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
习题演练
【试题来源】02成都模拟
【题目】
在中,的最大值为()
【选项】
ABCD
【答案】C
【解析】
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后随堂练习
【难度系数】1
【试题来源】02成都模拟改编
【题目】
在锐角中,的最大值为()
【选项】
ABCD
【答案】B
【解析】略。
(方法与上题雷同)
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后两周练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
若是一组实数,且(为定值),试求的最小值。
【答案】
【解析】
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后随堂练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
设是的三个内角,是非负常数,求的最大值。
【答案】
【解析】
在中,,
考察,其在上凸,
因此
所以最大值为
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后随堂练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
已知:
求证:
.
【答案】(证明题)
【解析】
在上为下凸函数(求二阶导数可证:
),所以对不等式左边取对数有:
,
即
∴得证
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后随堂练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
证明不等式,其中,均为正数。
【答案】(证明题)
【解析】
证设由的一阶和二阶导数
可见,时为严格凸函数,依詹森不等式有
从而
即
又因所以
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后随堂练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
求证:
在凸四边形中,有
1)
2)
【答案】(证明题)
【解析】
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后随堂练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
若
则求证:
1)
2)
【答案】(证明题)
【解析】
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后随堂练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
【答案】(证明题)
【解析】
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后随堂练习
【难度系数】3
【试题来源】2011湖北
【题目】
设均为正数,证明:
(i)若,则
(ii)若,则。
【答案】(证明题)
【解析】
证明:
(i)令g(x)=lnx(x>0),则g”(x)=g(x)在(0,+)上是上凸函数,对于ak(0,+),(k=1,2,…,n),由琴生不等式:
(ii)由(i)知,g(x)=lnx在上是上凸函数,由琴生不等式:
10对于bk(0,1),且
(*)
(此处提供了左边不等式另一种证明方法,构造一个更普通的函数g(x)=lnx后利用加权平均琴生不等式)
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后两周练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
已知,求证:
(1)当时,有不等式;
(2)当时,有不等式。
【答案】(证明题)
【解析】
(1)当时,,在上是上凸函数,
所以(因为,所以等号不能取)
所以
递推得,
从而有,故
(2)当时,,在上是下凸函数,
类似
(1)可证
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后两周练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
且求证:
等号成立当且仅当
【答案】(证明题)
【解析】
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后两周练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
设,且,证明:
【答案】(证明题)
【解析】
由,得,所以
设,则,,
所以在时上是上凸函数,
所以即
所以
【知识点】琴生不等式
【适用场合】课后一个月练习
【难度系数】3
【试题来源】IMO预选
【题目】
已知,且,求证:
【答案】(证明题)
【解析】
因为
,
设,则它是上凸函数,由琴生不等式得
又,所以
所以
【知识点】琴生不等式
【适用场合】阶段测验
【难度系数】4
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- 不等式 讲师
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