高考理科数学立体几何汇编.docx
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高考理科数学立体几何汇编
高考理科数学立体几何汇编
篇一:
20XX-20XX高考数学新课标全国卷汇编-立体几何
20XX-20XX年高考(理科)新课标全国卷立体几何
20XX年
7、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(A)6(B)9(C)12(D)18
11、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为
(A
)
(B
)(C
)(D
)
6632
1
AA1,D是棱AA1的中点,2
C1
19.如图,直三棱柱ABC?
A1B1C1中,AC?
BC
DC1?
BD。
B1
(1)证明:
DC1?
BC;
(2)求二面角1A1?
BD?
C的大小。
20XX年
6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器
A1
D
CA
B
高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为
866π3500π3
cmcm
(B)33
1372π2048π3
cm3(D)cm(C
)33
(A)
8.
某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A)16?
8π(B)8?
8π(C)16?
16π(D)8?
16π
18.如图,三棱柱ABC?
A1B1C1中,CA?
CB,AB?
AA.1,?
BAA1=60°(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB?
CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值。
A
B
C
C1
B1
A1
20XX12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为
A.B.
19.如图三棱锥ABC?
A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB?
B1C.(I)证明:
AC?
AB1;
(Ⅱ)若AC?
AB1,?
CBB1?
60o,AB=Bc,求二面角A?
A1B1?
C1的余弦值.
20XX年
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
若该几何体的表面积为16+20?
,则r
=
(A)1
(B)2
(C)4
(D)8
18.如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。
(1)证明:
平面AEC⊥平面AFC
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值
20XX.
7【解析】选B
该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3
此几何体的体积为V
11【解析】选A
11
?
?
6?
3?
3?
932
?
ABC的外接圆的半径r
O到面ABC
的距离d?
SC为球O的直径?
点S到面ABC
的距离为2d
此棱锥的体积为V
11S?
ABC?
2d?
?
33436
另:
V
1排除B,C,DS?
ABC?
2R
319【解析】
(1)在Rt?
DAC中,AD?
AC得:
?
ADC?
45
?
同理:
?
A1DC1?
45?
?
CDC1?
90
得:
DC1?
DC,DC1?
BD?
DC1?
面BCD?
DC1?
BC
(2)DC1?
BC,CC1?
BC?
BC?
面ACC1A1?
BC?
AC
取A1B1的中点O,过点O作OH?
BD于点H,连接C1O,C1HA?
C1O?
1C1?
B1C1OH?
BD?
1CH
面ABA1B1C1?
面A1BD?
C1O?
面A1BD1
H与点D重合得:
点BD
且?
C1DO是二面角A1?
BD?
C1的平面角设AC?
a,则C1O?
C1D?
?
2C1O?
?
C1DO?
302
既二面角A1?
BD?
C1的大小为30
20XX年
6.【解析】设球的半径为R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离
篇二:
20XX高考数学试题分类汇编-立体几何
专题十四空间向量、空间几何体、立体几何
1.(15北京理科)设?
,?
是两个不同的平面,m是直线且m?
?
.“m∥?
”是“?
∥?
”的
A.充分而不必要条件C.充分必要条件【答案】B【解析】
B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
?
是两个不同的平面,试题分析:
因为?
,若“m∥?
”,则平面?
、?
m是直线且m?
?
.
可能相交也可能平行,不能推出?
//?
,反过来若?
//?
,m“m∥?
”是“?
∥?
”的必要而不充分条件.
考点:
1.空间直线与平面的位置关系;2.充要条件.
2.(15北京理科)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是
侧视图
?
?
,则有m∥?
,则
俯视图
A
.2B
.4C
.2D.5【答案】C【解析】
试题分析:
根据三视图恢复成三棱锥P-ABC,其中PC?
平面ABC,取AB棱的中点D。
D连接CD、PD,有P
AD=BD=1,PC=1,
?
ABCD,AB
底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2。
PD
S?
ABC
11
?
2?
2
2,,S?
PAB?
?
2?
?
22
AC?
BC
?
S?
PAC?
S?
PBC
1?
?
1?
三棱锥表面积S表?
?
2.22
考点:
1.三视图;2.三棱锥的表面积.
3.(15北京理科)如图,在四棱锥A?
EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF?
平面EFCB,EF∥BC,BC?
4,EF?
2a,?
EBC?
?
FCB?
60?
,O为EF的中点.求证:
AO?
BE;
求二面角F?
AE?
B的余弦值;若BE?
平面AOC,求a的值.
A
F
C
E
B
【答案】证明见解析,(2
)?
【解析】
4,(3)a
3
试题分析:
证明线线垂直可寻求线面垂直,利用题目提供的面面垂直平面AEF?
平面EFCB,借助性质定理证明AO?
平面EFCB,进而得出线线垂直,第二步建立空间直
角坐标系,写出相关点的坐标,平面AEF的法向量易得,只需求平面AEB的法向量,设平面AEB的法向量,利用线线垂直,数量积为零,列方程求出法向量,再根据二面角公式求出法向量的余弦值;第三步由于AO?
BE,要想BE?
