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弹性力学第五章
弹性力学第五章
弹性力学基础与高教教材配套
弹性力学土木工程学院
许强
弹性力学基础与高教教材配套
第五章§5-1§5.2§5.3§5.4§5.5
线弹性体的本构关系应变能和本构关系广义胡克定律各向异性弹性体各向同性弹性体余能密度
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第五章
线弹性体的本构关系
前面已进行了应力分析和应变分析,导出了平衡方程和几何方程。
但是,在一般情况下,仅有平衡方程和几何方程还不能解决实际问题。
例如,对两个材料不同,但形状相同的物体,在相同的约束和相同的外力作用下,它们的位移和变形是不同的。
因此,要解决实际问题,还需要研究材料性质。
反映材料性质的应力、应力变化率等和应变、应变率等之间的关系称为本构关系或本构方程。
由于材料性质极其复杂,要找出适合于任何连续介质的本构关系是不可能的,甚至要找到适用于同一种连续介质在任意变形情况下的本构关系也是不可能的。
事实上,在大部分连续介质力学中,只研究一些理想的本构关系。
不同的理想本构关系有不同的适用范围。
在本书中,不考虑热效应,且只讨论在小变形情况下适用的线性弹性本构关系――广义胡克定律。
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§5-1
应变能和本构关系
下面讨论可以不计热效应的准静态变形过程。
所谓准静态变形过程是指任意时刻的速度和加速度都小到可以忽略不计的过程。
准静态变形过程中的动能为零。
设位移有一增量,与之对应的应变增量为
设δui为虚拟位移,依据虚功原理可知,外力在虚位移上所做的虚功为
1δεij=(δui,j+δuj,i)2ii
(a)
∫Tδuds+∫fδudV=∫σnδuds+∫fδudV=∫(σδu)dV+∫fδudV由式(2.74)可知=∫(σ+f)δudV+∫σδudV其中:
δW=σδε(5.2)=∫σδεdV=∫δWdV(5.1)单位体积中内力所做的虚功,ii
ij
j
i
i
i
s
V
s
V
ij
i,j
i
i
V
V
ij,j
i
i
ij
i,j
ij
ij
V
V
ij
ij
即应变能密度增量。
V
V
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在式(5.1)的计算中,利用了平衡方程(4.12)、(4.17)及式(4.19)和关系(a)。
式(5.1)表明,外力所做的功等于内力所做的功。
δW是单位体积中内力所做的功。
弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程。
外力在准静态过程中所做的功全部转化为由于变形而储存在弹性体内的能量,这种能量称为应变能。
不管按什么路径或顺序卸载,卸载后物体恢复到未变形的初始状态,应变能全部释放出来。
因此,应变能是状态函数,单位体积中的应变能即应变能密度是状态变量应变的单值函数。
因为应变能等于外力所做的功,所以式(5.1)的最右边内力所做的功就是应变能的增量,δW是应变能密度的增量。
由于应变能密度是应变的单值函数,故δW必定是全微分,即
dW=σijdεij
(5.3)(5.4)(5.5
)
W=∫σijdεij0
εij
从式(5.3)或(5.4),可得
Wσij=εij
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Wσij=εij
(5.5)
上式称为格林(Green)公式。
只要已知应变能密度的具体函数形式,就可用Green公式求出应力和应变之间的关系,即弹性材料的本构关系。
把无应变的自然状态作为加载前物体的平衡状态,并假定这一自然状态是稳定的平衡状态。
加载后的平衡状态称为变形状态或干扰状态。
根据稳定平衡状态的定义可知,在准静态变形过程中,从稳定的平衡状态到相邻的变形状态,外力必须做正功。
从式(5.1)得
V
∫δWdV0
(b)
由于V可以是任取的体积元,所以上式要求δW0。
令自然状态的应变能为零,则变形状态的应变能密度必正定,即
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由于V可以是任取的体积元,所以上式要求δW0。
