《概率论与数理统计》习题三答案设二维随机变量xy.docx
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《概率论与数理统计》习题三答案设二维随机变量xy
概率论与数理统计》习题及答案
习题三
1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
解】X和Y的联合分布律如表:
YX
0
1
2
3
1
0
1
111
3
2
111
0
C3
C3
3/8
222
8
222
3
1
0
0
1
1
1
1
8
2
2
2
8
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
解】X和Y的联合分布律如表:
YX
0
1
2
3
0
0
0
C23C22
3
C33C12
2
C7
35
C47
35
1
0
C13C12C22
6
C32C12C1212
C33C12
2
C74
35
C47
35
C47
35
2
P(0黑,2红,2白)=
C22C22/C471
C13C22C12
6
C23C22
3
0
C74
35
C47
35
35
3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
sinxsiny,0xπ,0yπ
F(x,y)=22
0,其他.
求二维随机变量(X,Y)在长方形域0x,y内的概率.
463
解】如图P{0Xπ,πYπ}公式(3.2)
463ππππππ
F(π,π)F(π,π)F(0,π)F(0,π)
ππππππ
sinsinsinsinsin0sinsin0sin
434636
2(31).
4
说明:
也可先求出密度函数,
4.设随机变量
X,Y)的分布密度
Ae(3x4y),x0,y0,其他.
y0,x0,其他
求:
(1)
(2)
(3)
常数A;
随机变量(X,Y)的分布函数;
P{0≤X<1,0≤Y<2}.
解】
(1)
-(3x4y)A
由f(x,y)dxdy00Ae-(3x4y)dxdy1A21
得
(2)
A=12
由定义,有
yx
F(x,y)f(u,v)dudv
f(x,y)=
0,
0y0y12e(3u4v)dudv(1e3x)(1e4y)0,0,
(3)P{0X1,0Y2}
P{0X1,0Y2}
12
12e(3x4y)dxdy(1e3)(1e8)0.9499.
5.设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
k(6xy),0x2,2y4,0,其他.
(1)确定常数k;
(2)求P{X<1,Y<3};
(3)求P{X<1.5};
(4)求P{X+Y≤4}.解】
(1)由性质有
24
f(x,y)dxdy02k(6xy)dydx8k1,02
1
故R
8
13
(2)P{X1,Y3}f(x,y)dydx
1313
k(6xy)dydx
0288
(3)P{X1.5}f(x,y)dxdy如图af(x,y)dxdy
x1.5D1
1.54127
dx(6xy)dy.
02832
(4)P{XY4}f(x,y)dxdy如图bf(x,y)dxdy
XY4D2
24x12
y0,
其他.
求:
(1)X与Y的联合分布密度;
(2)P{Y≤X}.
题6图
解】
(1)因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为
0x0.2,其他.
所以
fY(y)50e,
Y0,
y0,
其他.
f(x,y)XY,独立fXx(f)Yy()
15e5y
0.2
0,
25e5y,
0,
0x0.2且y0,其他.
(2)P(YX)f(x,y)dxdy如图25e5ydxdy
yxD
0.2x-5y0.25x
0dx025e-5ydy0(5e5x5)dx-1
=e-10.3679.
7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
4x2y
(1e4x)(1e2y),
0,
求(X,Y)的联合分布密度
8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)
4.8y(2x),0x1,0yx,=0,其他.
求边缘概率密度.
解】fX(x)f(x,y)dy
0x1,其他.
x2
04.8y(2x)dy2.4x2(2x),0
0,0,
0y1,其他.
fY(y)f(x,y)dx
=y4.8y(2x)dx2.4y(34yy2),
=0,0,
解】
(1)
得
(2)
f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdy
D
1124
=-1dxx2cxydyc1.
21
c.
4
12122124
2x2ydyx2(1x4),1x1,
x248
0,0,其他.
fY(y)f(x,y)dx
11.
