秋人教版八年级数学上册第13章《特殊三角形》讲义随堂测试习题及答案.docx
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秋人教版八年级数学上册第13章《特殊三角形》讲义随堂测试习题及答案
人教版八年级数学上册第11章
特殊三角形(讲义)
Ø课前预习
1.对几何图形,我们一般从边、角、特殊的线、周长及面积、对称性等来研究,以等腰三角形为例:
(1)边和角:
等边对________、等角对________.
(2)特殊的线:
(顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高)____________________.
(3)面积:
h1+h2_____h(填“>”、“<”或“=”).
(4)对称性:
等腰三角形的对称轴是__________________.
2.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
求证:
.
Ø知识点睛
1.
等边三角形
①定义:
_________________的三角形是等边三角形.
②性质:
边:
等边三角形______________.
角:
等边三角形______________.
线:
等边三角形______________.
③判定:
_________________的等腰三角形是等边三角形.
_________________的三角形是等边三角形.
2.直角三角形
性质:
30°角所对的直角边___________________________.
直角三角形斜边的中线等于_____________________.
3.等腰直角三角形
①定义:
有一个角是_____的等腰三角形是等腰直角三角形.
②性质:
边:
等腰直角三角形_____________.
角:
等腰直角三角形_____________.
线:
等腰直角三角形____________,____________________
__________________________.
③判定:
_______________的三角形是等腰直角三角形.
Ø精讲精练
1.如图,以BC为边在正方形ABCD内部作等边△PBC,连接AP,DP,则∠PAD=_____________.
第1题图第2题图
2.如图,在△ABC中,D,E在BC上,且BD=DE=AD=AE=EC,则∠BAC的度数为_______________.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC=________.
第3题图第4题图
4.
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,若BD=2,则AD的长是()
A.4B.6C.8D.10
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.
求证:
AE=2CE.
6.如图,∠BAC=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE=5cm,则BC=______cm,DE=_______cm.
7.
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.
求证:
MN⊥BD.
8.如图,在锐角△ABC中,∠A=60°,BN,CM为高,P为BC的中点,连接MN,MP,NP,下列结论:
①NP=MP;②当∠ABC=60°时,MN∥BC;③BN=2AN;④AN:
AB=AM:
AC.其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.已知:
如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.E,F分别是AB,AC上的动点,且BE=AF.
求证:
△DEF为等腰直角三角形.
10.现有两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC按如图所示方式放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.
【参考答案】
Ø课前预习
1.
(1)等角、等边
(2)三线合一
(3)=
(4)顶角的角平分线(底边上的中线或底边上的高)所在直线
2.提示:
见到线段的和差倍分,考虑截长补短.
证明:
如图,延长BC到D,使CD=BC,连接AD.
∴BC=
BD
∵∠ACB=90°,BC=CD
∴AB=AD
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°
∴∠B=60°
∴∠D=60°
∴∠BAD=60°
∴BA=BD
∴BC=
AB
Ø知识点睛
1.三边都相等
②三边都相等,三个内角都是60°,三线合一
③有一个角是60°;有两个角是60°
2.30°角所对的直角边是斜边的一半
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
3.①直角
②两直角边相等,两底角都是45°,三线合一,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
③有两个角是45°
Ø精讲精练
1.15°
2.120°
3.8cm
4.B
5.证明略(提示,连接BE,由DE垂直平分AB得AE=BE,转移角可得∠EBC=30°,利用直角三角形性质可得AE=2CE)
6.10,5
7.证明略(提示:
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=MB,由三线合一可得MN⊥BD)
8.C
9.证明略(提示:
连接AD,证明△ADF≌△BDE,转移边转移角证明△DEF为等腰直角三角形)
10.△EMC为等腰直角三角形
证明略(提示:
连接AM,证明△MDE≌△MAC,转移边转移角证明△EMC为等腰直角三角形)
特殊三角形(随堂测试)
1.如图,在△ABC中,AB=AC=10,∠C=30°,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△ADE的
周长为__________.
2.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D为AC的中点,点E在AB边上,连接BD,ED,过点D作DF⊥DE交BC于点F.若AC=6,则四边形BEDF的面积为________.
