丢番图方程整数解方法.docx
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丢番图方程整数解方法
求不定方程整数解的常用方法
不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制(如要求是有理数,整数或正整数等)的方程或方程组。
不定方程也称丢番图方程,是数论的重要分支学科,也是数学上最活跃的数学领域之一。
我国对不定方程的研究已延续了数千年,“百钱百鸡问题”等一直流传至今,“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。
一般常用的求不定方程整数解的方法包括:
(1)分离整数法
此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数,将其结果中整数部分分离出来,则剩下部分仍为整数,则令其为一个新的整数变量,以此类推,直到能直接观察出特解的不定方程为止,再追根溯源,求出原方程的特解.
例1求不定方程的整数解
解已知方程可化为
因为y是整数,所以也是整数.
由此
x+2=1,-1,3,-3,即
x=-1,-3,1,-5,
相应的
所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).
(2)辗转相除法
此法主要借助辗转相除式逆推求特解,具体步骤如下:
第一步,化简方程,尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);
第二步,缩小未知数的范围,就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内,便于下一步讨论;
第三步,用辗转相除法解不定方程.
例2求不定方程的整数解.
解因为,所以原方程有整数解.
用辗转相除法求特解:
从最后一个式子向上逆推得到
所以
则特解为
通解为
或改写为
(3)不等式估值法
先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式,再解这些不等式得到未知数的取值范围.
例3求方程适合的正整数解.
解因为
所以
所以
即
所以
所以
当时有
所以
所以
所以
所以
当时有
所以
所以
所以
所以
(4)逐渐减小系数法
此法主要是利用变量替换,使不定方程未知数的系数逐渐减小,直到出现一个未知量的系数为的不定方程为止,直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止,再依次反推上去)得到原方程的通解.
例4求不定方程的整数解.
解因为,所以原方程有整数解.
有,用来表示,得
则令
由4<37,用来表示,得
令将上述结果一一带回,得原方程的通解为
注解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求的一个特解,从而写出通解.当不定方程系数不大时,有时可以通过观察法求得其解,即引入变量,逐渐减小系数,直到容易求得其特解为止.
对于二元一次不定方程来说有整数解的充要条件是.
(5)分离常数项的方法
对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程,如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程,可采用分解常数项的方法去求解方程.
例5求不定方程的整数解.
解原方程等价于
因为
所以
所以原方程的通解为
(6)奇偶性分析法
从讨论未知数的奇偶性入手,一方面可缩小未知数的取值范围,另一方面又可用或代入方程,使方程变形为便于讨论的等价形式.
例6求方程的正整数解.
解显然,不妨设
因为328是偶数,所以、的奇偶性相同,从而是偶数.
令
则、
所以
代入原方程得
同理,令
、
于是,有
再令
得
此时,、必有一奇一偶,且
取得相应的
所以,只能是
从而
结合方程的对称性知方程有两组解
(7)换元法
利用不定方程未知数之间的关系(如常见的倍数关系),通过代换消去未知数或倍数,使方程简化,从而达到求解的目的.
例7求方程的正整数解.
解显见,为此,可设其中、为正整数.
所以原方程可化为
整理得
所以
相应地
所以方程正整数解为
(8)构造法
构造法是一种有效的解题方法,并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义,成功的构造是学生心智活动的一种探求过程,是综合思维能力的一种体现,也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略,在处理不定方程问题时可根据题设的特点,构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.
例8已知三整数、、之和为13且,求的最大值和最小值,并求出此时相应的与的值.
解由题意得,消去得
整理得到关于的一元二次方程
因为
因
若符合题意,此时
若时,则有无实数解,故
若时,则有解得符合题意,此时
综上所述,的最大值和最小值分别为16和1,相应的与的值分别为
(9)配方法
把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式,这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一,是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段,我们已经学过用配方法解一元二次方程,用配方法推到一元二次方程的求根公式,用配方法把二次函数化为标准形式等等,是数学中很常用的方法.
