高三数学 51等差数列与等比数列复习学案.docx
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高三数学 51等差数列与等比数列复习学案.docx
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高三数学51等差数列与等比数列复习学案
四川省古蔺县中学高三数学复习学案:
5.1等差数列与等比数列
【知识特点】
(1)数列是高中数学的主要内容之一是高考的常考内容;
(2)数列具有函数特征,又能构成独特的递推关系,故使得数列与函数、方程、不等式等知识有较密切的联系,因此高考命题时常将数列与函数、不等式、向量等交汇,考查学生的逻辑思维能力、运算推理能力,呈现出综合性强、立意新的特点;
(3)数列、等差与等比数列的概念和性质、通项公式、前n项和公式等知识,突出了“小、巧、活”的特点,也提供了知三求二的理论依据;
(4)数列的规律性较强,学习时一定要从其规律入手来计算、分析、解决有关问题。
【重点关注】
(1)要正确理解数列、等差、等比数列的基本概念,掌握各公式之间的联系和内在规律,掌握公式的灵活运用,甚至要灵活地回归定义,巧用性质,使运算更简捷;
(2)要善于运用函数与方程、化归与转化、分类讨论等思想方法去分析问题、解决问题;
(3)本章另一重点是由递推公式得出数列,以及数列的前n项和Sn与通项之间的关系。
体现了由特殊到一般的思维规律;
(4)与数列有关的应用题也是高考考查的重点,特别是数列建模问题;
(5)数列证明问题与数学归纳法的联系。
【地位和作用】
数列是函数大家庭中的一员,其特殊性在于其定义域是正整数,它是按一定次序排列的一列数,数列在中学数学中既具有相对的独立性,又具有较强的综合性,它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点,因此历年的高考中占有较大的比重,在选择、填空题中,突出“小、巧、活”的特点。
递推思想可以极大地激活人们探索与发现真理的能力,由给出的前若干项及an与an+1的关系式得到的数列叫递推数列,该关系式叫递推公式。
高考命题中数列善于占有重要一席
,而运用递推式是解题的起点。
对于本章而言,从新课改近几年各省份的高考信息可以看出,高考命题呈现出以下几个特点:
1、考查题型较为全面。
选择、填空、解答均有所考查,一般一小一大,分值占10%,其中解答题难度较大;
2、重点考查等差数列、等比数列的定义,通项公式和前n项和公式,注重在知识的交汇处命题,如数列与函数、方程、不等式等知识的综合应用。
注意对观察、转化与化归能力及数学归纳法的考查;
3、预计今后高考仍将以等差数列、等比数列的定义,通项公式和前n项和公式为考点,同时与其他章节结合命题将是数列解答题的命题方向。
第一节等差数列与等比数列
【高考目标导航】
一、数列的概念与简单表示法
1、考纲点击
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);
(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数。
2、热点提示
(1)已知数列的通项公式或递推关系,求数列的各项;
(2)以数列的前几项为背景,考查“归纳——推理”思想。
(3)由数列的递推关系式求数列的通项公式是本节重点,也是本节的难点。
二、等差数列及其前n项和
1、考纲点击
(1)理解等差数列的概念;
(2)掌握等差数列的通项公式与前n项和公式;
(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;
(4)了解等差数列与一次函数的关系。
2、热点提示
(1)等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点;
(2)归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数的性质解决等差数列问题是重点,也是难点;
(3)题型以选择题和填空题为主,与其他知识结合则以解答题为主。
三、等比数列及其前n项和
【考纲知识梳理】
一、数列的概念与简单表示法
1、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。
2、数列的分类
分类原则类型满足条件
按项数分类有穷数列项数有限
无穷数列项数无限
按项与项间的大小关系分类递增数列
其中
递减数列
常数列
按其他标准分类有界数列存在正数M,使
摆动数列的符号正负相间,如1,-1,1,-1,……
3、数列的表示法:
数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法。
注:
数列可以看作一个函数,其定义域是正整数集(或它的有限子集{1,2,3,……,n}),可表示为。
4、数列的通项公式
如果数列{}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
注:
数列的通项公式不唯一,如数列-1,1,-1,1,……通项公式可以为或,有的数列没有通项公式。
5、数列与函数的内在联系
从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
6、递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
二、等差数列及其前n项和
1、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差,通常用d表
