校车安排问题数学建模.docx
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校车安排问题数学建模
论文题目:
关于校车安排问题的数学建模
姓名
张克彬
专业
电气学院电气信息类
班级
10级16班
学号
311008001627
关于校车安排问题的数学建模
摘要:
校车的安排问题涉及到的问题很广泛,其中包括最短距离问题,资源最优配置问题,最短时间问题等等。
这些问题关系到教师们的满意和运营商的利益,是应该认真考虑的。
关于第一题,主要涉及最短路程问题。
我们需要在50个小区中选出n个点作为乘车点,然后计算并比较得出每个小区到这n个乘车点的最短距离,之后确定该小区所属的最近乘车点和之间的距离,将50个小区与其所属的最近乘车点的距离相加得路程和,一共应该有C50n种方案。
比较各种方案的路程和,和最小的就是应对应建立的点的位置。
关于第二题,和问题一相似,也是一个求最小路程和的问题,解法基本相同。
不同之处在于考虑人数以后,应该用每个小区与所属的最近乘车点的距离与该小区的人数做乘积,并用所得积相加,得出的为最短路程。
关于第三题,是安排车次的问题。
第二题中已经计算出乘车点为3个时乘车点应设立在对应的三个小区,易算出每个乘车点应承担的乘客量,由此计算出没个乘车点应派多少辆车运行。
(不足一辆车的乘客时应派一辆车)
关于第四题,矛盾主要集中在教师和工作人员都希望随到随走,而运营商又希望每一辆车都有尽可能多的上座率,由此来降低运营成本,同时运营商的做法也是一个关乎节约资源保护环境的问题。
解决这个矛盾应该合理调整发车时间与学校作息时间的关系(春夏季与秋冬季采用不同的发车时刻表),在淡季采用区间车集中乘客,在高峰期与淡季采用不同载客量的汽车,与附近学校协商采用不同的作息时间并共同采购利用部分汽车等等具体方法。
校车安排问题采用数学方法同时也应该考虑实际情况,是一个典型的数学应用的问题。
关键词:
最短路程人数车辆安排Floyd算法MATLAB
1.问题的提出
许多学校都建有新校区,常常需要将老校区的教师和工作人员用校车送到新校区。
由于每天到新校区的教师和工作人员很多,往往需要安排许多车辆。
如何有效的安排车辆及让教师和工作人员尽量满意是个十分重要的问题。
现有如下问题请你设计解决。
假设老校区的教师和工作人员分布在50个区,各区的距离见表1。
各区人员分布见表2。
问题1:
如要建立
个乘车点,为使各区人员到最近乘车点的距离最小,该将校车乘车点应建立在哪
个点。
建立一般模型,并给出
时的结果。
问题2:
若考虑每个区的乘车人数,为使教师和工作人员满意度最大,该将校车乘车点应建立在哪
个点。
建立一般模型,并给出
时的结果。
问题3若建立3个乘车点,为使教师和工作人员尽量满意,至少需要安排多少辆车?
