水木艾迪高数第13讲多元函数极值二重积分40可编辑41.docx
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水木艾迪高数第13讲多元函数极值二重积分40可编辑41
水木艾迪高数:
第13讲多元函数极值,二重积分(可编辑)
水木艾迪高数:
第13讲多元函数极值,二重积分
2010水木艾迪考研辅导基础班清华东门外创业大厦1006电话62701055
第十三讲极值与条件极值问题二重积分
极值与条件极值问题
131二元函数的二阶泰勒公式
如果函数fx在点x0有n阶导数则它在点x0的某邻
域内有带皮亚诺型余项的Taylor公式
′1′′2
fxfx0fx0xx0fx0xx0
2
1
fnx0xx0no[xx0n]
n
如果函数fx在某个包含点x0的区间ab内处处有
n1阶导数则对于任意的x?
ab有
11
fxfx0f′x0xx0f′′x0xx02f
nx0xx0n
2n
1
n1n1
fx0θxx0xx00θ1
n1
二元函数的Taylor公式
将二元函数展公式的问题转化为一元问题
设有zfxy点Pxy及MxΔxyΔyP
xy
00000
今研究函数在线段P0P上的增量变化
线段PP上的点Pxy可以表示为
0ttt
xxtxxxtx
t000
0?
t?
1
yytyyyty
t000
这样函数在线段PP上的点Pxy值是
0ttt
Φtfx0tΔxy0tΔy0?
t?
1且
Φ0fPΦ1fxΔxyΔyfxy
00
0
n1Φn1ξ
k
fx0Δxy0ΔyΦ1?
Φ0
k0kn1
′fx0y0fx0y0
Φ0ΔxΔyΔxΔy
fP
0
xyxy
谭泽光1
2010水木艾迪考研辅导基础班清华
东门外创业大厦1006电话62701055
222
fP2fPfP2
′′000
xxyy
Φ0Δ2ΔΔΔ
22
xxyy
2
ΔxΔyfP
0
xy
k
k
Φ0ΔxΔyfP
0
xy
n1Φn1
ξ
k
fxyfx0Δxy0ΔyΦ1?
Φ0
k0kn1
k
n1
ΔxΔyfP
?
0
k0kxy
1n1
ΔxΔyfx0θΔxy0θΔy
n1xy
定理设二元函数fU
1
Pxy的某个邻域中有在点
至
000
n1阶的连续偏导数Pxy是U中一点则有
k
n1
ΔΔ
fxyfPxyfP
?
00
k1kxy
1n1
ΔΔΔΔ0θ1
xyfx0θxy0θy
n1xy
称为fxy在M0x0y0的带拉格朗日余项的n阶Taylor公式
当n0时Taylor变为
Δx
fxθxyθy
ΔΔ
fxyfP00这个结论类
0
Δy
xy
似于一元函数的微分中值定理
当n1时Taylor变为
Δx
Δx
fP0fP01
fxyfPΔxΔyHP
0
θ
xyΔy2Δy
其中PxθΔxyθΔy
θ00
谭泽光2
2010水木艾迪考研辅导基础班清华东门
外创业大厦1006电话62701055
2f2f
2
xxy
HP
θ2f2f
2
xyy
xyP
θ
称为海色Hessian矩阵
当n2时f?
C2二阶Taylor公式可写为
Δx
fPfP
00
fxyfP0
xyΔy
Δx
12
ΔxΔyHPoρ
0
2Δy
132多元函数的极值
定义131值与极值点设函数fDRn?
R若存在点
U
x0?
D某个邻域x?
U都有fx?
fx0则称fx0是
f
fx的一个极小值minimum并称x0为的一个极小值点
类似地若
x?
U都有fx?
fx0则称fx0是fx的一个
极大值imum并称
x0为fx的一个极大值点
极值点的必要条件设函数n
fDR?
R在点x0?
D达到极值
fx
若f在该点可微则有00k12n称x0为驻点
x
k
定理131极值点的充分条件设fRn?