示,其符号语言为:
2、等差数列的通项公式
若等差数列{}的首项为,公差是d,则其通项公式为。
注:
已知等差数列{}的第m项为,公差为d,则其第n项可以表示为:
。
3、等差中项
如果三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a和b的等差中项,且有。
4、等差数列的前n项和公式
三、等比数列及其前n项和
等比数列的相关概念
相关名词等比数列{}的有关概念及公式
定义
通项公式
前n项和公式
等比中项设a、b为任意两个同号的实数,则a、b的等比中项为:
注:
是a,b,c成等比的必要不充分条件,∵当b=0,a,c至少有一个为零时,成立,但a,b,c不成等比,反之,若a,b,c成等比,则必有
方法提示:
1、数列的项与集合中元素的区别:
把数列中的项与集合中的元素相比较,数列中的项具有确定性、有序性、可重复性,不具有互异性;集合中的元素具有确定性、无序性、互异性。
2、求通项公式的技艺:
根据数列的前几项写出数列的通项公式时,常用到“观察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法,即先找出各项相同的部分(不变量),再找出不同的部分(可变量)与序号之间的关系,并用n表示出来,不是所有的数列都有通项公式,一个数列的通项公式在形式上可以不唯一。
【要点名师透析】
一、数列的概念与简单表示法
(一)由数列的前几项求数列的通项公式
※相关链接※
数列的通项公式
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察观察分析,抓住以下几方面的特征:
①分式中分子、分母的特征;
②相邻项的变化特征;
③拆项后的特征;
④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想。
(2)观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察出项与项数之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决。
(3)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着从特殊到一般的思想,由不完全归纳提出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用或来调整。
※例题解析※
〖例〗写出下列各数列的一个通项公式:
思路解析:
由所给数列前几项的特点,归纳出其通项公式,注意项与项数的关系,项与前后项之间的关系,通项公式的形式并不唯一。
解答:
(1)各项是从4开始的偶数,所以;
(2)每一项分子比分母少1,而分母可写成21,22,23,24,25,……,故所求数列的一个通项公式可定为;
(3)带有正负号,故每项中必须含有一个这个因式,而后去掉负号,观察可得。
将第二项-1写成。
分母可化为3,5,7,9,11,13,……为正奇数,而分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,……故其一个通项公式可写为:
;
(4)将数列各项写为分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,……,所以
(二)由递推公式求数列通项公式
※相关链接※
1、由和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用化归法、累加法、累乘法等。
(1)构造等比数列,已知首项,递推关系为,求数列的通项公式的关键是将转化为的形式,其中a的值可由待定系数法确定,即
(2)已知且可以用累加法,即,,……,,。
所有等式左右两边分别相加,得
即:
(3)已知且可以用累乘法,即,,……,,,所有等式左右两边分别相乘,得
注:
并不是每一个数列都有通项公式,如果一个数列有通项公式,那么它的通项公式在形式上也可以不止一个。
2、由与的关系求
由求时,要分n=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为。
※例题解析※
〖例〗
(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+)an+设求数列{bn}的通项公式;
(2)已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n+1)an,求数列{an}的通项
公式.
思路分析:
(1)首先由递推公式得到的关系式:
再借助于累加的方法求出数列{bn}的通项公式;(
2)由题设可得利用累乘的方法求解.
解析:
(1)由已知可得b1=a1=1,且
即从而有
bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)=(n≥2),又因为b1=a1=1,故所求的通项公式为
(2)∵an+1=(n+1)an,
a1=1.
累乘可得,
an=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!
.
故an=n!
.
(二)数列的单调性及其应用
〖例〗(12分)已知数列的前n项和为,并且满足
(1)求{}的通项公式;
(2)令,问是否存在正整数m,对一切正整数n,总有,若存在,求m的值;若不存在,说明理由。
思路解析:
(1)
(2)由已知得的表达式求最
大项得结论.