设随机变量(X,Y)的概率密度为
求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y)
题11图
【解】fX(x)f(x,y)dy
x
1dy2x,0x1,
x
0,其他.
1
1dx1y,1y0,
1
fY(y)f(x,y)dxy1dx1y,0y1,
y
0,其他.
所以
fY|X(y|x)
f(x,y)
fX(x)
1
1
2x
0,
|y|x1,其他.
fX|Y(x|y)
f(x,y)
fY(y)
1
1y
1
1y
0,
yx1,
yx1,其他.
12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大
的号码为Y.
(1)求X与Y的联合概率分布;
(2)X与Y是否相互独立?
【解】
(1)X与Y的联合分布律如下表
X
X
Y
3
4
5
P{Xxi}
1
1
1
2
2
3
3
6
C35
10
C35
10
C35
10
10
2
0
1
1
2
2
3
C35
10
C35
10
10
3
0
0
1
1
1
C25
10
10
1
3
6
P{Y
yi}
10
10
10
6161
(2)因P{X1}P{Y3}P{X1,Y3}
101010010
故X与Y不独立
13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y
X
2
5
8
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.05
0.12
0.03
1)求关于X和关于Y的边缘分布;
2)X与Y是否相互独立?
(2)因P{X2}P{Y0.4}0.20.80.160.15P(X2,Y0.4),
2
(2)方程a2XaY0有实根的条件是
P{X2Y}f(x,y)dxdy
x2y
01dx0x21ey/2dy
12[
(1)(0)]0.1445.
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X和Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为
x1000,其他.
1000
f(x)=x2
0,
(1)当z≤0时,FZ(z)0
只,
16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4求其中没有一只寿命小于180的概率.
解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,202),从而
P{min(X1,X2,X3,X4)180}Xi之间独立P{X1180}P{X2180}
P{X3180}P{X4180}
180}]
[1P{X1180}][P1X2{180}P][X31{18P0}4X][1{
204
[1P{X1180}]41180160[1
(1)]4(0.158)40.00063.
17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为P{X=k}=p(k),k=0,1,2,⋯,P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,⋯证明随机变量Z=X+Y的分布律为
i
P{Z=i}=p(k)q(ik),i=0,1,2,
k0
证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,所以
{Zi}{XYi}
{X0,Yi}{X1,Yi1}{Xi,Y0}
于是
ii
P{Zi}P{Xk,Yik}X,Y相互独立P{Xk}P{Yik}
k0k0
i
p(k)q(ik)
k0
18.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布.
【证明】方法一:
X+Y可能取值为0,1,2,⋯,2n.
k
P{XYk}P{Xi,Yki}
i0
k
P(Xi)P{Yki}
i0
方法二:
设μ1,μ2,⋯,μn;μ1′μ,2′,,⋯μn′均服从两点分布(参数为p),则X=μ1+μ2+⋯+μn,Y=μ1′μ+2′+⋯μ+n′,
X+Y=μ1+μ2+⋯+μn+μ1′μ+2′+⋯μ+n′,
所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布.
19.设随机变量(X,Y)的分布律为
YX
0
1
2
3
4
5
0
0
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
1
0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
0.08
2
0.01
0.03
0.05
0.05
0.05
0.06
3
0.01
0.02
0.04
0.06
0.06
0.05
(1)求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};
2)求V=max(X,Y)的分布律;
3)求U=min(X,Y)的分布律;4)求W=X+Y的分布律.
P{X2,Y2}0.05
50.25
P{Xi,Y2}0.25i0
0.011
0.033
P{X0,Y3}
3
P{X0,Yj}j0
2)P{Vi}P{max(X,Y)i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}
i1i
P{Xi,Yk}P{Xk,Yi},i0,1,2,3,4,5k0k0
(4)类似上述过程,有
W=X+Y
P
12345678
题20图
0.020.060.130.190.240.190.120.05
解】因(X,Y)的联合概率密度为
1)P{Y0|YX}P{Y0,YX}
P{YX}
f(x,y)dy0yx
f(x,y)d
yx
πR1
d12rdr
π/40πR
π1R2rdr
5πR
4d
π/40
3/8
1/2
(2)P{M0}P{max(X,Y)0}1P{max(X,Y)0}
1
1P{X0,Y0}1f(x,y)d1
x04y0
21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少?
