高中数学圆锥曲线大题解法综合集锦docx.docx
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高中数学圆锥曲线大题综合集锦
题型一:
数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
题型二:
弦的垂直平分线问题
题型三:
动弦过定点的问题
题型四:
过已知曲线上定点的弦的问题
题型五:
向量问题
题型六:
面积问题
题型七:
弦或弦长为定值、最值问题
问题八:
直线问题
问题九:
对称问题
问题十、存在性问题:
(存在点,存在直线y=kx+m,存在实数,存在图形:
三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)
题型一:
数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系(简单题型未总结)
题型二:
弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N:
交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形,若存在,求出;若不存在,请说明理由。
解:
依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。
设直线,,,。
由消y整理,得
由直线和抛物线交于两点,得
即
由韦达定理,得:
。
则线段AB的中点为。
线段的垂直平分线方程为:
令y=0,得,则
为正三角形,到直线AB的距离d为。
解得满足式此时。
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程,往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M,结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数,写出弦的垂直平分线L的方程,然后解决相关问题,比如:
求L在x轴y轴上的截距的取值范围,求L过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽,要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题,比如:
弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。
例题分析1:
已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于
解:
设直线的方程为,由,进而可求出的中点,又由在直线上可求出,∴,由弦长公式可求出.
题型三:
动弦过定点的问题
例题2、已知椭圆C:
的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
()求椭圆的方程;
()若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?
并证明你的结论
解:
()由已知椭圆C的离心率,,则得。
从而椭圆的方程为
()设,,直线的斜率为,则直线的方程为,由消y整理得是方程的两个根,则,,即点M的坐标为,
同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为
,直线MN的方程为:
,
令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得:
又,椭圆的焦点为,即
故当时,MN过椭圆的焦点。
题型四:
过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A、B、C是椭圆E:
上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,,如图。
()求点C的坐标及椭圆E的方程;()若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称,求直线PQ的斜率。
解:
(),且BC过椭圆的中心O
又点C的坐标为。
A是椭圆的右顶点,,则椭圆方程为:
将点C代入方程,得,椭圆E的方程为
()直线PC与直线QC关于直线对称,
设直线PC的斜率为,则直线QC的斜率为,从而直线PC的方程为:
,即,由消y,整理得:
是方程的一个根,
即同理可得:
==
=
则直线PQ的斜率为定值。
题型五:
共线向量问题
1:
如图所示,已知圆为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足的轨迹为曲线E.I)求曲线E的方程;II)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足,求的取值范围.
解:
(1)∴NP为AM的垂直平分线,∴|NA|=|NM|
又∴动点N的轨迹是以点
C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为
焦距2c=2.∴曲线E的方程为
(2)当直线GH斜率存在时,设直线GH方程为
得设
,
又当直线GH斜率不存在,方程为
2:
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点作直线交椭圆C于、两点,交轴于点,若,,求证:
.
解:
设椭圆C的方程为(>>)抛物线方程化为,其焦点为,
则椭圆C的一个顶点为,即由,∴,椭圆C的方程为
(2)证明:
右焦点,设,显然直线的斜率存在,设直线的方程为,代入方程并整理,得∴,又,,,,
而,,即,
∴,,所以
3、已知△OFQ的面积S=2,且。
设以O为中心,F为焦点的双曲线经过Q,,当取得最小值时,求此双曲线方程。
解:
设双曲线方程为,Q(x0,y0)。
,S△OFQ=,∴。
=c(x0-c)=。
当且仅当,
所以。
类型1——求待定字母的值
例1设双曲线C:
与直线L:
x+y=1相交于两个不同的点A、B,直线L与y轴交于点P,且PA=,求的值
思路:
设A、B两点的坐标,将向量表达式转化为坐标表达式,再利用韦达定理,通过解方程组求a的值。
解:
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1)
∵PA=∴x1=.
联立消去y并整理得,(1-a2)x2+2a2x-2a2=0(*)
∵A、B是不同的两点,∴
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