【参考答案】
1.15
2.
特殊三角形(习题)
Ø例题示范
例1:
已知:
如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=60°,AB=BC,AD=CD,点E在边BC上,点F在边CD上,且∠EAF=60°.
求证:
△AEF是等边三角形.
【思路分析】
①读题标注:
②梳理思路:
要证△AEF是等边三角形,已知∠EAF=60°,只需证△AEF是等腰三角形即可,考虑证AE=AF,可以把这两条线段放在两个三角形中证全等.
观察图形,连接AC,可以把线段AE和AF分别放在△ABE和
△ACF中.结合题中条件∠B=∠D=60°,AB=BC,AD=CD,可知△ABC和△ACD均为等边三角形,所以∠B=∠ACF=60°,
∠BAC=∠EAF=60°,因此∠BAE=∠CAF,进而得证△ABE≌△ACF,证明成立.
【过程书写】
证明:
如图,连接AC.
∵∠B=∠D=60°,AB=BC,AD=CD
∴△ABC和△DAC是等边三角形
∴AB=AC,∠BAC=60°,∠ACF=60°
∴∠1+∠3=60°,∠B=∠ACF
∵∠EAF=60°
∴∠2+∠3=60°
∴∠1=∠2
∴△ABE≌△ACF(ASA)
∴AE=AF
∴△AEF是等边三角形
Ø巩固练习
1.如图,以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三角形ABE,连接DE,则∠BED的度数为________.
2.如图,在△ABC的外部,分别以AB,AC为直角边,点A为直角顶点,作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,CD与BE交于点P,则∠BPC的度数为________.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,DE是线段AB的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E,若DE=2,则AC的长是________.
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D在BC上,E为AB的中点,AD,CE相交于F,且AD=DB.若∠B=20°,则∠DFE的度数为________.
5.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=15°,过C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D.求证:
AB=2CD.
6.
已知:
如图,在△ABC中,∠BAC>90°,BD,CE分别为AC,AB边上的高,F为BC的中点,连接DE,DF,EF.
求证:
∠FED=∠FDE.
7.
已知:
如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E为AC的中点,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F.求证:
EF=EG.
Ø思考小结
1.在做几何题目的时候,看到“直角+30°”,考虑30°角所对的直角边是___________________;看到“直角+中点”,考虑直角三角形_____________________________;看到“等腰+一线”,考虑等腰三角形___________.
2.根据上面的思考方式研究等腰直角三角形的性质:
如图,在等腰直角三角形ABC中,CD⊥AB于点D,如果从等腰的角度出发,看到“等腰+高线”,考虑等腰三角形_________,所以得到AD=______;如果从直角的角度出发,看到“直角+中点”,考虑_____________________________,可以得到CD=______.
综上可得,对于图中的等腰直角三角形ABC我们可以得到:
CD=______=_______.
【参考答案】
1.45°
2.90°
3.6
4.60°
5.证明:
如图
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∵∠B=15°
∴∠ACB=15°
∵∠DAC是△ABC的一个外角,
∴∠DAC=∠B+∠ACB
=15°+15°
=30°
∵CD⊥AB
∴∠D=90°
在Rt△ADC中,∠D=90°,∠DAC=30°
∴CD=
AC
∴CD=
AB
即AB=2CD
6.证明:
如图
∵BD,CE分别为AC,AB边上的高
∴∠BDC=∠CEB=90°
∵F是BC的中点
∴DF=
BC,EF=
BC
∴DF=EF
∴∠FED=∠FDE
7.证明:
如图,连接DE.
∵AC=BC,∠ACB=90°
∴∠A=45°
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°,AD=
AB
∴CD=
AB
∴AD=CD
∵E为AC中点
∴DE=
AC=AE,DE⊥AC,∠1=45°
∴∠AED=90°,∠A=∠1
∴∠2+∠DEF=90°
∵EF⊥BE
∴∠3+∠DEF=90°
∴∠2=∠3
在△AEF和△DEG中
∴△AEF≌△DEG(ASA)
∴EG=EF
思考小结:
1.斜边的一半,斜边上的中线等于斜边的一半,三线合一
2.三线合一,BD,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
AB,AD,BD
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