第六章平面图形.docx
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第六章平面图形
第六章
巧求平面图形的面积
一、知识要点及基本方法
小学生学习几何初步知识,不仅要掌握一些基本的平面图形和立体图形的性质、特征,还要会求这些平面图形的周长、面积及这些立体图形的表面积、体积,而且还要会综合地、巧妙地运用这些知识来进行计算。
特别是计算一些组合图形的面积时,常常用到割补、剪拼、平移、翻转等办法,使得计算巧妙、简便。
要学会这些方法,应用这些方法。
通过解几何题的训练,更好地培养空间想象力,这对学好小学几何初步知识是极有利的,同时也为将来到中学进一步学习几何知识,打下良好而坚实的基础。
二、例题精讲
例1一个三角形的底是6米,高是3米,求它的面积?
解6×3÷2=9(平方米)
答:
它的面积是9平方米。
例2图5由正方形ABCD和长方形EFDG部分重叠而成。
正方形的边长是247.8厘米;长方形的长是292.404厘米、宽是210厘米,正方形和长方形哪个面积大?
分析与解要比较正方形ABCD和长方形EFDG面积的大小,方法是分别算出它们的面积再进行比较。
从题中给出的数据看,确实给计算带来麻烦。
只要在AF两点间连一条线段(如图6),就会发现,三角形AFD的面积是正方形ABCD面积的一半,同时也是长方形EFDG面积的一半,所以正方形ABCD和长方形EFDG的面积一样大。
这样,也就不用计算这两个图形的面积了。
例3梯形ABCD中(如图7—4),△ABE的面积等于30平方厘米,EC的长是AE长的2倍,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
分析:
因为EC的长是AE长的2倍,取EC的中点为F,连结BF、DF,如图7—5,那么△ABE、△EBF、△FBC是等底、等高,所以它们的面积相等.于是可以求出△ABC的面积.又因为△ABC与△DBC有公共的底边BC,相同的高即梯形的高,所以,它们的面积相等,它们的面积分别减去公共△BEC的面积,结果仍应该相等,也就是说,△ABE的面积等于△DEC的面积,是30平方厘米.又由EC是AE的2倍知,△AED的面积是△DEC的面积的一半.至此,很容易求出梯形的面积.
解:
因为EC=2AE,取EC的中点F,连结BF、DF.
有S△ABC=3S△ABE=3×30=90(平方厘米)
又因为S△ABC=S△DBC
所以S△ABC-S△EBC=S△DBC-S△EBC
即S△ABE=S△DEC=30(平方厘米)
而S△AED=SDEC÷2=30÷2=15(平方厘米)
所以梯形ABCD的面积是90+15+30=135(平方厘米)
答:
梯形ABCD的面积为135平方厘米。
例4有5个正方形(如图9),边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。
问图中阴影部分面积是白色部分面积的几倍?
分析与解观察已知图形,显然,先计算出白色面积比较简单。
白色部分面积是:
(22-12)+(42-32)=10(平方米)阴影部分面积是:
52-10=15(平方米)因此,阴影部分面积是白色部分面积的:
15÷10=1。
5(倍)。
例5有一个直角梯形ABCD,已知AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形ABF的面积比三角形EFD的面积大17.4平方厘米,那么ED长多少厘米?
分析与解连接DB(图12)。
已知三角形ABF比三角形EFD的面积大17.4平方厘米,所以三角形ABD比三角形BED的面积也大17.4平方厘米。
已知AB=8厘米,BC=6厘米,三角形ABD的面积等于8×6÷2=24(平方厘米)。
三角形BDE的面积是:
24-17.4=6.6(平方厘米)。
而三角形BDE的面积等于ED×BC÷2即ED×6÷2=6.6所以ED长是2.2厘米。
答:
ED的长是2.2厘米。
例6图17是一个正方形地板砖示意图,在大正方形ABCD中,AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2,中间小正方形EFGH的面积是16平方厘米,四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米,那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米?
