第3章-多元正态总体参数的假设检验.ppt
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第三章,多元正态分布参数的假设检验,主要内容,3.1几个重要统计量的分布,一、正态变量二次型的分布,1.分量独立的n维随机向量X的二次型,X的二次型具有以下一些结论:
显然,则,当XNn(,In),0,且时,令,2.一般p维正态随机向量的二次型,维随机向量的二次型具有下述结论:
结论3设A和B为p阶对称矩阵,则,3.非中心t分布和非中心F分布,4.非中心、非中心t分布和非中心F分布的应用,当否定H0时,可能犯第一类错误,且,当H0相容时,可能犯第二类错误,且,二、威沙特(Wishart)分布,1.威沙特分布的定义,一般地,设X(a)Np(,)(a=1,2,n)相互独立,记,则称服从非中心参数为的非中心威沙特分布,记为,其中,当X(a)Np(a,)(a=1,2,n)相互独立,非中心参数,或,这里,其中p为随机阵W的阶数,n为自由度,一元统计中的2对应p元统计中的协方差阵.,【注】随机阵W的密度函数是威沙特于1928年推导出来的,故此分布称为威沙特分布。
2.威沙特分布的性质,性质1设X(a)Np(,)(a=1,2,n)相互独立,则样本离差阵A服从威沙特分布,即,性质3设p阶随机阵,C是mp常数矩阵,则m阶随机阵也服从威沙特分布,即,性质4分块威沙特矩阵的分布(习题三中第3-4题):
设,相互独立,其中,又已知随机阵,性质6设随机阵,则,三、霍特林(Hotelling)T2分布,1.霍特林T2分布的定义,2.霍特林T2分布的性质,性质2T2与F分布的关系:
设T2T2(p,n),则,性质5T2统计量对非退化变换保持不变.,四、威尔克斯(Wilks)统计量及其分布,1.威尔克斯(Wilks)分布的定义,2.统计量与T2或F统计量的关系,结论2当n2=2时,设n1=np,则,结论3当p=1时,则,结论4当p=2时,则,结论5当n22,p2时,可用2统计量或F统计量近似.,3.两个重要结论,结论2若n2p,则,注结论2是一元统计中的推广.,3.2单总体均值向量的检验及置信域,一、均值向量的检验,1.当0已知时均值向量的检验,因为,利用二次型分布的结论,知,其中检验统计量,非中心参数,2.当未知时均值向量的检验,考虑统计量,因为,样本离差阵为,由定义3.1.5可知,再利用T2与F分布的关系,检验统计量取为,例3.2.1人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系.今测量了20名健康成年女性的汗出量(X1)、钠的含量(X2)和钾的含量(X3)(数据见表3.1).试检验,(=0.05).,表3.1成年女性的出汗量及其体内钠和钾含量的数据,解:
记随机向量,假定XN3(,).检验,取检验统计量为,由样本值计算得:
及,进一步计算可得,二、似然比统计量,设样本的似然函数为L(,).检验均值向量0的似然比统计量为:
由习题二第215题知,上面比式的分子当,时达最大值,且最大值为,故,下面来推导似然比统计量与T2的关系:
利用分块矩阵行列式的性质有:
所以,其中,否定域:
其中,三、置信域与联立置信区间,1.置信域,或者,任给置信度1,查F的分布临界值表得F满足,(3.2.1),则均值向量的置信度为1的置信域为,该置信域是一个中心在的椭球.,当检验假设H0:
0时,若0落入上述置信域内,即,例3.2.1人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系.今测量了20名健康成年女性的汗出量(X1)、钠的含量(X2)和钾的含量(X3)(数据见表3.1).,表3.1成年女性的出汗量及其体内钠和钾含量的数据,例3.2.2沿用例3.2.1的数据,试求的置信度为95的置信椭球.,解:
由观测数据计算样本均值向量和样本离差阵A及样本协方差阵S,S的特征值和单位正交向量l分别为,记,由S-1的谱分解式,并令则的置信度为95%的置信椭球为,2.联立置信区间,设XNp(,),考虑X的线性组合,对任意的a,考虑的置信区间便能得到所要的联立置信区间.,得到.于是置信区间为,(3.2.2),其中满足:
(这里tt(n-1).,下面给出构造所有的联立置信区间估计的Scheffe方法.,定理3.2.2假设X(t)(t=1,2,n)为来自p元正态总体Np(,)(0,未知)的随机样本,则对所有的a,区间,包含的概率为1(其中F满足(3.2.1)式).,由于置信概率由T2分布确定,因此为方便起见,以后称定理3.2.2,给出的联立置信区间为T2区间。
在T2区间中,若取a=ei=,(0,1,0),我们便同时得到i(i=1,p)的置信度均为1,T2区间,其中sii为样本协方差阵S的第i个对角元素.,(3.2.4),3.3多总体均值向量的检验,一、两正态总体均值向量的检验,1.两总体协方差阵相等(但未知)时均值向量的检验,由T2统计量的定义3.1.5可知,利用T2与F的关系,检验统计量取为,表3.2日、美两国在华投资企业对中国经营环境的评价数据,解:
取检验统计量为,由样本值计算得:
进一步计算可得:
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- 多元 总体 参数 假设检验