线性变换练习题.docx
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线性变换练习题.docx
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线性变换练习题
线性变换习题
一、填空题
3
1.设是P3的线性变换,(a,b,c)(2bc,a4b,3a),a,b,cP,1(1,0,0),
2(0,1,0),3(0,0,1)是P3的一组基,则在基1,2,3下的矩阵为
3
,又123P,则()。
2.设A为数域P上秩为r的n阶矩阵,定义n维列向量空间Pn的线性变换:
()A,Pn,则dim1(0)=,dim(Pn)=。
112
3.设P上三维列向量空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵是201,则
121
在基2,1,3下的矩阵是。
4.如果矩阵A的特征值等于1,则行列式|AE|=。
211
5.设A=121,(X)AX是P3上的线性变换,那么的零度=。
112
6.若APnn,且A2E,则A的特征值为。
7.在P[x]n中,线性变换D(f(x))f'(x),则D在基1,x,x2,L,xn1下的矩阵为。
8.在P22中,线性变换:
A
E3
10A在基E110,E201
20100200
下的矩阵是
3
2
1
9.设A5
0
2的三个特征值为1,
1
1
4
2,3,则1+2+3=
123
10.数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为维线性空间,
它与同构。
已知n阶方阵A满足A2A,则A的特征值为。
已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则|A|。
1
设为数域P上的线性空间V的线性变换,若是单射,则1(0)=
设三阶方阵A的特征值为1,2,-2,则|2A|=
在P[x]n中,线性变换D(f(x))f'(x),则D在基1,2x,3x2,L,nxn1下的矩阵为。
a11
a12
a13
已知线性变换在基1,2,3下的矩阵为a21
a22
a23,则
在基
2,
3,1下的矩
a31
a32
a33
阵为。
1
1
2
设P上三维列向量空间V的线性变换在基1,
2,
3下的矩阵是
2
0
1,则
1
2
1
在基2,1,3下的矩阵是
2的矩阵为11,线性变换在基
201
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
矩阵为
2
1
1
22.若线性变换在基
1,2,3下的矩阵为0
1
1,则在基3,2,1下的矩阵为
矩阵为
1
。
2
1
23.若APnn,且A2
E,则A的特征值为
。
选择题
列哪种变换一定是向量空间
A.fx
C.fx
当n阶矩阵A适合条件(A.
C.
A.设
A.
C.
Fxn的线性变换(
B.
fx
fxdx
D.
fx
)。
A有n个不同的特征向量A有n个不同的特征值
2,则的所有特征值为(
2B.0,2
是3维向量空间上的变换,下列
333
x1,x2,x3=x1,x2,x3
时,它必相似于对角阵。
A是三角矩阵
A是可逆矩阵
是向量空间V上的线性变换,且
x1,x2,x3=cosx1,sinx2,0
B.
D.
设
)。
C.0
中是线性变换的是(
D.0,2,1
)。
B.x1,x2,x3=2x1x2,x2x3,x3
2
D.x1,x2,x3=x1,0,0
L,r是向量空间V的线性相关的向量组,L,r在
A.线性无关
是V的一个线性变换,则向量组
n阶方阵A有n
A.充要条件
下的像
(1),
(2),L,(r)(B.线性相关C.线性相关性不确定
个不同的特征值是A可以对角化的(
C.必要而非充分条件
,则的特征值(
A.只有1
B.
D.
B.只有
充分而非必要条件
既非充分也非必要条件
)。
D.全是零向量
)。
间V的线性变换且
)。
C.有1和
D.有0和
如果方阵A与对角阵
相似,则A10=(
)。
A.E
B.A
C.
E
阶单位矩阵,
则(
)。
A.EA
E
B
C.A与B相似于同一个对角矩阵
D.10E
设A、B为n阶矩阵,且A与B相似,E为n
B.A与B有相同的特征向量和特征值
D.AB
设4级矩阵A与B相似,
B的特征值是1,2,3,4,则A的行列式是(
)。
A.-24
B.10C.24D.不能确定
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
A.
是单射
Ker()
{0}
B.是满射Im()V
C.
是双射
Ker()
{0}
D.是双射是单位映射
设A为3阶矩阵,且A
E,A
E,A2E均不可逆,则错误的是(
)
设是n维线性空间V的线性变换,那么下列说法错误的是(
)。
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
n维线性空间V的线性变换可以对角化的充要条件是()。
A.A不相似于对角阵
B.A可逆
C.|A
E|
0
D.|A
E|0
设A为3阶矩阵,且其特征多项式为f()
(1)(
1)(
2),则错误的是(
)
A.A相似于对角阵
B.A不可逆
C.|A
E|
0
D.|A
E|
0
n维线性空间V的线性变换可以对角化的充要条件是()。
A.0B.1C.2D.3
C.
x1,x2,x3=cosx1,sinx2,sinx3
D.
x1,x2,x3=x12,x2,0
设
L(V),则下列各式成立的是(
)。
A.
dimImdimKernB.Im
Ker
V
C.