解答:
(1)令n=1,
(2)
注:
(1)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用①作差法,②作商法,③结合函数图象等方法。
(2)求最大项,则满足;若求最小项,则满足。
二、等差数列及其前n项和
(一)等差数列的基本运算
※相关链接※
1、等差数列的通项公式=+(n-1)d及前n项和公式,共涉及五个量,,d,n,,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。
注:
因为,故数列{}是等差数列。
※例题解析※
〖例〗已知数列{}的首项=3,通项,且,,成等差数列。
求:
(1)的值;
(2)数列{}的前n项和的公式。
思路解析:
(1)由=3与,,成等差数列列出方程组即可求出;
(2)通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答:
(1)由=3得……………………………………①
又,得…………………②
由①②联立得。
(2)由
(1)得,
(二)等差数列的判定
※相关链接※
1、等差数列的判定通常有两种方法:
第一种是利用定义,,第二种是利用等差中项,即。
2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断。
(1)通项法:
若数列{}的通项公式为n的一次函数,即=An+B,则{}是等差数列;
(2)前n项和法:
若数列{}的前n项和是的形式(A,B是常数),则{}是等差数列。
注:
若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
※例题解析※
〖例〗已知数列{}的前n项和为,且满足
(1)求证:
{}是等差数列;
(2)求的表达式。
思路解析:
(1)与的关系结论;
(2)由的关系式的关系式
解答:
(1)等式两边同除以得-+2=0,即-=2(n≥2).∴{}是以==2为首项,以2为公差的等差数列。
(2)由
(1)知=+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴=,当n≥2时,=2•=。
又∵,不适合上式,故。
(三)等差数列的性质
※相关链接※
1、等差数列的单调性:
等差数列公差为d,若d>0,则数列递增;若d<0,则数列递减;若d=0,则数列为常数列。
2、等差数列的简单性质:
已知数列{}是等差数列,是其前n项和。
(1)若m+n=p+q,则,特别:
若m+n=2p,则。
(2)仍是等差数列,公差为kd;
(3)数列也是等差数列;
(4);
(5)若n为偶数,则;若n为奇数,则;
(6)数列也是等差数列,其中均为常数,是等差数列。
3、等差数列的最值:
若是等差数列,求前n项和的最值时,
(1)若a1>0,d>0,且满足,前n项和最大;
(2)若a1<0,d>0,且满足,前n项和最小;
(3)除上面方法外,还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意。
※例题解析※
〖例1〗(2011•如皋模拟)已知在等差数列{an}中,a1=31,Sn是它的前n项和,S10=S22,
(1)求Sn;
(2)这个数列的前多少项的和最大,并求出这个最大值.
思路解析:
利用等差数列的性质求解第
(1)题、第
(2)题,解题关键是写出前n项和公式,利用函数思想解决.
(1)∵S10=a1+a2+…+a10,
S22=a1+a2+…+a22,又S10=S22
∴a11+a12+…+a22=0,
即a11+a22=2a1+31d=0,
又a1=31,∴d=-2,
∴Sn=na1+=31n-n(n-1)=32n-n2.
(2)方法一:
由
(1)知Sn=32n-n2,
∴当n=16时,Sn有最大值,Sn的最大值是256.
方法二:
由Sn=32n-n2=n(32-n),欲使Sn有最大值,应有1 从而 当且仅当n=32-n,即n=16时,Sn有最大值256. 〖例2〗已知数列是等差数列。 (1)若 (2)若 思路解析: (1)由通项公式或前n项和公式得和的关系,通过解方程组求得和,进而求得和 。 (2)利用等差数列数列的性质可使问题简化。 解答: 设首项为,公差为, (1)方法一: 由,得解得 方法二: 由, ∴ (2)方法一: 由已知可得解得 方法二: ∵是等差数列,∴可设则 ①-②得 方法三: = ∴ 注: (1)灵活运用性质,求等差数列中的量,可以简化运算,提高解题速度及准确性; (2)在应用性质: 若则时,首先要找到项数和相等的条件,然后根据需要求解,解决此类问 题要有整体代换的意识。 (四)等差数列的综合应用 〖例〗已知是正数组成的数列,,且点()在函数y=x2+1的图象上。 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足b1=1,bn+1=bn+,求证: 。 思路解析: (1)利用点在函数图象上代入即可得与的关系,易求得; (2)可先求,利用累加法或迭代法求得,而后作差比较即可,也可不用求而直接利用已知关系式迭代求证即可。 解答: 方法一: (1)由已知得,即,又,所以数列是以1为首项,公差为1的等差数列。 故=1+(n-1)×1=n. (3)由 (1)知: =n,从而, 。 方法二: (1)同方法一; (2)因为,所以 注: 数列与函数、不等式、解析几何结合命题是高考考查的热点,以函数为载体,求解数列问题时要看清它们之间的关系,灵活应用它们是关键,在证明数列中不等问题时,要弄清题意,灵活采用证明不等式的常用方法,本例采用了求差比较法,也是高考常考方法之一,可适当变形以解决它们。 方法提示: 1.解决等差数列问题,熟练掌握等差数列的有关性质,寻找项与前n项和之间的关系是解题关键. 2.在等差数列{an}中,有关Sn的最值问题: (1)a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm; (2)当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. (3)关于最值问题,除上面介绍的方法外,还可利用等差数列与函数的关系来解决,等差数列的前n项和Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0,利用二次函数的图象或配方法解决最值问题. 三、等比数列及其前n项和 (一)等比数列的的运算 ※相关链接※ 1.等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题,数列中有五个量,,,,,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)所求问题可迎刃而解。 2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。 