线材切割问题最优设计方案探讨讲解.docx
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线材切割问题最优设计方案探讨讲解
数学建模论文
题目:
线材切割问题最优化方案探讨
院系:
数理学院
专业:
数学与应用数学
班级:
数学091
姓名:
姜奎
学号:
3090801132
2011/5/20
摘要
本文讨论多线材切割问题,通过整数规划建立数学模型来解决线材切割的需要,使得线材利用率提高,减少浪费。
首先,我们分析了某根线材的切割方案和实行切割方案,遵循“全部用完,没有剩余”的原则,从而确定了多线材切割一般模型来得到线材切割的最优设计方案。
其次,我们采取了三种模型:
1.某根线材的切割方案模型。
确定一根线材的几种最优切割方案,做到单根线材的最佳优化。
2.实行切割方案的模型。
要求花费原材料最少,即要求做到方案组合的最佳优化。
3.多线材切割方案的一般模型。
通过对某根线材切割方案和实行切割方案的分析,建立线材切割的一般模型,得到最优化设计方案。
最后,我们对所设计的模型进行了讨论。
关键词语:
多线材切割整数规划数学模型最优化方案
一、问题重述···································3
二、问题假设···································4
三、符号说明···································4
四、建立模型···································4
4.1某根线材的切割方案模型·····················4
4.2实行切割方案的模型·························6
4.3实行切割方案模型的求解····················6
4.4结果分析··································7
4.5多线材切割一般模型的建立··················7
五、模型的分析与讨论··························8
六、线材切割问题的几点建议····················9
七、参考文献··································10
八、附录······································11
一、问题重述
在很多工程领域,都有线材切割问题。
这一问题可表述为:
设能购买到的不同长度的原线材有m种,长度分别为L1,...,Lm,这些原线材只是长度不同,其它都相同。
某工程中所要切割出的线材长度分别为li,i=1,2,...,n(这里li<所有Li),对应数量分别为Ni,i=1,2,...,n。
设计优化计算方案,求出分别需要购买多少根不同长度的原线材,并能给出切割方案及线材利用率。
现假设某装修工程中需要对铝合金线材进行切割,工程能购买到的同一规格的铝合金线材有二种长度,一种长度是8米,另一种是12米。
现在假设要切割长度和数量如下所示的铝合金线材:
编号长度(单位:
米)数量(单位:
根)
--------------------------------------------------
16.2090
23.60120
32.80136
41.85310
50.75215
60.55320
应用所设计的计算方案,请问至少需要购买多少根8米和12米的线材,使浪费的线材比较少,并给出切割方案和计算线材利用率。
二、问题假设
1.两种线材单位长度的价格是固定的。
2.货源充足。
3.在切割过程中不会出现人为造成的材料损失。
三、符号说明
1.Li:
第i种原材料的长度。
2.lj:
所需的第j种成品线材的长度。
3.Nj:
所需的第j种成品线材的数量。
4.Xij:
第i种线材被实行第j种切割方案的次数或该方案本身。
5.aj:
某根线材切割出编号为j的线材成品数量,aj为整数。
四、建立模型
4.1某根线材的切割方案。
确定一根线材的几种最优切割方案。
第一,要保证有一种切割方案能够切割出所需的第j种线材成品。
第二,要遵循每根线材余料最少的原则,要求做到单根线材的最佳优化。
模型M1
某根8m线材的切割方案模型:
min=8-6.20×a1-3.60×a2-2.80×a3-1.85×a4-0.75×a5-0.55×a6;
s.t.
某根12m线材的切割方案模型:
min=12-6.20×a1-3.60×a2-2.80×a3-1.85×a4-0.75×a5-0.55×a6;
s.t.
在Lingo中执行以上程序,分别得出12种切割方案,见表4.11和表4.12(表中空白处表示0)
表4.11某根8m线材的切割方案
方案
a1
a2
a3
a4
a5
a6
余料/m
X11
1
3
0.15
X12
2
1
0.05
X13
2
1
1
0
X14
4
1
0.05
X15
7
5
0
X16
7
5
0
表4.12某根12m线材的切割方案
方案
a1
a2
a3
a4
a5
a6
余料/m
X21
1
1
4
0
X22
1
1
1
5
0
X23
1
3
0
X24
1
1
1
5
0
X25
1
1
4
0
X26
1
2
3
1
0
从表4.11中可以看出,方案X15和X16相同,因此可将切割方案归为五种。
从表4.12中可以看出,方案X21和方案X25相同,方案X22和X24相同,因此可将切割方案归为四种。
将两种情况总结起来,可得到如表4.13所示的切割方案。
表4.13某根线材的切割方案
方案
a1
a2
a3
a4
a5
a6
余料/m
某根8m线材的切割方案
X11
1
3
0.15
X12
2
1
0.05
X13
2
1
1
0
X14
4
1
0.05
X15
7
5
0
某根12m线材的切割方案
X21
1
1
4
0
X22
1
1
1
5
0
X23
1
3
0
X24
1
2
3
1
0
4.2实行切割方案的模型。
实行切割方案,第一,要求完成切割任务。
第二,要求花费原线材最少,即要求做到方案组合的最佳优化。
实行切割方案模型M2
minZ=8+12
s.t.