给出每个乘车点的位置和车辆数。
设每辆车最多载客47人(假定车只在起始站点载人)。
问题4;关于校车安排问题,你还有什么好的建议和考虑。
可以提高乘车人员的满意度,又可节省运行成本。
表1各区距离表
区域号
区域号
距离(m)
1
2
400
1
3
450
2
4
300
2
21
230
2
47
140
3
4
600
4
5
210
4
19
310
5
6
230
5
7
200
6
7
320
6
8
340
7
8
170
7
18
160
8
9
200
8
15
285
9
10
180
10
11
150
10
15
160
11
12
140
11
14
130
12
13
200
13
34
400
14
15
190
14
26
190
15
16
170
15
17
250
16
17
140
16
18
130
17
27
240
18
19
204
18
25
180
19
20
140
19
24
175
20
21
180
20
24
190
21
22
300
21
23
270
21
47
350
22
44
160
22
45
270
22
48
180
23
24
240
23
29
210
23
30
290
23
44
150
24
25
170
24
28
130
26
27
140
26
34
320
27
28
190
28
29
260
29
31
190
30
31
240
30
42
130
30
43
210
31
32
230
31
36
260
31
50
210
32
33
190
32
35
140
32
36
240
33
34
210
35
37
160
36
39
180
36
40
190
37
38
135
38
39
130
39
41
310
40
41
140
40
50
190
42
50
200
43
44
260
43
45
210
45
46
240
46
48
280
48
49
200
表2各区人员分布
区域
人数
区域
人数
1
65
26
16
2
67
27
94
3
42
28
18
4
34
29
29
5
38
30
75
6
29
31
10
7
17
32
86
8
64
33
70
9
39
34
56
10
20
35
65
11
61
36
26
12
47
37
80
13
66
38
90
14
21
39
47
15
70
40
40
16
85
41
57
17
12
42
40
18
35
43
69
19
48
44
67
20
54
45
20
21
49
46
18
22
12
47
68
23
54
48
72
24
46
49
76
25
76
50
62
2.模型的假设及符号说明
2.1模型的假设
1.假设未给出距离的两个区可以通过其他区间接到达。
2.每位教师及工作人员均选择最短路径乘车。
3.乘车点均建在各区内,不考虑区与区之间。
4.教师及工作人员到各站点乘车的满意度与到该站点的距离有关系,距离近则满意度高,距离远则满意度低。
5.假设任意时刻任意站点均有车,不考虑教师及工作人员的等车时间。
6.在乘车点区内的人员乘车距离为零。
7.根据实际情况,我们假设所设置的乘车点数不大于50。
8.假设所有人员均乘车。
9.假设每辆车只载一次人。
10.假设汽车中途不再载人。
11.假设每辆车的型号一致。
12.假设每个乘车点的乘车人数固定不变。
2.2符号说明
P(i)(1≤i≤50)
小区的编号
Q(j)(1≤j≤50)
个乘车点中的第j个乘车点
L(ij)
小区P(i)(1≤i≤50)到乘车点Q(j)(1≤j≤50)的最短路程
M(i)
小区到P(i)(1≤i≤50)达n个乘车点中距离各自最近的乘车点的最短路程
S(n)
各小区到达n个乘车点中距离各自最近的乘车点的最短路程之和
D(n)
各小区到达n个乘车点中距离最短的距离与该小区人数乘积的路程之和
N(i)
表示在小区P(i)(1≤i≤50)内的总人数
3.模型建立和求解
3.1第一题的模型建立和求解
当选取n个乘车点时,共有C50n种选择情况,对于每一种情况均可得出以下两个矩阵
(其中的M
(1)M
(2)M(3)M(4)……M(50)可能为同一个乘车点)
所以又S(n)=M
(1)+M
(2)M+(3)+M(4)+……+M(50)
针对C50n种情况分别求出S(n)则目标函数minS(n)就是所求的最短路程,它所对应的Q(j)就是对应的n个作为站点的小区,这样就可以解出所对应的小区。
当n=2时就有C502种选法,用matlab对每一种情况进行运算,可以得到minS
(2)时所对应的两个站点。
当n=3时就有C503种选法,用matlab对每一种情况进行运算,可以得到minS(3)时所对应的三个站点。
(运算程序详见附录二)
当3≤n≤50时和上述相同计算就可以得出对应的n各站点。