令自然状态的应变能为零,则变形状态的应变能密度必正定,即
W≥0上式中的等号当且仅当ε为零时成立。
(5.6)
§5.2
广义胡克定律
在应变很小的条件下,在εij=0附近把应变能密度按Taylor级数展开,并略去εij二次以上的项其中
1W=c+bijεij+Eijklεijεkl2εij=0
(5.7)
c=W
bij=
Wεijεij=0
(a)
Eijkl
2W=εijεkl
(b)εij=0
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因为
2W2W2W2W===εijεklεjiεklεijεlkεklεij
所以,根据式(b)的定义,有
Eijkl=Ejikl=Eijlk=Eklij
(5.8)
取无应变状态时的应变能密度为零,则(a)式中的第一式要求c=0。
把式(5.8)代入式(5.5),并利用式(5.8),得
σij=W=bij+1(Eijklεkl+Eklijεkl)=bij+Eijklεkl2εij
(5.9)
显然bij是无应变时的初应力。
按无初始应力假定,应取bij=0,所以式(5.9)和(5.7)可简化成
σij=EijklεklW=1Eijklεijεkl=1σijεij22
(5.10)(5.11)
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式(5.11)表示应力是应变的线性函数,这一本构关系称为广义胡克(Hooke)定律。
式(5.11)和商法则表明,Eij是一个四阶张量,称为弹性系数张量或弹性模量张量。
一般的四阶张量有81个独立的分量。
但是,对最一般的线性弹性材料,由于有对称性关系(5.9),四阶弹E性模量张量只有21个独立的分量。
对均匀弹性体,弹性模量张量E是和空间位置r无关的常张量。
但对非均质弹性体,张量E是空间位置即矢径r的函数。
对线弹性材料,式(5.12)表明应变能密度W是应变ε的二次型,而且前一节的结论要求W是ε的正定二次型。
利用W的正定性,可以证明式(5.10)是可逆的,即可以用应力来表示应变
εij=Cijklσkl
(5.12)
其中Cijkl称为柔度系数张量,它也有类似于式(5.8)所表示的对称性。
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§5.3
各向异性弹性体
如果材料在各个方向的性质不相同,我们就说这种材料是各向异性的。
对极
端各向异性弹性体,上一节已经证明只有21个独立的弹性常数。
对工程中用到的材料而言,或多或少存在一些材料性质的对称性。
下面将讨论几种常见的各向异性弹性体。
为叙述方便起见,把本构关系(5.10)改写成如下形式。
σx=C11εx+C12εy+C13εz+C14γxy+C15γyz+C16γzxσy=C21εx+C22εy+C23εz+C24γxy+C25γyz+C26γzxσz=C31εx+C32εy+C33εz+C34γxy+C35γyz+C36γzx(5.13)τxy=C41εx+C42εy+C43εz+C44γxy+C45γyz+C46γzxτyz=C51εx+C52εy+C53εz+C54γxy+C55γyz+C56γzxτzx=C61εx+C62εy+C63εz+C64γxy+C65γyz+C66γzx其中C11=E1111,C12=E1122,C14=E1112,等。
由于Eijkl=Eklij,故Cij=Cji。
注意,Cij不是一个二阶张量。
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(1)具有一个弹性对称面的弹性体如果存在一个平面,沿和该平面垂直的两个方向具有相同的弹性,则该平面称为弹性对称面,而与其垂直的方向称为弹性主方向。
设xy平面为弹性对称面,z轴方向就是主方向。
把z轴反向即作坐标变换x′=x,y′=y,z′=-z,则在新坐标系中的应力和应变为
σx′=σxσy′=σyσz′=σzτx′y′=τxyτy′z′=τyzτz′x′=τzx(a)
εx′=εxεy′=εyεz′=εz(b)γx′y′=γxyγy′z′=γyzγz′x′=γzx