平面AOC,只需
BE?
OC,利用向量BE、OC的坐标,借助数量积为零,求出a的值,根据实际问题
予以取舍.
试题解析:
由于平面AEF?
平面EFCB,△AEF为等边三角形,O为EF的中点,则AO?
EF,根据面面垂直性质定理,所以AO?
平面EFCB,又BE?
平面EFCB,则AO?
BE.
取CB的中点D,连接OD,以O为原点,分别以OE、OD、OA为x、y、z轴建立空
间直角坐标系,A
),E,B
,0),AE?
。
EB?
,由于平面AEF与y轴垂直,则设平面AEF的法向量
为n1?
,设平面AEB的法向量n2
n2?
AE,ax?
0,x
n2?
EB,x?
?
)y?
0,y?
?
1,则n2
?
1,1),二面角F?
AE
B的余弦值cos?
n1,n2?
n1?
n2n1?
n2
1?
5
由二面角F?
AE?
B为钝二面角,所以二面角F?
AE?
B的余弦值为
.(Ⅲ)有
(1)知AO?
平面EFCB。
则AO?
BE
若BE?
平面AOC,只需BE?
OC。
EB?
又OC?
。
2
BE?
OC?
?
2?
?
)?
0,解得
a?
2或a
44
由于a?
2,则a?
.33
考点:
1.线线垂直的证明;2.利用法向量求二面角;3.利用数量积解决垂直问题.
4.(15北京文科)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1B
C
.2
【答案】C【解析】
试题分析:
四棱锥的直观图如图所示:
由三视图可知,SC?
平面ABCD,SA
是四棱锥最长的棱。
SA?
?
?
.
考点:
三视图.
5.(15北京文科)如图,在三棱锥V?
?
?
C中,平面V?
?
?
平面?
?
C,?
V?
?
为等边三角形,?
C?
?
C且?
C?
?
C?
(Ⅰ)求证:
V?
//平面?
?
C;(Ⅱ)求证:
平面?
?
C?
平面V?
?
;(Ⅲ)求三棱锥V?
?
?
C的体积.
?
,?
分别为?
?
,V?
的中点.
【答案】
(1)证明详见解析;
(2)证明详见解析;(3
【解析】
试题分析:
本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问,在三角形ABV中,利用中位线的性质得OM//VB,最后直接利用线面平行的判定得到结论;第二问,先在三角形ABC中得到OC?
AB,再利用面面垂直的性质得OC?
平面VAB,最后利用面面垂直的判定得出结论;第三问,将三棱锥进行等体积转化,利用VC?
VAB?
VV?
ABC,先求出三角形VAB的面积,由于OC?
平面VAB,所以OC为锥体的高,利用锥体的体积公式计算出体积即可.试题解析:
(Ⅰ)因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM//VB.
又因为VB?
平面MOC,所以VB//平面MOC.
(Ⅱ)因为AC?
BC,O为AB的中点,所以OC?
AB.
又因为平面VAB?
平面ABC,且OC?
平面ABC,所以OC?
平面VAB.所以平面MOC?
平面VAB.
(Ⅲ)在等腰直角三角形ACB
中,AC?
BC?
所以AB?
2,OC?
1.
所以等边三角形VAB
的面积S?
VAB?
.。
篇三:
20XX年全国高考理科数学《立体几何》汇编
20XX年全国高考理科数学《立体几何》汇编
1.(天津)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB//DC。
AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(Ⅰ)证明BE⊥DC;
(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角
F-AB-P的余弦值.
(Ⅰ)证明:
如图,取PD中点M,连接EM,AM.由于E,M分别为PC,PD的中点,故EM//DC,且
EM=
1
DC,又由已知,可得EM//AB且EM=AB,2
故四边形ABEM为平行四边形,所以BE//AM.因为PA⊥底面ABCD,故PA⊥CD,而CD⊥AD,从而CD⊥平面PAD,因为AM<平面PAD,于是CD⊥AM,又
BE//AM,所以.BE⊥DC
(Ⅱ)解:
依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B,C。
D,P.由E为棱PC的中点,得E.
向量BD=,PB=.
ì?
n?
BD设n=为平面PBD的法向量,则?
í
?
?
?
n?
PB
ì?
-x+2y=0,
即í?
0,?
?
x-2z=0.
0,
不妨令y=1,可得n=为平面PBD的一个法向量.于是有
cosn,BE=
n×BEnBE
=
=
3
.3
所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为
(Ⅲ)解:
向量BC=,CP=,AC=,AB=
.由点F在棱PC上,设CF=lCP,0#l
1.
故BF=BC+CF=BC+lCP=.由BF^AC,得BF?
AC
0。
骣113÷?
-,,÷.?
?
桫222÷
3
因此,2+2=0,解得l=.即BF=
4
ì?
?
n1?
AB设n1=为平面FAB的法向量,则í?
?
?
n1?
BF
0,
ìx=0,?
即í113?
0,?
-x+y+z=0.?
22?
2
不妨令z=1,可得n1=为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2=,则
cosn1,n2=
n1×n
2n1n1
=
=-
.10
.10
易知,二面角F-AB-P是锐角,所以其余弦值为
2.(北京)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点,在五棱锥
P?