任意两个小区的最短距离可以利用floyd算法(floyd算法简介见附录一)进行计算,下面列出1--10小区之间的最短距离
1--10小区任意两区之间的最短距离
区号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
400
450
700
910
1140
1110
1280
1480
1614
2
400
0
850
300
510
740
710
880
1080
1214
3
450
850
0
810
600
830
800
970
1170
1350
4
700
300
600
0
210
440
410
580
780
960
5
910
510
810
210
0
230
200
370
570
750
6
1140
740
1040
440
230
0
320
340
540
720
7
1110
710
1010
410
200
320
0
170
370
550
8
1280
880
1180
580
370
340
170
0
200
380
9
1480
1080
1380
780
570
540
370
200
0
180
10
1614
1214
1560
960
750
720
550
380
180
0
当n=2时,可以求出当乘车点建在18号小区和31号小区时,各小区人员到最近乘车点的距离最小,最短路程和为24338m。
当n=3时,可以求出当乘车点建在15号小区、21号小和31号小区时,各小区人员到最近乘车点的距离最小,,最短路程19660m。
3.2第二题的模型建立和求解
与第一题模型及求解的不同之处为将S(n)替换为D(n)
D(n)=M
(1)*N
(1)+M
(2)*N
(2)+M(3)*N(3)+……+M(50)*N(50)
针对C50n种情况分别求出D(n)则目标函数minD(n)就是所求的最短路程,它所对应的Q(j)就是对应的n个作为站点的小区,这样就可以解出所对应的小区。
当n=2时,可以求出当乘车点建在24号小区和32号小区时,各小区人员到最近乘车点的距离最小。
当n=3时,可以求出当乘车点建在16号小区、23号小和32号小区时,各小区人员到最近乘车点的距离最小。
3.3第三题的模型建立和求解
为简化计算,按照第二题计算出的结论,应该在16号小区、23号小和32号小区建立乘车点,则各个乘车点所需承担的乘客量可以算出,如下表格
去16号小区坐车的点及其人数
小区
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
25
26
27
28
合计
人数
42
34
38
29
17
64
39
20
61
47
66
21
70
85
12
35
48
76
16
94
18
932
去23号小区坐车的点及其人数
小区
1
2
20
21
22
23
24
43
44
45
46
47
48
49
合计
人数
65
67
54
49
12
54
46
69
67
20
18
68
72
76
737
去32号小区坐车的点及其人数
小区
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
50
合计
人数
29
75
10
86
70
56
65
26
80
90
47
40
57
40
62
833
则所需车辆及对应站点为
16号小区
23号小区
32号小区
所需车辆数
20
16
18
3.4第四题的模型建立和求解
为解决教师和工作人员都希望随到随走,而运营商又希望每一辆车都有尽可能多的上座率,由此来降低运营成本的矛盾,应该统计相应时间段乘车人数,从而在不同的时间段派出不同的车次进行运营,由于缺乏相关数据,只做出大概方案:
在早上7:
00—8:
00、中午12:
00—13:
00、下午14:
00—15:
00、下午17:
00—18:
00以及晚上21:
00—22:
00应集中80%甚至更高的运营车辆进行运营,其他时间则均衡个发车时间的时间差发车。
通过对第三题的解答可知,每个站点都存在空座的情况,所以我们建议在站点校车空座率较高的情况下时,在其他站点进行一次巡游。
当校车型号单一时,很容易造成某些站点乘客难以乘车而其他某些站点又大量空座的情况,这种方案最大限度的节省了成本,相当于所有乘客集中乘车。
其他方案按照学校具体情况考虑。
4.结果的分析检验和改进方法
1.检验:
对个小区乘客做满意度问卷调查,从而获得教师和工作人员的意见反馈,并由此得出所计算结果是否正确。
2.优点:
模型结构简单,而且便于计算,模型的计算采用专业的数学软件,可信度较高,当数据量很大时,此优势更加突出。
3.缺点:
模型的影响因素过于单一化,使得结果与实际情况有些误差。
比如存在车载量未满开走或车辆等候教师及工作人员而停滞的现象。
未考虑到天气(阴雨天)、时间(节假日)及每个人的具体情况。