例9若
解由题意
即
所以
所以
(10)韦达定理
韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理,广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中,应用此法解题时,先根据已知条件或结论,再通过恒等变形或换元等方法,构造出形如、形式的式子,最后用韦达定理.
例10已知、都是质数,且使得关于的二次方程至少有一个正整数根,求所有的质数对
解设方程的两根分别为、
由根与系数关系得
因为、都是质数,且方程的一根为正整数,可知方程的另一根也是正整数.
所以
所以
①当时,即因为、均是质数,所以故此时无解.
②当时,即所以因为、都是质数,且所以
解得符合条件的质数对为
③当时,即所以满足条件的质数对.
④当时,即所以于是
综上所述,满足条件的质数对为
(11)整除性分析法
用整除性解决问题,要求学生对数的整除性有比较到位的把握.
例11在直角坐标系中,坐标都是整数的点称为整点,设为整数,当直线的交点为整数时,的值可以取
A.2个B.4个C.6个D.8个
解当时,直线平行,所以两直线没有交点;
当时,直线交点为整数;
当、时,直线的交点为方程组的解,解得
因为、均为整数,
所以只能取
解得
综上,答案为C.
(12)利用求根公式
在解不定方程时,若因数分解法、约数分析均不能奏效,我们不妨将其中一个未知数看成参数,然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.
例12已知为整数,若关于的二次方程有有理根,求值.
解因为,所以的根为
由原方程的根是有理根,所以必是完全平方式.
可设则即
因为、均是整数,所以
解得因为所以的值是-2.
(13)判别式法
一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识,也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式的值来判定方程是否有实数根,再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法,不仅可以巩固基础知识,还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.
例13求方程的整数解.
解已知方程可化为
因为、均为整数,所以
且为完全平方数.
于是,令
其中为正整数
所以
因为、均为整数
所以
且为完全平方数,
即有,为完全平方数.
于是,再令
其中为正整数
所以
因为奇偶性相同,且
所以
由上
相应的解得
把代入已知方程中得所以
所以
(14)因式分解法
因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂,再解题时,根据所给题目的特点,灵活运用,将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数,这样就有可能消去某些未知数,或确定未知数的质因数,进而求出其解.利用因式分解法求不定方程整数解的基本思路:
将转化为后,若可分解为则解的一般形式为再取舍得其整数解.
例14方程、都是正整数,求该方程的正整数解.
解已知方程可化为
所以
即
因为、都是正整数
所以
这样
所以
或12或20或36或84
相应地
或4或5或6或7
所以方程的正整数解为:
丢番图(Diophantus):
古代希腊人,代数学的鼻祖,早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称整系数的不定方程为丢番图方程。
百鸡百钱:
我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出的数学问题:
“鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏三值钱一。
百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?
”
解:
设母鸡x只,公鸡y只,小鸡(100-x-y)只,
所以3x+5y+(100-x-y)/3=100
且x,y为整数。
化简:
X+7y/4=25
公鸡五文一只,所以公鸡数量要至少小于20.
有四种情况符合要求:
Y
0
4
8
12
16
20
X
25
18
11
4
-3
-10
100-x-y
75
78
81
84
87
90
1.公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
2.公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
3.公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
4.公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
辗转相除法,又名欧几里德算法,是求两个正整数的最大公因子的算法。
设两数为a、b(a>b),求a和b最大公约数(a,b)的步骤如下:
用a除以b,得a÷b=q......r1(0≤r1)。
若r1=0,则(a,b)=b;若r1≠0,则再用b除以r1,得b÷r1=q......r2(0≤r2).若r2=0,则(a,b)=r1;若r2≠0,则继续用r1除以r2,……如此下去,直到能整除为止。
其最后一个余数为0的被除数的除数即为(a,b)。
例如:
a=25,b=15,a/b=1余10,b/10=1余5,10/5=2余0,最后一个余数为0的被除数的除数就是5,5就是所求最大公约数。
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