3.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。 ※例题解析※ 〖例〗设数列的前n项和为,且=2-2;数列为等差数列,且。 (1)求数列的通项公式; (2)若,为数列的前n项和,求证: 。 思路解析: (1)得结论; (2)放缩得结论。 解答: (1)由=2-2,得,又=,所以=,由=2-2……………………① 得……………………………………………………② ②-①得,∴即,∴是以为首项,以为公比的等比数列,所以=•。 (2)∵为等差数列,∴,∴从而 ∴…………………………………………………………③ ∴………………………………④ ③-④得 〖例〗在数列中,。 (1)证明数列是等比数列; (2)求数列的前n项和; (3)证明不等式对任意皆成立。 思路解析: 证明一个数列是等比数列常用定义法,即,对于本例 (1)适当变形即可求证,证明不等问题常用作差法证明。 解答: (1)由题设得。 又所以数列是首项为1,且公比为4的等比数列。 (2)由 (1)可知,于是数列的通项公式为。 所以数列的前n项和。 (3)对任意的, ,所以不等式对任意皆成立。 (三)等比数列性质的应用 ※相关链接※ 1.等比数列的性质可以分为三类: (1)通项公式的变形, (2)等比中项的变形,(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2.等比数列的常用性质 (1)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列; (2)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk. (3)an=am•qn-m(n,m∈N+) (4)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am•an=ap•aq; (5)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sk、S2k-Sk、 S3k-S2k、S4k-S3k是等比数列. (6)等比数列的单调性 3.由于数列和函数之间有着密切的联系,所以在解决许多数列问题时,可以借鉴函数的有关思想和方法,本例在求解过程中,就是先求导数,利用数列这一特殊函数的性质解决的,所以在解决数列问题时,应善于运用函数的思想方法解决问题. 注: 等比数列中所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同。 ※例题 解析※ 〖例1〗已知等比数列前n项的和为2,其后2n的和为12,求再往后3n项的和。 思路解析: 由已知条件,根据前n项和公式列出关于首项和公比及n的两个方程,应能解出和关于n的表达式,这样可能较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思想,问题就会变得简单,也可采用等比数列的性质问题简化。 解答: 方法一: 利用等比数列的性质。 由已知, .注意到 也成等比数列,其公比为,于是,问题转化为已知: 方法二: 利用求和公式. 如果公 比q=1,则由于,可知,与条件不符,∴q≠1,由求和公式,得…………………………………………① 又……………………………………………………………………② ②式除以①式得,又再往后3n项的和为………………………………………………………………………………③ ③式除以①式得。 〖例2〗(2011•青岛模拟)已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f′(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值; (2)令其中n∈N+,求{nbn}的前n项和Tn. 思路解析: 对函数f(x)的字母系数通常用待定系数法确定,再把函数问题转化为数列问题求解.对{nbn}求和,若bn为等比数列可考虑用错位相减法求和. 解析: (1)由题意可知: ∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f′(x)=2ax+b,由f′(x)=-2x+7对应相等可得: a=-1,b=7,所以可得f(x)=-x2+7x,又因为点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图象上,所以有Sn=-n2+7n 当n=1时,a1=S1=6; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6适合上式, ∴an=-2n+8(n∈N+) 令an=-2n+8≥0得n≤4,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12. 综上,an=-2n+8(n∈N+),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12. (2)由题意得 即数列{bn}是首项为8,公比为的等比数列, 故{nbn}的前n项和 Tn=1×23+2×22+…+n×2-n+4① Tn=1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3② 所以①-②得: Tn=23+22+…+2 -n+4-n×2-n+3 【感悟高考真题】 1.(2011•江西高考文科•T5)设为等差数列,公差,为其前n项和,若,则 A.18B.20C.22D.24 【思路点拨】首先求出,再根据等差数列的通项公式求。 【精讲精析】选B. 2.(2011•陕西高考文科•T10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为() (A)○1和○20(B)○9和○10(C)○9和○11(D)○10和○11 【思路点拨】根据选项分别计算四种情形的路程和;或根据路程和的变化规律直接得出结论. 【精讲精析】选D(方法一) 选项具体分析结论 A○1和○20: 比较各个路程和可知D符合题意 B○9: ○10: =2000 C○11: =2000 D○10和○11: 路程和都是2000 (方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个最值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第10个和第11个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以计算两个路程和进行比较即可。 树苗放在第一个树坑旁,则有路程总和是;树苗放在第10个(或第1
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