1996考研数二真题及解析.docx
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1996考研数二真题及解析
1996年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题
一、填空题(此题共5
小题,每题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
x
2
(1)
设y
(x
e2)
3
则y
x0
______.
1
1
x2)
2dx
(2)
(x
______.
1
(3)微分方程y2y5y0的通解为______.
(4)
limxsinln(1
3)
sinln(1
1)
______.
x
x
x
(5)
由曲线y
x
1,x
2
及y
2所围图形的面积
S
______.
x
二、选择题(此题共
5小题,每题
3分,满分15分.每题给出的四个选项中
只有一项符
合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内
.)
(1)
设当x
0
时,
ex
(ax2
bx
1)是比x2高阶的无量小,则
()
(A)
a
1,b
1
(B)
a
1,b
1
2
(C)
a
1
1
(D)
a
1,b
1
b
2
(2)
设函数f(x)在区间(
)内有定义,若当x
(
)时,恒有|f(x)|
x2,则x0
必是f(x)的
(
)
(A)
中断点
(B)
连续而不行导的点
(C)可导的点,且f
(0)
0
(D)
可导的点,且f(0)
0
(3)
设f(x)到处可导,则
(
)
(A)
当lim
f(x)
必有lim
f(x)
x
x
(B)
当lim
f(x)
必有lim
f(x)
x
x
(C)
当lim
f(x)
必有lim
f(x)
x
x
(D)
当lim
f(x)
必有
lim
f(x)
x
x
1
1
(4)
在区间(
)内,方程|x|4
|x|2
cosx
0
(
)
(A)
无实根
(B)
有且仅有一个实根
优选
(C)
有且仅有两个实根
(D)
有无量多个实根
(5)
设f
(x),g(x)在区间
[a,b]上连续,且g(x)
f(x)
m(m为常数),由曲线y
g(x),
y
f(x),x
a及x
b所围平面图形绕直线
ym旋转而成的旋转体体积为
()
b
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
dx
(A)
2m
a
(B)
b
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
dx
2m
a
b
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
dx
(C)
m
a
(D)
b
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
dx
m
a
三、(此题共6小题,每题5分,满分30分.)
ln2
e2xdx.
(1)
计算
1
0
(2)
求
dx
.
1
sinx
x
t
d2y
(3)
设
f(u2)du,
0
2
2
此中f(u)拥有二阶导数
且f(u)0,求dx2.
y
[f(t
)]
(4)
求函数f(x)
1
x在x0点处带拉格朗日型余项的
n阶泰勒睁开式.
1
x
(5)
求微分方程y
y
x2的通解.
(6)设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为2a、2b,用过此柱体底面的短轴与底面成
角(0)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V.
2
四、(此题满分8分)
arctanx
计算不定积分x2(1x2)dx.
优选
五、(此题满分8
分)
1
2x2,
x
1,
设函数f(x)
x3,
1x
2,
12x
16,
x
2.
(1)写出f(x)的反函数g(x)的表达式;
(2)g(x)能否有中断点、不行导点,如有,指出这些点.
六、(此题满分
8
分)
设函数y
y(x)由方程2y3
2y2
2xy
x2
1所确立,试求y
y(x)的驻点,并鉴别
它能否为极值点.
七、(此题满分
8
分)
设f(x)在区间[a,b]上拥有二阶导数,且f(a)
f(b)
0,
f(a)f(b)0,试证明:
存在
(a,b)和
(a,b),使f(
)
0及f
()
0.
八、(此题满分
8
分)
设f(x)为连续函数,
(1)
yay
f(x),
求初值问题
的解y(x),此中a为正的常数;
yx0
0
(2)
若|f(x)|
k(k为常数),证明:
当x0时,有|y(x)|
k(1
eax).
a
优选
1996年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题分析
一、填空题(此题共5小题,每题3分,满分15分.)
(1)【答案】1
3
1
【分析】
(2)【答案】
2
x
3
1e
y
xe2
1
3
2
2
x
2
yx0
2
1
1
1.
3
2
3
【分析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质
有
1
2x1x2
1x2
dx
1
1dx022.
原式
x
2
2x1x2
1
1
【有关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质:
a
若f(x)在[a,a]上连续且为奇函数,则
a
f(x)dx0;
若f(x)在[
a,a]上连续且为偶函数
a
a
则
f(x)dx2f(x)dx.
a
0
(3)【答案】y
e
x
ccos2x
csin2x
1
2
【分析】因为y
2y
5y
0是常系数的线性齐次方程
其特点方程r2
2r
5
0有
一对共轭复根r1,r2
1
2i.故通解为y
ex
c1cos2x
c2sin2x.
(4)【答案】2
【分析】因为x
时,
sinln1
k
:
ln
1
k:
k(k为常数),所以,
x
x
x
原式
limxsinln
1
3
limxsi
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