最新数学必修二第二章知识点和试题.docx
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最新数学必修二第二章知识点和试题
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高中数学必修2知识点总结
第二章
直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1平面含义:
平面是无限延展的
2三个公理:
(1)公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
.
符号表示为
A∈L
A
B∈L=>L
α
α·
A∈α
L
B∈α
公理1作用:
判断直线是否在平面内.
(2)公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
A
B
符号表示为:
A、B、C三点不共线=>
有且只有一个平面α,
α·
C·
·
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:
确定一个平面的依据。
(3)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:
P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L
β
公理3作用:
判定两个平面是否相交的依据.
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
α
P
L
·
1空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:
同一平面内,有且只有一个公共点;
共面直线
平行直线:
同一平面内,没有公共点;
异面直线:
不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:
设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调:
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:
判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
.
4注意点:
①a'与b'所成的角的大小只由
a、b的相互位置来确定,与
O的选择无关,为了简便,点
O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,);
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作
a⊥b;
2
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
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aαa∩α=Aa∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:
线线平行,则线面平行。
符号表示:
aα
bβ=>a∥α
a∥b
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
aβ
bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:
线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用:
利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理:
如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
作用:
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
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1、定义:
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平
面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点:
a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
2、二面角的记法:
二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第二章点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1.设,为两个不同的平面,l,m为两条不同的直线,且l
,m?
,有如下的两个命题:
①若
∥,则l∥m;
②若l⊥m,则⊥.那么(
).
A.①是真命题,②是假命题
B.①是假命题,②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题
2.如图,ABCD-A1B1C1D1
为正方体,下面结论错误的是(
).
..
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1角为60°
3.关于直线m,n与平面
,,有下列四个命题:
(第2题)
①m∥,n∥且∥,则m∥n;
②m⊥,n⊥且⊥,则m⊥n;
③m⊥,n∥且∥,则m⊥n;
④m∥,n⊥且⊥,则m∥n.
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其中真命题的序号是().A.①②B.③④C.①④D.②③
4.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是().A.1B.2C.3D.4
.
5.下列命题中正确的个数是().
①若直线l上有无数个点不在平面内,则l∥
②若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线l与平面
平行,则l与平面
内的任意一条直线都没有公共点
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
6.两直线l1与l2异面,过l1作平面与l2平行,这样的平面(
).
A.不存在
B.有唯一的一个
C.有无数个
D.只有两个
7.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线
BD和平面ABC所成
的角的大小为().
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
8.下列说法中不正确的
是(
).
....
A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B.同一平面的两条垂线一定共面
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9.给出以下四个命题:
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是(
).A.4
B.3
C.
2
D.1
10.异面直线a,b所成的角60°,直线a⊥c,则直线b与c所成的角的范围为(
).
A.[30°,90°]
B.[60°,90°]
C.[30°,60°]
D.[30°,120°]
二、填空题
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11.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为
S1,S2,S3,则这个三棱锥
的体积为
.
12.P是△ABC所在平面
外一点,过P作PO⊥平面
,垂足是O,连PA,PB,PC.
(1)
若PA=PB=PC,则O为△ABC的
心;
(2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则O是△ABC的
心;
(3)
若点P到三边AB,BC,CA的距离相等,则O是△ABC的
心;
(4)
若PA=PB=PC,∠C=90o,则O是AB边的
点;
(5)
若PA=PB=PC,AB=AC,则点O在△ABC的
线上.
13.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,
H,I,J分别为
AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以
后,GH与IJ所
成角的度数为
.
J
(第13题)
14.直线l与平面所成角为30°,l∩=A,直线m∈,则m与l所成角
的取值范围是.
15.棱长为1的正四面体内有一点P,由点P向各面引垂线,垂线段长度分别为d1,d2,d3,d4,则d1+d2+d3+d4的
值为.
16.直二面角-l-的棱上有一点A,在平面,内各有一条射线AB,AC与l成45°,AB,AC,
则∠BAC=.
三、解答题
17.在四面体ABCD中,△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形.
(1)求证:
BC⊥AD;
(2)若点D到平面ABC的距离等于3,求二面角A-BC-D的正弦值;
(3)设二面角A-BC-D的大小为,猜想为何值时,四面体A-BCD的
体积最大.(不要求证明)
(第17题)
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18.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点,连结ED,EC,EB和DB.
(1)
求证:
平面EDB⊥平面EBC;
(2)
求二面角E-DB-C的正切值.
(第18题)
19*.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,
SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1.
2
(1)求四棱锥S—ABCD的体积;
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
(提示:
延长BA,CD相交于点E,则直线SE是
所求二面角的棱.)
20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为
10,这个侧面与它所对棱的距离等于
6,求这个棱柱的体积.
(提示:
在
AA1上取
一点P,过P作棱柱的截面,使AA1
垂直于这个截面.)
(第20题)
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第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案
一、选择题
1.D2.D解析:
异面直线
AD与CB1角为45°.
3.D解析:
在①、④的条件下,
m,n的位置关系不确定.
4.D解析:
利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案
D.
5.B
解析:
学会用长方体模型分析问题,
A1A
有无数点在平面
ABCD
外,但
AA1与
平面
ABCD
相交,①不正确;
A1B1∥平面
ABCD,显然
A1B1不平行于
BD,②不正
确;A1B1∥AB,A1B1∥平面
ABCD,但
AB?
