中考数学专项突破含参二次函数word版+详细解答.docx
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中考数学专项突破含参二次函数word版+详细解答
中考数学专项突破——含参二次函数
类型一函数类型确定型
1.已知抛物线y=3ax+2bx+c.
(1)若a=3k,b=5k,c=k+1,试说明此类函数图象都具有的性质;
1
(2)若a=3,c=2+b,且抛物线在-2≤x≤2区间上的最小值是-3,
求b的值;
(3)若a+b+c=1,是否存在实数x,使得相应的y值为1,请说明理由.
解:
(1)∵a=3k,b=5k,c=k+1,
∴抛物线y=3ax2+2bx+c可化为y=9kx2+10kx+k+1=(9x2+
10x+1)k+1,
∴令9x2+10x+1=0,
1
解得x1=-1,x2=-9,
1
∴图象必过点(-1,1),(-9,1),
当-b>2时,即b<-2,
∴x=2时,y取到最小值为-3.
9
∴4+4b+2+b=-3,解得b=-5(不符合题意,舍去),当-b<-2时即b>2,
∴x=-2时,y取到最小值为-3.
∴4-4b+2+b=-3,解得b=3;
当-2<-b<2时,即-2
为-3,∴4=-3,
解得b1=1+221(不符合题意,舍去),
1-21
综上所述,b=3或2;
(3)存在.理由如下:
∵a+b+c=1,
∴c-1=-a-b,
令y=1,则3ax2+2bx+c=1.
∴Δ=4b2-4(3a)(c-1)=4b2+4(3a)(a+b)=9a2+12ab+4b2+3a2=(3a+2b)2+3a2,
∵a≠0,
∴(3a+2b)2+3a2>0,
∴Δ>0,
∴必存在实数x,使得相应的y值为1.
2.在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分
别相交于A(-3,0)、B(0,-3)两点,二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A.
(1)求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)若二次函数y=x2+mx+n的图象顶点在直线AB上,求m,n的值;
(3)①设m=-2,当-3≤x≤0时,求二次函数y=x2+mx+n的最小值;②若当-3≤x≤0时,二次函数y=x2+mx+n的最小值为-4,求m,n的值.
k=-1
b=-3
解:
(1)将点A(-3,0),B(0,-3)代入y=kx+b得
-3k+b=0
,解得
b=-3
∴一次函数y=kx+b的表达式为y=-x-3;m4n-m2
(2)二次函数y=x2+mx+n的图象顶点坐标为(-2,4),
∵顶点在直线AB上,
4n-m2m
∴4=2-3,
又∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(-3,0),
∴9-3m+n=0,
4n-m2m
∴组成方程组为4=2-3,
9-3m+n=0
(3)①当m=-2时,由
(2)得9-3m+n=0,
解得n=-15,
∴y=x2-2x-15.
∵二次函数对称轴为直线x=1,在-3≤x≤0右侧,
∴当x=0时,y取得最小值是-15.
②∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A,
∴9-3m+n=0,
二次函数y=x2+mx+n的对称轴为直线x=-m2,
i)如解图①,
m4n-m2
当对称轴-3<-m2<0时,最小值为4=-4,联立4n-m2
4=-4,
9-3m+n=0
m=2m=10m
解得或(由-3<-2<0知不符合题意舍去)
n=-3n=212
m=2n=-3
ii)如解图②,当对称轴-m2>0时,∵-3≤x≤0,∴当x=0时,y有最小值为-4,
把(0,-4)代入y=x2+mx+n,得n=-4,
5把n=-4代入9-3m+n=0,得m=3.
m
-2>0,
∴m<0,
∴此种情况不成立;
iii)当对称轴-m2=0时,y=x2+mx+n当x=0时,取得最小值为-4,
把(0,-4)代入y=x2+mx+n得n=-4,5
把n=-4代入9-3m+n=0,得m=3.
0,
∴m=0,
∴此种情况不成立;
iiii)当对称轴-2≤-3时,∵-3≤x≤0,∴当x=-3时,y取得最
小值-4,∵当x=-3时,y=0,不成立.
第2题解图
3.在平面直角坐标系中,二次函数y1=x2+2(k-2)x+k2-4k+5.
(1)求证:
该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点;
(2)若函数y2=kx+3经过y1图象的顶点,求函数y1的表达式;
(3)当1≤x≤3时,二次函数的最小值是2,求k的值.