R在
n点某邻域
x?
R
0
Ux内二阶偏导数连续且x是驻点则
00
1正定时x是fx的极小值点
Hx0
f0
2负定时x是fx的极大值点
Hx0
f0
3不定时x不是fx的极值点
Hx0
f0
谭泽光3
2010水木艾迪考研辅导基础班
清华东门外创业大厦1006电话62701055
442
2
fxy2x22
例131求函数yx
y的所有局部极值
30
202
10
1
0
-2-20
-1-1
00-1
11
-2
2
f3f3
解求偏导数得8x4x4y4y解方程
xy
f′xy8x34x02210
xxx
′329个驻点
fxyyy
y440yy10
xy00xy01xy01
112233
xy120xy121x
y121
445566
xy120xy121xy121
778899
′′′′2
ffAB24x40
xxxy
Hxy
f′′′′
2
fxyfyyBC0
12x4
1正定条件2222
A24x40ACB166x13x10
2负定条件2222
A24x40ACB166x13x10
xy000101120121
ii
Af′′44488
ixx
Bf′′48848
ixy
Cf′′00000
iyy
ACB21632323264
iii
xy121120121121
ii
A8888
i
B8488
i
C0000
i
ACB264326464
iii
由极值的充分条件可知函数f在
谭泽光
4
2010水木艾迪考研辅导基础班
清华东门外创业大厦1006电话62701055
xyxyxyxy
55668899
取局部极小值其它点均为鞍点非极值点
例132设uxy在x2y2?
1上有二阶连续偏导数在x2y
21
22
uu22
内满足u且在xy1上ux
y?
0
x2y2
证明当x2y2?
1时uxy?
0提示可用反证法证明
证明反证法假设存在点22
x0y0满足x0y0
?
1
且ux0y00由条件在x2y21上uxy?
0可知在
x2y2?
1上的连续函数uxy在区域x2y2?
1的最小值点
xy一定发生在区域x2y2?
1的内部因此x
y一定是极小
1111
2u2u
2
xy
值点矩阵x正定或半正定这与
22
uu
2
xy
yxy
11
2u2u
矛盾假设不成立
xyuxy0
221111
xy
即当x2y2?
1时uxy?
0
22
例133求函数zx2y2exy的极值(
22
解′22xy
zx2x2xxye0
22
′22xy
zy2y2yxye0
驻点为00与曲线x2y21上的所有的点(在00点
′′′′′′
zxx002zxy000zyy002
00点是极小值点极小值为0(
22tt1′′
设txyzte是其驻点且z10
2222
函数zx2y2exy在曲线xy1上取到极
大值e1(
谭泽光5
2010水木艾迪考研辅导基础班清华东
门外创业大厦1006电话62701055
例134隐函数的极值设zzxy由
2x22y2z28xzz80确定求该函数的极值(
4xdx4ydy2zdz8xdz8zdxdz0
解
4x8z4y
dzdxdy
2z8x12z8x1
z4x8z
0
xzx
281222
2x2yz8xzz80
z4y
0
yzx
281
三个方程联立得驻点P20P1670(
12
2
在P20点z′′Pz′′Pz′′P16150
1xy1xx1yy1
且z′′P415020点是极小值点
xx1
2
在P1670点z′′Pz′′Pz′′P16150
2xy2xx2yy2
且z′′P4150P点是极大值点(
xx22
133条件极值
Minfxy
问题
stgxy0
目标函数fDR2?
R约束条件gxy0
解法拉格伦日乘子法增加变量化成旡条件极值问题
拉格伦日函数Lxyλfxyλgxy
Lfg
λ0
xxx
Lfg
解方程λ0求驻点
yyy
L
gxy0
λ
Minfxyz
问题gxy0(
stgxyz0hxyz0
目标函数fDR3?
