中考专题复习第七讲类比探究二旋转中点讲义设计.docx
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中考专题复习第七讲类比探究二旋转中点讲义设计
第七讲:
类比探究
(二)——旋转、中点(讲义)
Ø知识点睛
1.若属于类比探究常见结构,调用结构类比解决.
若不属于常见结构类型,则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题.
1根据题干条件,结合支干条件先解决第一问.
2类比解决下一问.
如果不能,分析条件变化,寻找不变特征、不变结构.
3结合所求目标,依据不变特征尝试找不变结构,大胆猜测、尝试、验证.
2.不变结构既是类比迁移的前提,也是类比迁移过程中发现的结果.
1对比连续两问特征,考虑类比的前提条件是否存在;
2对比特征应用方式,考虑在“相同”的条件下,能否进行“相同”的组合;
3对比结论,往往先从图上验证上一问结论;或者结合图形以及上一问结论的组合方式猜测新结论.
在类比的过程中,也会进行适当的探索来解决图形变化过程中的一些新问题,此时要在不变结构的框架下去思考分析.
Ø精讲精练
1.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P为BC边上任意一点,Q为AC边上一动点,分别以CP,PQ为边作等边三角形PCF和等边三角形PQE,连接EF.
(1)试探索EF与AB的位置关系,并证明.
(2)如图2,当点P为BC延长线上任意一点时,
(1)中的结论是否成立?
请说明理由.
(3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=m°,P为BC延长线上一点,Q为AC边上一动点,分别以CP,PQ为腰作等腰三角形PCF和等腰三角形PQE,使得PC=PF,PQ=PE,连接EF.要使
(1)中的结论依然成立,则需要添加怎样的条件?
为什么?
2.如图1,∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处,∠QPN=α,将∠QPN绕点P旋转,旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重合).
(1)如图1,当α=90°时,DE,DF,AD之间满足的数量关系是____________;
(2)如图2,将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形,其他条件不变,当
α=60°时,
(1)中的结论变为DE+DF=
,请给出证明;
(2)在
(2)的条件下,若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条
件不变,探究在整个运动变化过程中,DE,DF,AD之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明.
3.已知直线m∥n,点C是直线m上一点,点D是直线n上一点,CD与直线m,n不垂直,点P为线段CD的中点.
(1)操作发现:
直线l⊥m,l⊥n,垂足分别为A,B,当点A
与点C重合时(如图1所示),连接PB,请直接写出线段PA与PB的数量关系:
____________.
(2)猜想证明:
在图1的情况下,把直线l向上平移到如图
2的位置,试问
(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(3)延伸探究:
在图2的情况下,把直线l绕点A旋转,使
得∠APB=90°(如图3所示),已知两平行线m,n之间的距
离为2k.求证:
.
4.在Rt△ACB和Rt△AEF中,∠ACB=∠AEF=90°,若点P是BF的中点,连接PC,PE.
特殊发现:
如图1,若点E,F分别落在边AB,AC上,则结论:
PC=PE成立(不要求证明).
问题探究:
把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转.
(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上,则上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(2)如图3,若点F落在边AB上,则上述结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)记
,当k为何值时,△CPE总是等边三角形(请直接写出k的值,不必说明理由)?
【参考答案】
1.
(1)EF⊥AB
(2)成立
(3)∠QPE=∠CPF=∠B
2.
(1)DE+DF=AD
(2)证明略
(3)当点E落在AD上时,DE+DF
;
当点E落在AD的延长线上时,DF-DE=
3.
(1)PA=PB
(2)成立,证明略
(3)证明略
4.
(1)成立,证明略
(2)成立,证明略
(3)
类比探究
(二)——旋转、中点(随堂测试)
1.在数学活动课中,小辉将边长为
和3的两个正方形放置在直线l上,如图1,他连接AD,CF,经测量发现AD=CF.
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,如图2,试判断AD与CF还相等吗?
说明你的理由;
(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转,使点E旋转至直线l上,如图3,请你求出CF的长.
图1
图2
图3
【参考答案】
1.
(1)相等,理由略
(2)
类比探究
(二)——旋转、中点(习题)
1、问题背景:
已知在△ABC中,AB边上的动点D由A向B运动(与A,B不重合),点E与点D同时出发,由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合),连接DE交AC于点F,点H是线段AF上一点.
(1)初步尝试:
如图1,若△ABC是等边三角形,DH⊥AC
于H,且点D,E的运动速度相等,求证:
HF=AH+CF.
小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题:
思路一:
过点D作DG∥BC,交AC于点G,先证GH=AH,再证GF=CF,从而证得结论成立;
思路二:
过点E作EM⊥AC,交AC的延长线于点M,先证CM=AH,再证HF=MF,从而证得结论成立.
请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程.
(2)类比探究:
如图2,若在△ABC中,∠ABC=90°,∠ADH=
∠BAC=30°,且点D,E的运动速度之比是
,求
的值;
(3)延伸拓展:
如图3,若在△ABC中,AB=AC,∠ADH=
∠BAC=36°,记
,且点D,E的运动速度相等,试用含m的代数式表示
(直接写出结果,不必写解答过程).
2、某数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:
如图1,正方形ABCD中,AB=6,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与点D重合,三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.
(1)求证:
DP=DQ.
(2)如图2,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线,交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并给予证明.
(3)如图3,把三角板的直角顶点固定在点D处,转动三角板,使三角板的一边交AB的延长线于点P,另一边交BC的延长线于点Q,仍作∠PDQ的平分线,交BC的延长线于点E,连接PE.若AB:
AP=3:
4,请直接写出△DEP的面积.
图1
图2
图3
3、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=4,D,E分别是AB,AC的中点.若等腰直角三角形ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰直角三角形AD1E1,设旋转角为α(0°<α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P.
(1)如图1,当α=90°时,BD1=________,CE1=________.
(2)如图2,当α=135°时,求证:
BD1=CE1,且BD1⊥CE1.
(3)①设BC的中点为M,则线段PM的长为___________;
②点P到AB所在直线的距离的最大值为_______.
【参考答案】
1、
(1)证明略
(2)2
(3)
2、
(1)证明略
(2)
,证明略
(3)
3、
(1)
(2)证明略;
(3)①
;②
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