版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 51 对数函数的概念 52 对数函数y.docx
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版高中数学第三章指数函数和对数函数51对数函数的概念52对数函数y
5.1 对数函数的概念5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
学习目标
1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
知识点一 对数函数的概念
思考 已知函数y=2x,那么反过来,x是否为关于y的函数?
梳理 一般地,我们把_______________________________________________________
叫作对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是____________.a叫作对数函数的底数.
特别地,称以10为底的对数函数y=lgx为常用对数函数;称以无理数e为底的对数函数y=lnx为自然对数函数.
知识点二 对数函数的图像与性质
思考 y=logax化为指数式是x=ay,你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗?
梳理 类似地,我们可以借助指数函数图像和性质得到对数函数图像和性质:
a>1
0 图像 性质 (1)定义域: (0,+∞) (2)值域: R (3)过点(1,0),即x=1时,y=0 (4)当x>1时,y>0, 0 (4)当x>1时,y<0, 0 (5)是(0,+∞)上的增函数 (5)是(0,+∞)上的减函数 类型一 对数函数的概念 例1 已知对数函数y=f(x)过点(4,2),求f 及f(2lg2). 反思与感悟 对数函数必须是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件: (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x. 跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数? 并说明理由. (1)y=logax2(a>0,且a≠1); (2)y=log2x-1; (3)y=logxa(x>0,且x≠1); (4)y=log5x. 类型二 对数函数的定义域的应用 例2 求下列函数的定义域. (1)y=loga(3-x)+loga(3+x); (2)y=log2(16-4x). 引申探究 1.若把例2 (1)中的函数改为y=loga(x-3)+loga(x+3),求定义域. 2.求函数y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域,相比引申探究1,定义域有何变化? 反思与感悟 求含对数式的函数定义域的关键是真数大于0,底数大于0且不为1.如需对函数式变形,需注意真数底数的取值范围是否改变. 跟踪训练2 求下列函数的定义域. (1)y= ; (2)y=log(x+1)(16-4x); (3)y=log(3x-1)(2x+3). 类型三 对数函数单调性的应用 例3 比较下列各组数中两个值的大小. (1)log23.4,log28.5; (2)log0.31.8,log0.32.7; (3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1). 反思与感悟 比较两个同底数的对数大小,首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性;然后比较真数大小,再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的,需要对底数a进行讨论.对于不同底的对数,可以估算范围,如log22 跟踪训练3 设a=log3π,b=log2 ,c=log3 ,则( ) A.a>b>cB.a>c>b C.b>a>cD.b>c>a 例4 函数f(x)=log2(3x+1)的值域为________. 反思与感悟 在函数三要素中,值域从属于定义域和对应关系.故求y=logaf(x)型函数的值域必先求定义域,进而确定f(x)的范围,再利用对数函数y=logax的单调性求出logaf(x)的取值范围. 跟踪训练4 函数y= 的值域为( ) A.(0,3)B.[0,3] C.(-∞,3]D.[0,+∞) 类型四 对数函数的图像 例5 画出函数y=lg|x-1|的图像. 反思与感悟 现在画图像很少单纯描点,大多是以基本初等函数为原料加工,所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论,另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点. 跟踪训练5 画出函数y=|lg(x-1)|的图像. 例6 函数f(x)=4+loga(x-1)(a>0,a≠1)的图像过一个定点,则这个定点的坐标是__________. 反思与感悟 y=f(x) y=f(x+a),y=f(x) y=f(x)+b.对具体函数(如对数函数)仍然适用. 跟踪训练6 已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图,则下列结论成立的是( ) A.a>1,c>1 B.a>1,0 C.01 D.0 1.下列函数为对数函数的是( ) A.y=logax+1(a>0且a≠1) B.y=loga(2x)(a>0且a≠1) C.y=log(a-1)x(a>1且a≠2) D.y=2logax(a>0且a≠1) 2.函数y=log2(x-2)的定义域是( ) A.(0,+∞)B.(1,+∞) C.(2,+∞)D.[4,+∞) 3.函数f(x)=log0.2(2x+1)的值域为( ) A.(0,+∞)B.(-∞,0) C.[0,+∞)D.(-∞,0] 4.函数y=logax的图像如图所示,则a的值可以是( ) A.0.5B.2 C.eD.π 5.若函数f(x)=2loga(2-x)+3(a>0,且a≠1)过定点P,则点P的坐标是__________. 1.含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数. 判断一个函数是否为对数函数,不仅要含有对数符号“log”,还要符合对数函数的概念,即形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式.如: y=2log2x,y=log5 都不是对数函数,可称其为对数型函数. 2.研究y=logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小,均需依托对数函数的相应性质. 3.研究与对数函数图像有关的问题,以对数函数图像为基础,加以平移、伸缩、对称或截取一部分. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 由于y=2x是单调函数,所以对于任意y∈(0,+∞)都有唯一确定的x与之对应,故x也是关于y的函数,其函数关系式是x=log2y,此处y∈(0,+∞). 梳理 函数y=logax(a>0,a≠1) (0,+∞) 知识点二 思考 当a>1时,若0<x1<x2,则ay1<ay2,解指数不等式,得y1<y2从而y=logax在(0,+∞)上为增函数. 当0<a<1时,同理可得y=logax在(0,+∞)上为减函数. 题型探究 例1 解 设y=logax(a>0,且a≠1), 则2=loga4,故a=2,即y=log2x, 因此f =log2 =-1, f(2lg2)=log22lg2=lg2. 跟踪训练1 解 ∵ (1)中真数不是自变量x,∴不是对数函数; ∵ (2)中对数式后减1,∴不是对数函数; ∵(3)中底数是自变量x,而非常数a, ∴不是对数函数. (4)为对数函数. 例2 解 (1)由 得-3 ∴函数的定义域是{x|-3 (2)由16-4x>0,得4x<16=42, 由指数函数的单调性得x<2, ∴函数y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}. 引申探究 1.解 由 得x>3. ∴函数y=loga(x-3)+loga(x+3)的定义域为{x|x>3}. 2.解 (x+3)(x-3)>0, 即 或 解得x<-3或x>3. ∴函数y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域为{x|x<-3或x>3}. 相比引申探究1,函数y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域多了(-∞,-3)这个区间,原因是对于y=loga[(x+3)·(x-3)],要使对数有意义,只需(x+3)与(x-3)同号,而对于y=loga(x-3)+loga(x+3),要使对数有意义,必须(x-3)与(x+3)同时大于0. 跟踪训练2 解 (1)要使函数有意义,需 即 即-3 故所求函数的定义域为(-3,-2)∪[2,+∞). (2)要使函数有意义,需 即 所以-1 故所求函数的定义域为{x|-1 (3)要使函数有意义,需 即 所以x> 且x≠ , 故所求函数的定义域为 ∪ . 例3 解 (1)考察对数函数y=log2x, 因为它的底数2>1, 所以它在(0,+∞)上是增函数, 又3.4<8.5, 于是log23.4 (2)考察对数函数y=log0.3x, 因为它的底数0<0.3<1, 所以它在(0,+∞)上是减函数, 又1.8<2.7, 于是log0.31.8>log0.32.7. (3)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数, 又5.1<5.9,
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