ABCDE
中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.
(1)求证:
AB
//FG;
(2)若PA?
底面ABCDE,且AF?
PE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.
⑴证明:
AM∥ED,AM?
面PED,ED?
面PED.
?
AM∥面PED.
AM?
面ABF,即AB?
面ABF面ABF面PDE?
FG?
AB∥FG.
⑵如图建立空间直角坐标系A?
xyz,各点坐标如下
A?
0,0,0?
E?
0,2,0?
B?
1,0,0?
C?
2,1,0?
F?
0,1,1?
P?
0,0,2
设面ABF的法向量为n?
?
x0,y0,z0?
,AB?
?
1,0,0?
,AF?
?
0,1,1
D
?
?
x?
0?
n?
AB?
0
即,令y?
1,?
n?
?
0,1,?
1?
y?
z?
0?
?
?
n?
AF?
0
又
BC?
?
1,1,0?
。
?
sinBC,n
1
2
直线BC与平面ABF所成的角为
π.6
设H?
x1,y1,z1?
,由PH?
tPC,则?
x1,y1,z1?
2?
?
t?
2,1,?
2?
x1?
2t
?
?
y1?
t?
H?
2t,t,2?
2t?
z?
2?
2t?
1
又
H?
面ABF,BH?
?
2t?
1,t,2?
2t
?
n?
BH?
0
?
t?
2t?
2?
0,?
t
2?
422?
?
424?
,?
H?
,?
,?
PH?
?
,?
?
3?
333?
?
333
?
PH?
?
2
3、(广东)如图4,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=300,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.
(1)证明:
CF⊥平面ADF;
(2)求二面角D-AF-E的余弦值.
解:
证明:
PD?
平面ABCD,PD?
PCD,
?
平面PCD?
平面ABCD,平面PCD平面ABCD?
CD,
AD?
平面ABCD,AD?
CD,?
AD?
平面PCD,CF?
平面PCD,?
CF?
AD,又AF?
PC,?
CF?
AF,AD,AF?
平面ADF,ADAF?
A,?
CF?
平面ADF.
解法一:
过E作EG//CF交DF于G,CF?
平面ADF,?
EG?
平面ADF,过G作GH?
AF于H,连
EH,
则?
EHG为二面角D?
AF?
E的平面角,设
CD?
2,?
DPC?
300,1
?
?
CDF?
300,从而CF=CD=1,
2
1
DE
CF3
CP?
4,EF∥DC,?
?
,?
DE
?
还易求得EF=,DF?
DPCP223
DE?
EF33
从而EG?
?
?
.易得
AE?
AF?
EF?
DF4223
AE?
EF故HG
?
EH?
AF
?
cos?
EHG
GH?
EH解法二:
分别以DP,DC,
DA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设DC?
2,
1
则A,C,设CF?
?
CP,则F
,2?
2?
0),DF?
CF,
可得?
?
4
31
从而F,0),易得E取面ADF的一个法向量为n1?
CP?
?
1,0),
2222
设面AEF的一个法向量为n2?
利用n2?
AE?
0,且n2?
AF?
0,得n2可以是从而所求二面角的余弦值为
n1?
n2?
?
|n1|?
|n
2|4.如图,四棱锥P?
ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD?
平面ABCD.
(1)求证:
AB?
PD;
(2)若?
BPC?
90?
PB?
2,PC?
2,问AB为何值时,四棱锥P?
ABCD的体积最大?
并求此时平
面PBC与平面DPC夹角的余弦值.
解:
(1)Q面PAD?
面ABCD,面PAD?
面
ABCD=AD,AB?
AD
?
AB?
面ABCD……………………………………2分又QPD?
面ABCD……………………………………3分?
AB?
PD……………………………………4分过P作PO?
AD,由
(1)有PO?
面ABCD,
作OM?
BC,连接PM,作PM?
BC……………………………………5分设
AB=x.
11VP?
ABCD?
?
OP?
SABCD?
?
OP?
AB?
BC?
x?
…7分
33?
当x2?
2即x?
时,Vmax?
……………………………………9分339
如图建立空间直角坐标系
?
?
P?
M?
,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
C?
?
?
D?
?
?
?
?
?
?
uuur
?
uuur
?
PC?
,?
PM?
?
?
?
?
?
?
?
?
uuur
?
?
MC?
?
?
?
3,0,0?
?
uuur
?
r?
uuu?
PD?
?
?
?
DC?
0,?
……………………………………10分?
?
3?
?
3?
?
?
3
urr
设面PMC、面PDC的法向量分别为m?
?
x1,y1,z1?
,n?
?
x2,y2,z2
yz1?
0uruuur1
?
mgPM?
0?
?
ruuur?
?
?
u
x1y1z1?
0?
?
mgPC?
0?
ruuur?
?
u
mg
MC?
0?
?
x1?
0?
?
?
ur
设y1?
1,则z1?
1,?
m?
?
0,1,1
ur
同理可得m?
?
1,1,1?
……………………………………11分
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