R约束条件gxyz0hxyz0
谭泽光6
2010水木艾迪考研辅导基础班清华
东门外创业大厦1006电话62701055
解法拉格伦日函数
Lxyzλfxyzλgxyzμhxyz
Lfgh
λμ0
xxxx
Lfgh
λμ0
yyyy
解方程求驻点
Lfgh
λμ0
zzzz
gxyzhxyz
00
例135今有一空间曲面Fxyz0及一点Px
yz在此曲
0000
面上找一点
Pxyz到P点距离最小
0
222
Minfxxxyyzz
000
stFxyz
0
Fxyz0
今有一空间曲线及一点Pxyz
在此曲线上找一
0000
Gxyz0
点Pxyz到P点距离最小(
0
222
Minfxxxyyzz
000
stFxyzGxyz
00
例136今有一空间曲面Fxyz0及一点Px
yz在此曲
0000
面上找一点
Pxyz到P点距离最小
0
222
Minfxxxyyzz
000
问题
stFxyz
0
拉格伦日函数
222
Lxyzλxx0yy0zz0λFxyz
rλFxyz
222
其中rxx0yy0zz0
谭泽光7
2010水木艾迪考研辅导基础班清华东
门外创业大厦1006电话62701055
λxxxyz
LxyziF
λ0
xrx
xx
LxyzFxyz
λi
xrλx0
求驻点
xx
LxyzFxyz
λ
iλ0
xrx
Lxyz
λ
Fxyz
0
λ
r
λ
λrPPgradFxy
z
gradFxyz000
或r
0
FP
Fxyz0
例137在周长为2p的三角形中求出满足下述要求的三角形绕自己
的一边旋转时所形成的旋转体的体积最大(
xy2pxy不妨绕边长为x的边旋转
解设三边分别为
设该边上的高为h则有
1
xhppxpyxyp
2
124pπ
则Vπhxpxpyxypx
33
由极值点处偏导数等于0得
2p2xyxpxxyp0
2px2y0
解得xp2y3p4(
例138当xyz0ulnx2lny3lnz
都大于时求在球
面
x2y2z26r2上的最大值并证明对任意正实数abc
6
23abc
下述不等式成立abc?
108(
6
Lxyzfxyzλx2y2x26r2
解令
L212223
由0得xyz
2λ2λ2λ
xyz
1
代入球面方程得λ所以
2r2
谭泽光8
2010水木艾迪考研辅导基础班清华东门外
创业大厦1006电话62701055
23
flnrln2r3ln3r6lnrln3ln2
2
lnxyz3lnxlny3lnz?
6lnrln108
222
xyz3
ln[108]
6
222
3xyz3
所以xyz108两边平方得
6
222
226xyz6
xyz108
6
3abc6
所以对任意正数abc有abc108
6
134多元函数的最大值最小值及其简单应用
例139求zxy4xy在x1y0xy6
所围闭区域D上的最大值(
解,先求开区域0
D内的最大值(
′2
z4y2xyy044
x
驻点000440
′2
z4xx2xy033
y
44
0
在D内的驻点为(
33
三条边界上的驻点
xy4xyxy4xy
x1y0
xy4xy
xy6
将x1代入zxy4xy
3
zy41yz′32y0y
2
3
在边界x1上的驻点为1经检验这个点在D的边界上(
2
将y0代入zxy4xyz0不必考虑(
谭泽光9
2010水木艾迪考研辅导基础班清华东门外
创业大厦1006电话62701055
作拉格伦日函数Lxy4xyλxy6
′2
L4y2xyyλ0
x
L′4xx22xyλ0驻点33在D的边界上(
y
′
Lxy60
λ
443
现有驻点133加上三个角点106015(
332
函数zxy4xy在有界闭区域D上连续必有最大值而且最大
值必为上述六个点之一(计算函数zxy4xy在
六个点上的值
4464
z最大z3318最小(
3327
例1310求抛物面zx2y2与平面xyz1的交线椭圆
到原点的最长距离和最短距离(
解设xyz为抛物面上的一点xyz为平面上
的一点
111222
222
minx1x2y1y2z1z2
22
stz1x1y1
x2y2z21
这是条件极值问题
22222
Lx1x2y1y2z1z2λz1x1y1μx2y2z21
求出驻点由几何意义可知存在最小值
解法二设xyz为抛物面上的一点由几何意义
当抛物面在
111
xyz点的切平面平行与xyz1时取得最值
111
有多个约束条件
例131107求函数fxyx22y2x2y2在区域
22上的最大值和最小值
Dxyxy?