例外模型缺少实际调查的统计数据,缺乏说服力。
4.改进方法:
应当在各个站点做统计并由此得出结论。
5.参考文献
[1]姜启源谢金星等,《数学模型(第三版)》,高等教育出版社,2010。
[2]林旭梅,葛广英,《MATLAB实用教程》,石油大学出版社,2010。
[3]同济大学应用数学系,《工程数学线性代数》,高等教育出版社,2008。
[4]未知,《有关校车安排问题的数学建模》,XX文库,2011。
6.附录
附录一Floyd算法简介
Floyd算法是弗洛伊德(floyd)提出的一种解决每对节点之间最短路径问题的的算法。
算法的基本思想:
直接在图的带权邻接矩阵中,用插入顶点的方法依次构造出v个矩阵D
(1)、D
(2)、…、D(v),使最后得到的矩阵D(v)为图的距离矩阵,同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。
1.在邻接矩阵G中
表示第i个区域到第j个区域之间的距离;
2.用矩阵R来记录插入点的信息,其中
表示第i个区域到达第j个区域所要经过点的记录,把各个区域插入图中,比较插入区域后的距离与原来的距离,
,如果
的距离变小,则
=k,并把最短距离记录在矩阵D中。
算法完成后则R中包含了最短通路的信息,
中包含了最短路径的信息。
关于本文具体问题的算法(算法程序见程序1)如下:
1.先根据题目所给的各个连通区域之间距离的数据为初始矩阵L(ij)赋值,其中没有给出距离的赋给无穷大,其中L(i,j)=0(i=j)。
2.进行迭代计算。
对任意两点(ij),若存在k,使,L(ik)+L(kj) 3.直到所有点的距离不再更新停止计算,则得到最短路距离矩阵L*(i,j)(i,j=1,2,3…50)。 附录二floyd函数在MATLAB里的程序 clear;clc; n=50;a=zeros(n); a(1,2)=400;a(1,3)=450; a(2,4)=300;a(2,21)=230;a(2,47)=140; a(3,4)=600;a(4,5)=210;a(4,19)=310; a(5,6)=230;a(5,7)=200;a(6,7)=320;a(6,8)=340; a(7,8)=170;a(7,18)=160;a(8,9)=200;a(8,15)=285; a(9,10)=180;a(10,11)=150;a(10,15)=160; a(11,12)=140;a(11,14)=130;a(12,13)=200;a(13,34)=400; a(14,15)=190;a(14,26)=190;a(15,16)=170;a(15,17)=250; a(16,17)=140;a(16,18)=130;a(17,27)=240; a(18,19)=204;a(18,25)=180;a(19,20)=140;a(19,24)=175; a(20,21)=180;a(20,24)=190;a(21,22)=300;a(21,23)=270; a(21,47)=350;a(22,44)=160;a(22,45)=270;a(22,48)=180; a(23,24)=240;a(23,29)=210;a(23,30)=290;a(23,44)=150; a(24,28)=130;a(24,25)=170;a(26,27)=140;a(26,34)=320; a(27,28)=190;a(28,29)=260;a(29,31)=190;a(30,31)=240; a(30,42)=130;a(30,43)=210;a(31,32)=230;a(31,36)=260; a(31,50)=210;a(32,33)=190;a(32,35)=140;a(32,36)=240; a(35,37)=160;a(36,39)=180;a(36,40)=190;a(37,38)=135; a(38,39)=130;a(39,41)=310;a(40,41)=140;a(40,50)=190; a(42,50)=200;a(43,44)=260;a(43,45)=210;a(33,34)=210; a(45,46)=240;a(46,48)=280;a(48,49)=200; a=a+a';M=max(max(a))*n^2; a=a+((a==0)-eye(n))*M; path=zeros(n); fork=1: n fori=1: n forj=1: n ifa(i,j)>a(i,k)+a(k,j) a(i,j)=a(i,k)+a(k,j); path(i,j)=k; end end end end a; 附录三问题一的解答程序 sl=inf; forb=1: n forc=1: n ford=1: n
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- 校车 安排 问题 数学 建模