(1)证明:
∵b2-4ac=4(k-2)2-4(k2-4k+5)=-4<0,∴函数图象与x轴没有交点,
当x=0时,y1=k2-4k+5=(k-2)2+1>0,∴二次函数与坐标轴仅有一个交点;
(2)解:
∵y1=(x+k-2)2+1,∴函数y1的顶点坐标为(2-k,1),代入函数y2=kx+3得(2-k)k+3=1,
解得k=1+3或k=1-3,
∴y1=x2+2(3-1)x+5-23或y1=x2-2(3+1)x+5+23;b
(3)解:
①当对称轴x=-2ba=2-k≤1时,k≥1,
当x=1时,y1取得最小值2,
即1+2(k-2)+k2-4k+5=2,解得k=0(舍去)或k=2;
②当对称轴1<2-k<3时,-1 当x=2-k时,最小值恒为1,无解; ③当对称轴x=2-k≥3时,k≤-1, 当x=3时,y1取得最小值2, 即9+6(k-2)+k2-4k+5=2,化简得k2+2k=0,解得k=0(舍 去)或k=-2. 综上所述,k的值为2或-2. 4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0的)图象经过A(1,1)、B(2,4)和C三点. (1)用含a的代数式分别表示b、c; (2)设抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(p,q),用含a的代数式分别表示p、q; 3 (3)当a>0时,求证: p<2,q≤1. (1)解: ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(1,1)、B(2,4)两点,1=a+b+c 4=4a+2b+c 化解得3=3a+b, ∴b=3-3a, ∴1=a+3-3a+c, ∴c=2a-2; (2)解: 由 (1)得b=3-3a,c=2a-2, 4a(2a-2)-(3-3a)2-a2+10a-9∴q= (3)证明: ∵a>0, 3 2a<0, 3a-3333∴p=2a=2-2a<2; -(a-3)2∵≤0, 4a -a2+6a-94a-(a-3)2∴q=4a+4a=4a+1≤1. 5.已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限. (1)用含a、c的代数式表示b; (2)判断点B所在象限,并说明理由; c (3)若直线y2=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点C(a,b+ 8),求当x≥1时,y1的取值范围. 解: (1)∵抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)经过点A(1,0), 把点A(1,0)代入即可得到a+b+c=0,即b=-a-c; (2)点B在第四象限. 理由如下: ∵抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0), ∴抛物线y1与x轴至少有1个交点,令ax2+bx+c=0,c ∴x1·x2=a, c∴x1=1,x2=,∵a≠c,a ∴抛物线与x轴有两个不同的交点,又∵抛物线不经过第三象限, ∴a>0,且顶点B在第四象限; (3)∵点C(ac,b+8)在抛物线上, 令b+8=0,得b=-8, 由 (1)得a+c=-b, ∴a+c=8, b4ac-b2c 把B(-2a,4a)、C(a,b+8)两点代入直线解析式得 4ac-b2b 4a=2×(-2a)+m cb+8=2×+m a a+c=8 a=2a=4 b=-8b=-8 解得 或(a≠c,舍去), c=6c=4 如解图所示,C在A的右侧, 6.在平面直角坐标系中,设二次函数y1=ax2+2ax+3(a≠0.) (1)若函数y1的图象经过点(-1,4),求函数y1的表达式; (2)若一次函数y2=bx+a(b≠0的)图象经过y1图象的顶点,探究实数a,b满足的关系式; (3)已知点P(1,m)和Q(x0,n)在函数y1的图象上,若m>n,求x0的取值范围. 解: (1)∵二次函数y1=ax2+2ax+3的图象经过点(-1,4),∴4=a-2a+3, ∴a=-1, ∴函数y1的表达式为y1=-x2-2x+3; (2)∵y1=ax2+2ax+3=a(x+1)2+3-a,∴y1图象的顶点坐标为(-1,3-a). ∵一次函数y2=bx+a(b≠0的)图象经过y1图象的顶点,∴3-a=-b+a, ∴实数a、b满足的关系式为b=2a-3; 2a (3)∵二次函数y1=ax2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-2a=-1,∴当m=n时,x0=-3. 当a>0时,如解图①所示, 第6题解图 m>n,∴-3 当a<0时,如解图②所示, ∵m>0,∴x0<-3或x0>1. 综上所述: -3 x0的取值范围为. x0<-3或x0>1(a<0) 类型二函数类型不确定型 1.已知函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数). (1)当m,n取何值时,此函数是我们学过的哪一类函数? 它一定与x 轴有交点吗? 请判断并说明理由; (2)若它是一个二次函数,假设n>-1,那么: 1当x<0时,y随x的增大而减小,请判断这个命题的真假并说明 理由; 2它一定经过哪个点? 请说明理由. 解: (1)①当m=1,n≠-2时, 函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)是一次函数,它一定 与x轴有一个交点, ∵当y=0时,(n+1)xm+mx+1-n=0, n-1 ∴函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)与x轴有交点; ②当m=2,n≠-1时,函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)是二次函数, 当y=0时,(n+1)xm+mx+1-n=0, 即(n+1)x2+2x+1-n=0, ∴Δ=22-4(n+1)(1-n)=4n2≥0,∴函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)与x轴有交点; 3当n=-1,m≠0时,函数y=(n+1)xm+mx+1-n是一次函n-1 数,当y=0时,x=m, ∴函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)与x轴有交点; (2)①假命题,若它是一个二次函数, 则m=2,函数y=(n+1)x2+2x+1-n, ∵n>-1,∴n+1>0, 抛物线开口向上, ∴对称轴在y轴左侧,当x<0时,y可能随x的增大而增大,也可能随x的增大而减小,故为假命题; ②它一定过点(1,4)和(-1,0),理由如下: 当x=1时,y=n+1+2+1-n=4. 