4y?
0
′2220
fxxxy
解1由
′2
f4y2xy0
y
谭泽光10
2010水木艾迪考研辅导基础班清华东门外创业大厦1006电话62701055
解得D内驻点为?
21f?
212
2在边界
2
Ly02?
x?
2上fx0
x
1
可得fxy在L上的最大值为4最小值为0
1
Lx2y24y?
0上记
3在边界2
hxfx4x2x45x28x?
2
′3
由hx4x10x0得驻点x12x2
52x352
f02h08f?
523274
综上fxy在D上的最大值为8最小值为0
二重积分
136二重积分的定义及性质
定义132设fxy定义在有界闭区域DR2上若
1任意分割区域D记λsupXYλλ
i
i
1?
?
XY?
ΔDin
i
n
2任取ξη?
ΔDi1n作和式S?
fξηΔσ
iiiniii
i1
其中Δσ为ΔD的面积
ii
n
3若极限limSlim?
fξηΔσ存在且极
限值与区域D
niii
n?
?
n?
?
i1
分割的任意性和点ξη?
ΔDi1n选值的任意性无关
iii
则称函数fxy在区域D上可积该极限值称为函数fxy
在区域D上的二重积分记作
n
fxydσlim?
fξηΔσ
?
?
n?
?
ii
i
Di1
D称为积分区域fxy称为被积函数xy称为积分变量面积元
谭泽光11
2010水木艾迪考研辅导基础班清华东
门外创业大厦1006电话62701055
素dσ又记作dxdy二重积分的值与积分变量的符号无关
?
?
fxydxdy?
?
fuvdudv
DD
简单性质
1可积的必要条件及充分条件
2线性性保序性估值性中值定理对积分区域的可加性
对积分区域的可加性设fxy在区域D和D上可积
12
D1?
D2无内点则fxy在D1?
D2上可积且
fxydxdyfxydxdyfxydxdy
?
?
?
?
?
?
D1?
D2D1D2
对被积函数满足线性性
[]
?
?
AfxyBgxydxdyA?
?
fxydxdyB?
?
gxy
dxdy
DDD
保序性若可积函数fxy?
gxyxy?
D
则
fxydxdy?
gxydxdy
?
?
?
?
DD
若可积函数fxy?
0xy?
D则?
?
fxy
dxdy?
0
D
若fxy在D上可积则fxy在D上也可积且
fxydxdy?
fxydxdy
?
?
?
?
DD
估值定理若可积函数fxy在D上满足m?
fxy?
M则
mSD?
fxydxdy?
MSD
?
?
其中SD为D区域的面积
进一步若函数gxy在D上非负可积则
mgxydxdy?
fxygxydxdy?
Mgxydxdy
?
?
?
?
?
?
DDD
中值定理若函数fxy在D上连续gxy在D上取定号且
可积则ξη?
D使
谭泽光12
2010水木艾迪考研辅导基础班
1006电话62701055清华东门外创业大厦
?
?
fxygxydxdyfξη?
?
gxydxdy
DD
特别地gxy?
1时ξη?
D使
?
?
fxydxdyfξη?
?
dxdyfξηSD
DD
其中SD?
?
dxdy为D区域的面积
D
若D区域关于x轴对称可积函数fxy
满足fxyfxy则?
?
fxydxdt0
D
若D区域关于x轴对称可积函数fxy满足
fxyfxy则?
?
fx
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