圆与相似三角函数结合一.docx
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圆与相似三角函数结合一
圆与相似、三角函数结合
(一)
1、垂径定理:
2、圆心角、圆周角:
3、切线:
4、元幂定理:
5、平行线分线段成比例:
6、相似三角形性质:
7、相似三角形判定:
知识点一圆与角平分线结合
【知识梳理】
如图1:
AB是⊙O的直径,点E、C是⊙O上的两点,基本结论有:
(1)在“AC平分∠BAE”;“AD⊥CD”;“DC是⊙O的切线”三个论断中,知二推一。
(2)如图2,DE等于弓形BCE的高;DC=AE的弦心距OF(如图3,弓形BCE的半弦EF)。
(3)如图(4):
若CK⊥AB于K,则:
①CK=CD;BK=DE;CK=
BE=DC;AE+AB=2AK=2AD;
(4)在
(1)中的条件①、②、③中任选两个条件,当BG⊥CD于E时(如图5),则:
①DE=GB;②DC=CG;③AD+BG=AB;④AD•BG=
DG2=DC2
【例题精讲】
例1、如图1,AB为半圆的直径,O为圆心,C为圆弧上一点,AD垂直于过C点的切线,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点E。
(1)求证:
AC平分∠DAB;
(2)若AB=4,B为OE的中点,CF⊥AB,垂足为点F,求CF的长;
(3)如图2,连接OD交AC于点G,若
,求
的值。
例2、△ABP中,∠ABP=90°,以AB为直径作⊙O交AP于C点,弧
=
,过C作AF的垂线,垂足为M,MC的延长线交BP于D.
(1)求证:
CD为⊙O的切线;
(2)连BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求
的值。
【课堂练习】
1、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O,⊙O交AB于点一点E,EF⊥AC于点F。
(1)求证:
⊙O与AC相切;
(2)若EF=2,BC=4,求BC:
AC的值。
2、如图,Rt△ABC,以AB为直径作⊙O交AC于点D,,过D作AE的垂线,F为垂足。
(1)求证:
DF为⊙O的切线;
(2)若DF=3,⊙O的半径为5,求
的值.
例3、如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE。
(1)求证:
AC平分∠DAB;
(2)求证:
△PCF是等腰三角形;
(3)若AC:
BC=4:
3,BE=7
,求线段PC的长。
【课堂练习】
如图,△ABG中,∠ABG=90°,以AB为直径作⊙O交AG于D点,D是弧BC的中点,过D作AC的垂线,垂足为E,ED的延长线交BG于F。
(1)求证:
BF=GF;
(2)连BC交AG于H,若2BG=3CH,求tan
的值。
知识点二圆与双切线结合
【知识梳理】
如图:
Rt△ABC中,∠ACB=90°。
点O是AC上一点,以OC为半径作⊙O交AC于点E,基本结论有:
(1)在“BO平分∠CBA”,“BO∥DE”,“AB是⊙O的切线”,“BD=BC”中,知一推三。
(2)①G是△BCD的内心;②弧CG=弧GD;③△BCO∽△CDE,BO•DE=CO•CE=
CE2;
(3)在图
(1)中的线段BC、CE、AE、AD中,知二求四。
(4)如图
(2),若①BC=CE,则:
②
=
=tan∠ADE;③BC:
AC:
AB=3:
4:
5;(在①、②、
③中知一推二)
【例题精讲】
例1、如图,AB为直径,PB为切线,点C在⊙O上,AC∥OP。
(1)求证:
PC为⊙O的切线。
(2)过D点作DE⊥AB,E为垂足,交AC于F,PO交AC于H,BD交AC于G,DF=FG,CG=3,
DE=4,求DG:
DB的值。
【课堂练习】
如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB于点B,连接OC交⊙O于点E,弦AD//OC,弦DF⊥AB于点G。
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若
,⊙O的半径为5,求DF的长。
例2、如图,AB为⊙O的直径,CA、CD分别切⊙O于A、D,CO的延长线交⊙O于M,连BD、DM。
(1)求证:
BD//CM;
(2)若
,求
的值。
【课堂练习】
如图,AB为⊙O的直径,BC⊥AB,CP切⊙O与点P,连OC,交⊙O与N,交BP与E,连接AP。
(1)求证:
BN平分∠PBC;
(2)连AC交BP于M,若AB=BC=4,求tan∠PAC的值。
已知如图,△ABC中,以AB为直径作⊙O,交BC于D,交AC于E.过D点作⊙O的切线FG交AC于F,交AB的延长线于G,连接AD。
若AB:
BG=3:
1,FG⊥AC。
(1)求证:
AD平分∠CAB;
(2)若GD=4,求BD;
(3)求AE:
EF:
FC。
1、如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB、FC。
(1)求证:
FB=FC;
(2)求证:
FB2=FA•FD;
(3)若AB是△ABC外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6cm,求AD的长。
2、如图,已知△ABC中,以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D,点E为弧BD的中点,AF为△ABC的角平分线,且AF⊥EC。
(1)求证:
AC与⊙O相切;
(2)若AC=6,BC=8,求EC的长。
3、如图,Rt△ABC中,以AB为直径作⊙O交AC于点D,弧BD与弧DE相等,过D作AE的垂线,F为垂足。
(1)求证:
DF为⊙O的切线;
(2)若DF=12,⊙O的半径为13,求EF的值。
4、已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥DB交AB于点E,过B、D、E三点作⊙O。
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)设⊙O交BC于点F,连接EF,若BC=9,CA=12。
求EF:
AC的值。
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