当x=-1时,y=0. ∴它一定经过点(1,4)和(-1,0). 2.设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数). (1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并且在同一坐标系中,用描点法画出它们的图象; (2)根据所画图象,猜想出: 对任意实数k,函数的图象都具有的特征,并给予证明; (3)对于任意负实数k,当x 第2题图 解: (1)令k=0,k=1,则这两个函数为y=x+1,y=x2+3x+1,描 点法画函数图象如解图所示; (2)不论k取何值,函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象必过定点(0, 1),(-2,-1), 且与x轴至少有1个交点. 证明: ①∵当x=0时,y=1;当x=-2时,y=-1. ∴函数图象必过(0,1),(-2,-1); ②∵当k=0时,函数为一次函数,∴y=x+1的图象是一条直线,且与x轴有一个交点; ∵当k≠0时,函数为二次函数,y=kx2+(2k+1)x+1的图象是一条抛物线. Δ=(2k+1)2-4×k×1=4k2+4k+1-4k=4k2+1>0, ∴抛物线y=kx2+(2k+1)x+1与x轴有两个交点.综上所述,函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数)与x轴至少有一个交点; (3)∵k<0, 2k+1 ∴函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象在对称轴直线x=-2k的左侧时,y随x的增大而增大. 2k+1 根据题意,得m≤-2k, 2k+11 而当k<0时,-2k=-1-2k>-1, ∴m≤-1. 4 3.已知函数y=kx2+(3-3k)x-4. (1)求证: 无论k为何值,函数图象与x轴总有交点; (2)当k≠0时,A(n-3,n-7)、B(-n+1,n-7)是抛物线上的两个不同点. ①求抛物线的表达式; ②求n的值. 4 (1)证明: 当k=0时,函数为一次函数,即y=3x-4,与x轴交于点 (3,0); 当k≠0时,函数为二次函数, 44 ∵Δ=(3-3k)2-4k×(-4)=(3k+3)2≥0, ∴函数与x轴有一个或两个交点; 综上可知,无论k为何值,函数图象与x轴总有交点; 4 (2)解: ①当k≠0时,函数y=kx2+(3-3k)x-4为二次函数, ∵A(n-3,n-7)、B(-n+1,n-7)是抛物线上的两个不同点, n-3-n+1 ∴抛物线的对称轴为直线x==-1, 4 解得k=145, ∴抛物线的表达式为y=15x2+15x-4; 48 ②∵(n-3,n-7)是抛物线y=15x2+15x-4上的点, 428 ∴n-7=15(n-3)2+15(n-3)-4, 19 解得n1=4,n2=3. 4.已知y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点. (1)求k的取值范围; (2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2. ①求k的值; ②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.解: (1)当k=1时,函数为一次函数y=-2x+3,其图象与x轴有一个交点. 当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k-1)x2-2kx+k+2=0. Δ=(-2k)2-4(k-1)(k+2)≥,0解得k≤2即.k≤2且k≠1.综上所述,k的取值范围是k≤2. (2)①∵x1≠x2,由 (1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴有两个交点,∴由题意得(k-1)x12+(k+2)=2kx1①, 将①代入(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得: 2k(x1+x2)=4x1x2. 令(k-1)x2-2kx+k+2=0, 2kk+2 则x1+x2=,x1x2=, k-1k-1 解得k1=-1,k2=2(不合题意,舍去). ∴所求k的值为-1; 第4题解图 13②如解图,∵k=-1,∴y=-2x2+2x+1=-2(x-2)2+2. 且-1≤x≤1. 13由图象知: 当x=-1时,y最小=-3;当x=2时,y最大=2. ∴y的最大值为23,最小值为-3. 5.设函数y1=(x-k)2+k和y2=(x+k)2-k的图象相交于点A,函数y1,y2的图象的顶点分别为B和C. (1)画出当k=0,1时,函数y1,y2在直角坐标系中的图象; (2)观察 (1)中所画函数图象的顶点位置,发现它们均分布在某个 函数的图象上,请写出这个函数的解析式,并说明理由; (3)设A(x,y),求证: x是与k无关的常数,并求y的最小值. 第5题图 (1)解: 画出图象如解图所示; (2)解: ∵当k=0时,函数y1=y2=x2的顶点为(0,0), 当k=1时,函数y1=(x-1)2+1的顶点为(1,1), 函数y2=(x+1)2-1的顶点为(-1,-1), ∴它们的顶点都在直线y=x的图象上,因为它们的坐标均满足解析式y=x; (3)证明: 令(x-k)2+k=(x+k)2-k, 整理得4kx=2k, ∵函数y1=(x-k)2+k和y2=(x+k)2-k的图象相交于点A, ∴k≠0, 1 解得x=12, ∴x是与k无关的常数; 1111 此时y=(21+k)2-k=k2+41≥14,即y的最小值为41.
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