121
1xe2,0y,
f(x,y)2x
0,其他.
X,Y)关于X的边缘密度函数为
1xe2,其他.
1/x11
1dy1,
fX(x)022x
0,
1所以fX
(2)1.
4
22.设随机变量X和Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和
Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处
XY
y1
y2
y3
P{X=xi}=pi
x1
x2
1/8
1/8
P{Y=yj}=pj
1/6
1
而X与Y独立,故P{Xxi}P{Yyj}P{Xxi,Yyi},
从而P{Xx1}
1P{Xx1,Yy1}1
61124
11
即:
P{Xx1}214/16
即1
4
又P{Xx1}P{Xx1,Yy1}P{Xx1,Yy2}P{Xx1,Yy3},
11P{Xx1,Yy3},
2481,3
同理P{Xx2}
从而
312
P{Xx2,Yy3}P{Yy3}P{Xx1,Yy3}
XY
y1
y2
y3
P{Xxi}Pi
1
1
1
1
x1
24
8
12
4
1
3
1
3
x2
8
8
4
4
P{Yyj}pj
1
1
1
1
6
2
3
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0
(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;
(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.
解】
(1)P{Ym|Xn}Cnmpm(1p)nm,0mn,n0,1,2,.
(2)P{Xn,Ym}P{Xn}P{Ym|Xn}
求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
解】设F(y)是Y的分布函数,则由全概率公式,知U=X+Y的分布函数为
G(u)P{XYu}0.3P{XYu|X1}0.7P{XYu|X2}
0.3P{Yu1|X1}0.7P{Yu2|X2}由于X和Y独立,可见
G(u)0.3P{Yu1}0.7P{Yu2}
0.3F(u1)0.7F(u2).
由此,得U的概率密度为
g(u)G(u)0.3F(u1)0.7F(u2)
0.3f(u1)0.7f(u2).
25.25.设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P{max{X,Y}≤1}.
解:
因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有
0x3,
x0,x3;
1f(y)3
0,0y3,y0,y3.
因为X,Y相互独立,所以
f(x,y)9,
0,
0x3,0y3,x0,y0,x3,y3.
推得
P{max{X,Y}1}.
9
26.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
YX
10
1
1
a
0
0.2
0
0.1
b
0.2
1
0
0.1
c
其中a,b,c为常数,且X的数学期望E(X)=0.2,P{Y≤0X|≤0}=0.5,记Z=X+Y.求:
(1)a,b,c的值;
(2)Z的概率分布;
(3)P{X=Z}.
解
(1)由概率分布的性质知,
即a+b+c=0.4.
a+b+c+0.6=1
由E(X)0.2,可得
ac0.1.
再由
P{X0,Y0}ab0.1
P{Y0X0}0.5,
P{X0}ab0.5
得
解以上关于
ab0.3.
a,b,c的三个方程得
a0.2,b0.1,c0.1.
(2)Z的可能取值为2,1,0,1,2,
P{Z2}P{X1,Y1}0.2,
P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.1,
P{Z0}P{X1,Y1}P{X0,Y0}P{X1,Y1}0.3,
P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.3,
P{Z2}P{X1,Y1}0.1,即Z的概率分布为
Z
2
1
0
1
2
P
0.2
0.1
0.3
0.3
0.1
(3)P{XZ}P{Y0}0.1b0.20.10.10.20.4.
20.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X,Y)在屏幕上服从均匀分布
(1)求P{Y>0|Y>X};
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- 概率论与数理统计 概率论 数理统计 习题 答案 二维 随机变量 xy