ImKerVD.Im
IKer
{0}
f1(x)2x2,
f2(x)
x,
f3(x)
1xx2
()求在已知基下的矩阵;
(2)设f(x)12x3x2,求
f(x)。
2.设是二维列向量空间P2的线性变换
:
设x
x1
P2,
11定义xx。
x2
11
1)求值域
P2的基与维数;
(2)求核
1(0)的基与维数。
三、计算题
111
3.设线性变换在基1,2,3下的矩阵是A222
111
(1)求矩阵A以及线性变换的特征值与特征向量;
(2)判断是否可以对角化(即线性变换
是否在某组基下的矩阵为对角形),若
不能对角化,说明理由;若可以对角化,
求可逆阵
T,使T
1AT为对角形。
1
1
1
4.令R3表示实数域R上的三元列向量空间,令
A1
1
1,若
R3,作变换
2
2
2
()A。
1)证明为R3上的线性变换;
(2)求ker()及其维数;(3)求Im()及其维数。
1
2
1
5.设矩阵
A0
0
0,
0
0
0
(1)
求A的特征值和特征向量;
(2)
求可逆矩阵
P,使P1AP为对角矩阵。
1
1
0
1
0
6.令R3表示实数域R上的三元列向量空间,
A0
1
1,1
0,2
1
1
2
1
0
0
1)
若1
12,2
23,331,证明1,2,3为R的一组基;
2)
求1,2
3到1,2,
3的过渡矩阵;
3)
若
R3,作变换
()A,证明为R3上的线性变换;
4)
求ker(
)及其维数;
5)
求Im(
)及其维数。
设
是R3的线性变换,(x1,x2,x3)(x12x2x3,x2x3,x1x22x3)。
1)
求ker(
)及其维数;
(2)求Im()及其维数。
7.
1
11
11
可逆阵T,使T1AT为对角形矩阵。
00
61
112
11.设三维线性空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵为A011
101
12.设R[x]3表示实数域上的次数小于
1)求的值域及其维数;
(2)求的核及其维数。
f1(x)
1x,f2(x)1
2
x,
f3(x)x
2
2x2是R[x]3的一组基,线性变换
满足
f1(x)
2
x2,f2(x)
x,
f3(x)1
2xx
1)
求
在已知基下的矩阵;
2)
设f(x)12x
3x2
,求f(x)。
给定
P3
的两组基
1
(1,0,1),2
(2,1,0),
3
(1,1,1);1
(1,2,1),
2(2,2,1),3(2,1
1)。
定义线性变换
:
i
i,i1,2,3。
1)
写出由基1,2,3
到基
1,2,3的过渡矩阵;
2)
写出
在基1,2,
3下的矩阵;
3)
写出
在基1,2,
3下的矩阵。
3
2
1
设线性变
换
在基1,2,
3下的矩阵是A
2
2
2,求可逆矩阵
T,使得
3
6
1
3的多项式,再添上零多项式构成的线性空间,而
13.
14.
T1AT为对角形矩阵。
101
15.设A020。
101
(1)求A的全部特征值;
(2)求A的属于每个特征值的特征向量;
(3)求一个可逆矩阵X,使X1AX为对角形。
122
16.设
L(V),且在V的基1,2,3下的矩阵A=224
。
问
242
(1)
是否可以对角化
(2)若
能对角化,求出V的一个基,使在此基下的矩阵为对角矩阵。
4
6
0
17.设数域
P上三维线性空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵A
3
5
0
3
6
1
1)求在基1212,22123,3123下的矩
阵;
2)设1223,求在基1,2,3下的坐标。
四、证明题
2,L
变子空间。
4.设W1,W2是向量空间V的两个子空间,是V的一个线性变换,证明:
若W1,W2都是
的不变子空间,则W1W2也是的不变子空间。
5.设是向量空间V的一个线性变换,W1,W2都是的不变子空间。
证明:
W1W2也是的不变子空间。
6.证明:
线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。
2
7.设是数域P上的n维线性空间V的线性变换,且2E(恒等变换)。
(1)证明:
的特征值只能为1或-1;
(2)用V1,V1分别表示的属于特征值1和1的特征子空间,证明:
VV1V1。
8.设为数域P上的n维线性空间V的线性变换。
证明:
dimImdimKern。
9.设,L(P[x]),且f(x)P[x],(f(x))f(x),(f(x))xf(x).证明I.其中I为恒等变换。
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