σx′=C11εx′+C12εy′+C13εz′+C14γx′y′C15γy′z′C16γz′x′σy′=C21εx′+C22εy′+C23εz′+C24γx′y′C25γy′z′C26γz′x′把式(a)和(b)代入式σz′=C31εx′+C32εy′+C33εz′+C34γx′y′C35γy′z′C36γz′x′(5.13),得τx′y′=C41εx′+C42εy′+C43εz′+C44γx′y′C45γy′z′C46γz′x′τy′z′=C51εx′+C52εy′+C53εz′+C54γx′y′C55γy′z′C56γz′x′(c)τz′x′=C61εx′+C62εy′+C63εz′+C64γx′y′C65γy′z′C66γz′x′
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由于轴的z轴正负两个方向的弹性相同,因此在上述坐标变换前后的应力应变关系(5.13)和(c)应该相同。
故必有C15=C16=C25=C26=C35=C36=C45=C46
于是,独立的弹性常数减少到13个。
式(5.13)简化成σx=C11εx+C12εy+C13εz+C14γxyσy=C21εx+C22εy+C23εz+C24γxyσz=C31εx+C32εy+C33εz+C34γxyτxy=C41εx+C42εy+C43εz+C44γxy(5.14)τyz=C55γyz+C56γzxτzx=C65γyz+C66γzx
(2)正交各向异性弹性体除了xy平面为弹性对称面外,假定xz平面也为弹性对称面。
用和上一段类似的方法,可以证明
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C14=C24=C34=C56=0独立的弹性常数减少到9
个。
式(5.14)变成
σx=C11εx+C12εy+C13εzσy=C21εx+C22εy+C23εz==σz=C31εx+C32εy+C33εzτxy=C44γxyτyz=C55γyzτzx=C66γzx
(5.15)
若进一步假设yz平面也为弹性对称面,经过和前面相同的推导,发现应力应变关系仍然是(5.15)。
这一结果表明,若三个相互垂直的平面中有两个弹性对称面,则第三个面也必是弹性对称面。
这种弹性体称为正交各向异性弹性体。
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(3)横观各向同性弹性体若材料性质关于某一轴(不妨设为z轴)对称,也就是说,在和这一轴垂直的xy平面内的任何方向具有相同的弹性性质,或者说,xy平面是各向同性平面,则这种弹性体就称为横观各向同性弹性体。
显然,xy平面和xz平面都是对称面,故横观各向同性弹性体必定是一种正交各向异性体,式(5.15)仍成立。
由于x方向和y方向的性质相同,把x轴和y轴互换,式(5.15)应该不变。
由此推得
C11=C22,C13=C23,C55=C66所以,独立的弹性常数减少到6个,式(5.15)变成σx=C11εx+C12εy+C13εzσy=C21εx+C11εy+C13εzσz=C31εx+C31εy+C33εzτxy=C44γxyτyz=C55γyzτzx=C55γzx
(d)
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使坐标系绕z轴旋转一个任意角度,如图5.1所示。
根据张量的变换关系,有τx′y′=(σyσx)sin2+τxycos2γx′y′=(εyεx)sin2+γxycos212
zz'(e)
在新坐标系中,式(d)中的第四式仍然成立,即
ox
y'y
τx′y′=C44γx′y′把式(e)代入上式,得12
x'
(σyσx)sin2+τxycos2=C44[(εyεx)sin2+γxycos2]
利用(d)中的第四式和的任意性,上式可化成
σyσx=2C44(εyεx)
(f)
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式(d)中的第二式的两边减去第一式的两边,得σyσx=(C11C12)(εyεx)(g)
比较(f)和(g)两式,得到
C44=1(C11C12)2把式(h)代入式(d),得横观各向同性弹性体的本构关系如右σx=C11εx+C12εy+C13εzσy=C21εx+C11εy+C13εzσ=Cε+Cε+Cεz31x31y33zτxy=1(C11C12)γxy2τ=Cγ55yzyzτzx=C55γzx
(5.16)
由此可见,横观各向同性弹性体有5个独立的弹性常数。