平面
ABCD
内,③不正
确;l
与平面α
平行,则
l与
无公共点,l与平面
内的所有直线都没有公
共点,④正确,
应选
B.
(第5题)
6.B
解析:
设平面
过l1,且
l2∥
,则
l1上一定点
P与
l2
确定一平面
,与
的交线
l3∥l2,且
l3过点
P.又过点
P与
l2
平行的直线只有一条,即
l3
有唯一性,所以经过
l1
和
l3
的平面是唯一的,即过
l1
且平行于
l2
的平
面是唯一的
.
7.C
解析:
当三棱锥D-ABC体积最大时,平面DAC⊥ABC,取AC的中点O,则△DBO是等腰直角三角形,即∠DBO=
45°.
8.D
解析:
A.一组对边平行就决定了共面;B.同一平面的两条垂线互相平行,因而共面;C.这些直线都在同一个平面
内即直线的垂面;D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.
9.B解析:
因为①②④正确,故选B.
10.A
解析:
异面直线a,b所成的角为60°,直线c⊥a,过空间任一点P,作直线a’∥a,b’∥b,c’∥c.若a’,b’,c’
共面则b’与c’成30°角,否则b’与c’所成的角的范围为(30°,90°],所以直线b与c所成角的范围为[30°,90°].
二、填空题
11.1
2S1S2S3.
3
解析:
设三条侧棱长为a,b,c.
则1ab=S1,1bc=S2,1ca=S3三式相乘:
222
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∴1a2b2c2=S1S2S3,
8
∴abc=22S1S2S3.
∵三侧棱两两垂直,
∴V=1abc·1
=1
2S1S2S3.
3
2
3
12.外,垂,内,中,BC边的垂直平分.
解析:
(1)由三角形全等可证得
O为△ABC的外心;
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得,
O为△ABC的垂心;
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得,
O为△ABC的内心;
(4)由三角形全等可证得,O为AB边的中点;
(5)由
(1)知,O在BC边的垂直平分线上,或说O在∠BAC的平分线上.
13.60°.
解析:
将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为60°.
14.[30°,90°].
解析:
直线l与平面所成的30°的角为m与l所成角的最小值,当m在内适当旋转就可以得到l⊥m,即m与l所
成角的的最大值为90°.
15.6.
3
解析:
作等积变换:
16.60°或120°.
1
3×(d1+d2+d3+d4)=1
3·h,而h=
6.
3
4
3
4
3
解析:
不妨固定AB,则AC有两种可能.
三、解答题
17.证明:
(1)取BC中点O,连结AO,DO.
∵△ABC,△BCD都是边长为4的正三角形,
∴AO⊥BC,DO⊥BC,且AO∩DO=O,
∴BC⊥平面AOD.又AD平面AOD,
∴BC⊥AD.(第17题)
解:
(2)由
(1)知∠AOD为二面角A-BC-D的平面角,设∠AOD=,则过点D作DE⊥AD,垂足为E.
∵BC⊥平面ADO,且BC平面ABC,
∴平面ADO⊥平面ABC.又平面ADO∩平面ABC=AO,
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∴DE⊥平面ABC.
∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离,即DE=3.
又DO=
3
3,
BD=2
2
在Rt△DEO中,sin=DE=
3,
DO
2
故二面角A-BC-D的正弦值为
3.
2
(3)当=90°时,四面体ABCD的体积最大.
18.证明:
(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点.∴△DD1E为等腰直角三角形,
∠D1ED=45°.同理∠C1EC=45°.∴DEC90,即DE⊥EC.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥平面D1DCC1,又DE平面D1DCC1,
∴BC⊥DE.又ECBCC,∴DE⊥平面EBC.∵平面DEB过DE,∴平面DEB⊥平面EBC.
(2)解:
如图,过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在
长方体ABCD
-A1B1C1D1中,∵面ABCD⊥面D1DCC1,∴EO⊥面ABCD.过
O在平面DBC
中作OF⊥DB于F,连结EF,∴EF⊥BD.∠EFO为二面角E-
DB-C的平面
角.利用平面几何知识可得
OF=
1,
(第18题)
5
又OE=1,所以,tanEFO=
5.
19*.解:
(1)直角梯形ABCD的面积是M底面=1(BC+AD)
1+1
1=3
AB=
2
,
2
2
4
∴四棱锥S—ABCD的体积是V=1·SA·M底面=1×1×3=1.
3
3
4
4
(2)如图,延长BA,CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱.
∵AD∥BC,BC=2AD,
∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交线.
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又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB
上的射影,
∴CS⊥SE,∠BSC是所求二面角的平面角.
∵SB=SA2+AB2=2,BC=1,BC⊥SB,
∴tan∠BSC=BC=
2,
(第19题)
SB2
即所求二面角的正切值为
2.
2
20*
.解:
如图,设斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面BB1C1C的面积为
10,A1A
和面
BB1C1C的距离为6,在AA1上取一点P作截面PQR,使AA1⊥截面PQR,
AA1∥CC1,∴截
面PQR⊥侧面BB1C1C,过P作PO⊥QR于O,则PO⊥侧面BB1C1C,且
PO=6.
∴V斜=S△PQR·AA1=1·QR·PO·AA1
2
(第20题)
=
1
·PO·QR·BB
2
1
=
1
×10×6
2
=30.
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