分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线,它们相交于O,然后将三角形AOB放在DPC处(如图18和图19)。
已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米,所以小正方形EFGH的边长是4厘米。
又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米,所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米,即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米,那么这个正方形的边长就是6厘米。
由此得出,正方形OCPD的边长是4+6=10厘米,当然正方形OCPD的面积就是102,即100平方厘米。
而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半,因此正方形ABCD的面积是200平方厘米。
答:
正方形ABCD的面积是200平方厘米。
例7图23中四边形ABCD是一个正方形。
E、F分别为CD和BC边上的中点。
已知正方形ABCD的边长是30厘米,那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
分析与解已知四边形ABCD为正方形,E、F分别为CD边与BC边上的中点,因此,三角形BCE和三角形DCF面积相等。
这两个三角形的面积各自减去四边形GFCE的面积,各自剩下的三角形GBF和三角形GDE面积还是相等的。
连接GC(如图24),三角形GBF面积和三角形GCF的面积是相等的,因为这两个三角形等底同高。
同理,三角形GCE面积和三角形GDE的面积也是相等的。
而三角形GBF的面积和三角形GDE的面积相等,因此,三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE及三角形GDE是具有相等面积的四个三角形。
因为正方形ABCD面积等于三角形BCE的面积的4倍,所以图中空白部分的面积,即三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE、三角形GDE的面积之和为正方形ABCD面积的1÷4÷3×4从而得出图中阴影部分的面积为正方形ABCD面积的2/3。
那么阴影部分的面积是:
30×30×2÷3=600(平方厘米)
答:
图中阴影部分的面积是600平方厘米。
例8一根长18厘米的铁线,可以围成各种长方形(要求长方形的长和宽都是整厘米数),面积最大的是多少?
面积最小的是多少?
分析:
根据长方形周长公式,可以知道周长的一半就是长与宽的和,即18÷2=9(厘米)。
按要求,长和宽都要是整厘米数,所以,9可以分解成5和4、6和3、7和2、8和1等4个边长不等的长方形,从而可以求出它们的面积,并进行比较。
解:
(1)面积最大的长方形是:
5×4=20(平方厘米)
(2)面积最小的长方形是:
8×1=8(平方厘米)
答:
面积最大的长方形是20平方厘米,面积最小的长方形是8平方厘米。
练习题
1.一个长方形,若长增加2厘米,面积就增加8平方厘米,若宽减少1厘米,面积就减少7平方厘米。
这个长方形的面积是多少平方厘米?
2.一个先入为主形,若长增加2厘米,面积就增加8平方厘米,若宽减少1厘米,面积就7平方厘米,这个长方形的面积是多少平方厘米?
3.把长方形的长去掉8厘米后,余下的是一个面积是49平方厘米的正方形,原来长方形的面积是多少?
4.一根铁线长140厘米,围成一个长方形,使它的长是宽的2.5倍。
围成的长方形面积是多少平方厘米?
5.一块长方形的菜地,周长为160米,长比宽多20米。
现在菜地的长和宽都增加10米,现在菜地的面积是多少平方米?
6.一块长方形的小麦田,长46米,宽25米,从其中40平方米的地里收得小麦140千克,照这样计算,这块小麦田共可收小麦多少千克?
7.一堵墙长35米,高1。
8米,小强给这堵墙刷石灰,20分钟刷了5平方米。
照这样计算,刷完这堵墙需要多少分钟?
8.一块试验田是个长方形,宽比长少6米,长是宽的3倍,这块地的面积是多少平方米?
9.两块三角形木板的面积相等,第一块底长3.2分米,高1.8分米,第二块底长是第一块底长的1.5倍,第二块高是多少?