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§5.4
各向同性弹性体
如果沿所有方向的弹性性质都相同,则这种材料称为各向同性弹性材料。
在数学上,如果应力应变关系的分量形式和坐标系无关,则对应的材料必定是各向同性的。
因为x方向和z方向的弹性相同,因此把x轴和z轴互换,应力和应变的关系(5.16)仍应成立。
由此可推得C13=C12,C33=C11,C55=1(C11C12)2
σx=C12θ+(C11C12)εxσ=Cθ+(CC)ε121
112yy所以对各向同性弹性材料,只σ=Cθ+(CC)ε121112zz有两个独立的弹性常数。
式(5.16)τxy=(C11C12)εxy可改写成(a)τyz=(C11C12)εyzτzx=(C11C12)εzx
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令λ=C12,μ=(C11-C12)/2,并称λ,μ为Lame(拉梅)系数。
式(a)可写成
σx=λθ+2μεxσy=λθ+2μεyσz=λθ+2μεz或用张量表达成
τxy=2μεxyτyz=2μεyzτzx=2μεzx(5.17b)
(5.17a)
σij=λθδij+2μεij
也可把上式写成式(5.10)的形式,即
其中
σij=Eijklεkl(5.17c)Eijkl=λδijδkl+μ(δikδjl+δilδjk)
(5.18)
很容易验证式(5.18)所示弹性模量张量在坐标变换时不变。
事实上利用式(2.17)可得
Ei′j′k′l′=Eijklβi′iβj′jβk′kβl′l=λβi′iβj′iβk′kβl′k+μ(βi′iβj′jβk′iβl′j+βi′iβj′jβk′jβl′i)
=λδi′j′δk′l′+μ(δi′k′δj′l′+δi′l′δj′k′)
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在式(5.17b)中,令i=j,并求和,可得
Θ=(3λ+2μ)θ=3Kθ其中2K=λ+μ3
(5.19)(5.20)体积模量(5.21)
从式(5.17b)和(5.19)可得偏应力和偏应变之间的关系
Sij=2μeij
式(5.17)是用应变表示应力的关系。
利用式(5.19),从式(5.17b)可导得用应力表示应变的关系。
1λεij=σijΘδ(5.22)2μ2μ(3λ+2μ)ij考虑只在x方向简单拉伸的情况。
此时,只σx有不为零。
式(5.22)变成
εx=
λ+μλσxεy=εz=σγ=γyz=γzx=0μ(3λ+2μ)2μ(3λ+2μ)xxy
(b)
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在实用中,简单拉伸时的应力应变关系常写成如下形式
γxy=γyz=γzx=0(c)E其中E是杨氏(Young)弹性模量,υ是泊松(Poisson)比。
比较式(b)和(c),得E
εx=
σx
εy=εz=
ν
σx
μ(3λ+2μ)E=,λ+μ或λ=Eν,(1+ν)(12ν)
λν=2(λ+μ)μ=E2(1+ν)
(5.23)(5.24)(d)(e)(5.25)
从式(5.22)可得剪应力和剪应变之间的关系在实用中,经常把式(d)写成
γxy=
γxy
μ1=τxyG
1
τxy
其中G是剪切弹性模量。
从式(d)和(e)可得
μ=G
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利用式(5.24),应力应变关系(5.22)可化成
εij=其展开形式为
1+ννσijΘδijEEγxy=
(5.26a)
1εx=[σxν(σy+σz)]E1εy=E[σyν(σz+σx)]ε=1[σν(σ+σ)]xyzEz
2(1+ν)τxyE2(1+ν)γyz=τyzE2(1+ν)γzx=τzxE
(5.26b)
式(5.19)和(5.20)也可写成
112νθ=Θ=Θ3KE
(5.27)
K=
E3(12ν)
(5.28)
利用式(5.17),各向同性体的应变能密度可具体表示成
11W=σijεij=λθ2+μεijεij22μ212222=λθ2+μ(εx+εy+εz2)+(γxy+γyz+γzx)22
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- 弹性 力学 第五