4.3实行切割方案模型的求解
在Lingo中求解,得到结果如表4.14所示。
表4.14各种方案的执行情况
X11
X12
X13
X14
X15
X16
X17
X18
X19
61
56
43
67
5
29
0
5
3
min=2300m
因此,我们得到结论:
a.需要购买8m线材的数量为=232根,其中有61根采用方案X11;56根采用方案X12;43根采用方案X13;67根采用方案X14;5根采用方案X15。
b.需购买12m线材的数量=37根,其中有29根采用方案X21;5根采用方案X23;3根采用方案X24。
采用上述方案的实际利用线材的总长为2281.55m,线材的利用率为2281.55/2300=99.20%。
4.4结果分析
经分析可知,执行上述切割方案后,实际得到所需各种线材的数量见表4.15。
表4.15实际得到各种成品线材的数量
长度/m
6.20
3.60
2.80
1.85
0.75
0.55
数量/根
90
120
136
311
216
321
从表4.15中可知,长度分别为1.85、0.75、0.55的线材均比实际要求多出1根,由此造成的浪费为3.1m,而总的浪费为2300-2281.55=18.45m。
可见余料是造成线材浪费的主要原因,而这种浪费是不能完全消除的。
该问题中,线材的实际利用率达到99.20%,相对是一个很高的利用率。
因此这种方案对解决此类问题是可行的。
我们可以将其扩展到一般情况,建立一般模型。
4.5多线材切割一般模型的建立。
某根线材切割方案的一般模型:
模型M3
min=Li-(i=1,2,…,m)
实行切割方案的一般模型:
模型M4
min=
s.t.
五、模型的讨论
一、本次建模模型使用lingo进行操作。
lingo可以用于求解非线性规划,也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等,功能十分强大,是求解优化模型的最佳选择。
其特色在于内置建模语言,提供十几个内部函数.
二、主要任务是建模的过程,然后由lingo软件进行规划。
因为要求得最少的原材料根数,考虑到“全部用完,没有剩余”的原则,首先将切割后没有剩余的情况全部列出,利用lingo软件求出最优结果。
三、本次建模设计采用整数规划,整数线性规划数学模型。
本模型经过两次优化,但第二次优化是在第一次优化的基础上进行的,是对单根线材部分切割方案组合的优化,而不是对所有方案的最佳优化。
采用这种办法,减少了可能的方案,在一定程度上减少了计算量,同时使得
具体切割方案易于实行。
六、线材切割问题的几点建议
(1)实施少量多次加工。
少量、多次切割可使加工工件具有单次切割 不可比拟的表面质量,是控制和改善加工工件表面质量的简便易行的方法和措施。
(2合理安排切割路线。
该措施的指导思想是尽量避免破坏工件材料原有的内部应力平衡,防止工件材料在切割过程中因在夹具等作用下,由于切割路线安排不合理而产生显著变形,致使切割表面质量下降。
(3)正确选择切割参数。
对于不同的粗、精加工,其丝速、丝的张力和喷流压力应以参数表为基础作适当调整,为了保证加工工件具有更高的精度和表面质量,可以适当调高线切割机的丝速和丝张力,虽然制造线切割机床的厂家提供了适应不同切割条件的相关参数,但由于工件的材料、所需要的加工精度以及其他因素的影响,使得人们不能完全照搬书本上介绍的切割条件,而应以这些条件为基础,根据实际需要作相应的调整。
(4)注意加工工件的固定。
当加工工件行将切割完毕时,其与母体材料的连接强度势必下降, 此时要防止因加工液的冲击使得加工工件发生偏斜,因为一旦发生偏斜,就会改变切割间隙,轻者影响工件表面质量,重者使工件切坏报废,所以要想办法固定好被加工工件。
七、参考文献
[1]数学建模及典型案例分析李志林欧宜贵编著化学工业出版社
[2]数学建模与数学实验赵静但琦主编高等教育出版社
[3]数学建模(第三版)姜启源,谢金星,叶俊编著高等教育出版社出版
[4]基于MCGS组态软件线材切割控制系统张旭;孙鹏;李霞;
ASPT来源刊 CJFD收录刊
[5]运筹学与最优化方法吴祈宗北京:
机械工业出版社,2005
八、附录
1)设计方案X11和X21的程序。
model:
min=8-6.20*a1-3.60*a2-2.80*a3-1.85*a4-0.7
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- 线材 切割 问题 最优 设计方案 探讨 讲解