10.一个梯形,如果上底增加5厘米,下底和高不变,面积就增加25平方厘米,如果高增加4厘米,上、下底都不变,面积就增加48平方厘米,求原梯形的面积。
11.第一个正方形的边长比第二个正方形的边长长3厘米,第一个正方形的面积比第二个正方形的面积大57平方厘米,求每个正方形的面积。
动物王国
大象一头大象体重达5800千克~7500千克,每天吃掉170千克植物。
羚羊非洲羚羊一下能跳出12米。
美洲羚羊一跃可达到8.3米高。
世界最大羚羊(大角斑羚)肩高1.82米,身长2.8~3.3米,体重达1吨。
狮子狮子群居,一群约30只,其中有1只雄狮,雄狮一天有20小时在睡觉和休息,4小时外出捕食。
河马河马一次能在水下潜10分钟左右。
侏儒河马与普通河马体重比为1∶20。
狼獾原名貂熊,身长90~105厘米,体重15~18千克。
食蚁兽它吃蚂蚁靠舌头去捕捉,它的舌头长60厘米,1分钟伸缩160次,吃掉的蚂蚁数不清。
蝙蝠印度大蝙蝠体长60厘米,翅膀展开宽1.5米。
鸭嘴兽最多1天就能吃掉540条蚯蚓、3只虾、200条小虫和2只青蛙。
松鼠身体细长,约在18~26厘米之间,尾巴长16~24厘米。
土拨鼠生活在北美草原上,居住在距离地面4米的地下,一个居住区大约有1000多只土拨鼠。
海豚游泳速度每秒达13米。
鲸鱼它用肺呼吸,它的肺有1500千克,能容纳15000千克空气。
能潜水10多分钟,在水面上换气时喷出水柱高10多米。
水獭野生水獭善于捕鱼,一年之中大约能吃掉400千克鱼。
响尾蛇以每秒40~60次的频率摇动尾巴发出响声,30米以外就能听到。
猎物时,以每秒1.4米的速度捕食。
蟒蛇我国最大蟒蛇长7米,重60千克。
它的嘴张开角度达130°。
(人嘴只能张30°)
龟海龟寿命300岁,陆龟寿命一般300~400岁,南朝鲜一种海龟寿命700岁。
海龟一次产卵100~200枚。
鱼鱼的耳朵每秒钟感受340~690次声波。
最长寿命达200多岁。
(人每秒感受16~20000次声波)
中华鲟它每年11月都从海区进入长江产卵,一次产卵200万~300万粒。
鲨鱼它消化系统中有一个冷藏食物的袋子。
可冷藏10多天,贮存量达15~20千克。
沙丁鱼含64%的蛋白质,2.7%的脂肪,0.3%的糖等,吃了它可以抗癌长寿。
它终生聚群,一支队伍宽达1千米,长达2千米。
文昌鱼生长在我国青岛和厦门海边。
每条文昌鱼长50多毫米。
厦门刘五店沿海每年产鱼达35吨左右,居世界之首。
鸟一只草鸮一年吃掉400多千克的活食,平均每天吃1.25千克。
一只燕子一天吃200条蝇蛆。
一只金雕一天吃一只狗子或一只羚羊。
针尾雨燕每小时飞行320千米。
隼每小时飞行300千米。
燕子每小时飞行200千米。
野鸭每小时飞行80千米。
乌鸦每小时飞行75千米。
雉鸡每小时飞行50千米。
鹦鹉全世界大约有270多种鹦鹉。
我国有7种。
蜂鸟翅膀每秒扇动50~70次。
能够不停飞行800千米。
信天翁每天飞行500多千米。
猫头鹰它的脖子能转180°。
鹰鹰眼每立方厘米有视觉细胞150万个,(人眼只有20万个)
昆虫复眼它的复眼由多个小眼组成。
蜻蜒有28000只小眼。
蛾有27000只小眼。
龙虱有9000只小眼。
蜜蜂有5000只小眼。
蟑螂有2000只小眼。
蝇有4000只小眼。
昆虫寿命白蚁活15年。
锹形虫活5年。
蜂后活5年。
蝉活20天(在地下呆17年)。
蜉蝣活1天。
昆虫飞行速度蜻蜒每小时飞行150千米。
蝴蝶每小时飞行18~40千米。
蚊子蚊子翅膀每秒扇动250~600次。
跳蚤身长1~3毫米,所跳高度是它身长的100倍。
弹跳速度是每秒1350米。
蝗虫一个蝗虫群有7亿多只,一天吃掉16万吨粮食。
最大蝗虫群约有2500亿只。
七星瓢虫一只每天吃掉100多只蚜虫。
蚯蚓在每0.01公顷的土地上蚯蚓一年生产9吨粪土。
蚂蟥生活在水稻田里,它靠吸血维持生命,一次吸血10多毫升。
人们利用它这一特性,用它排除淤血、毒血治病。
蜘蛛它织出的网是正五边形。
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