付玉德第二十四章圆导学案.docx
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付玉德第二十四章圆导学案
24.1.1 圆的有关概念导学案
学习目标:
了解圆的有关概念,并灵活运用圆的概念解决一些实际问题。
重点:
与圆有关的概念
难点:
圆的概念的理解
一、自主学习:
1、举例说出生活中的圆
2、你是怎样画圆的?
3、从圆的形成过程,我们可以得出:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的______叫做圆.固定的端点O叫做______,线段OA叫做_______.
以点O为圆心的圆,记作“______”,读作“______”.
4、确定圆有两个要素:
一是________,二是__________;
____________确定圆的位置,__________确定圆的大小
5、尝试作⊙O1、⊙O2半径分别为2㎝和3㎝,感受圆的形成。
你能讲出形成圆的方法有多少种?
二、小组学习:
1、圆的定义:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转,另一个端点所形成的图形叫做.固定的端点O叫做,线段OA叫做.以点O为圆心的圆,记作“”,读作“”
决定圆的位置,决定圆的大小。
2、讨论下面的两个问题:
问题1:
圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律?
问题2:
到定点的距离等于定长的点又有什么特点?
圆的定义:
到的距离等于的点的集合.
思考:
为什么车轮是圆的?
阅读教材P79下半部,完成下列题
1、如图所示,________是直径,________是弦
_________是劣弧,_______________是优弧.
2、如果a,d分别是同一个圆的弦和直径,则a,d的大小关系是__________________.
3、动手画
(1)以O为圆心的圆可以画_________个圆,
这些圆叫_______________。
(2)以2cm为半径的圆可以画________个圆,
这些圆是________________。
三、精讲点拨
弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧.
四、展示反馈:
1、如何在操场上画出一个半径是5m的圆?
请说出你的方法。
2、下列说法正确的是
①直径是弦②弦是直径③半径是弦④半圆是弧,但弧不一定是半圆
⑤半径相等的两个半圆是等弧⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等
3、已知:
如图,四边形是矩形,对角线、交于点.
求证:
点、、、在以为圆心的圆上.
五、知识归纳:
1、圆心决定圆的________,而半径决定圆的________
2、直径是圆中经过________的特殊的弦,是最________的弦,并且等于半径的2倍,但弦不一定是________直径,过圆上一点和圆心的直径有且只有一条
3、半圆是特殊的弧,而弧不一定是________。
4、“同圆”指的是同一个圆,“等圆”指的是两个圆的位置、大小关系。
判定两个圆是否是等圆,常用的方法是看其半径是否________,半径相等的两个圆是等圆。
5、“等弧”是能够________的两条弧,而长度相等的两条弧不一定是________。
24.1.2 垂直于弦的直径导学案
(1)
学习目标:
理解圆的轴对称性,掌握垂径定理及其他结论。
重 点:
垂径定理及其推论和运用。
难点关键:
探索垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.
一、复习与提问
⒈叙述:
请同学叙述圆的集合定义?
⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________,圆上两点间的部分叫做_____________,
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做______________。
3.课本P80页有关“赵州桥”问题。
二、动手实践,发现新知
⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心?
动手试一试,有方
法的同学请举手。
⒉问题:
①在找圆心的过程中,把圆纸片折叠时,两个半圆_______
②刚才的实验说明圆是____________,对称轴是经过圆心的每
一条_________。
三、创设情境,探索垂径定理
⒈在找圆心的过程中,折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢?
垂直是特殊情况,你能得出哪些等量关系?
E
⒉若把AB向下平移到任意位置,变成非直径的弦,观察一下,还有与刚才相类似的结论吗?
⒊要求学生在圆纸片上画出图形,并沿CD折叠,实验后提出猜想。
你能发现图中有哪些相等的线段和弧?
为什么?
相等的线段:
相等的弧:
这样,我们就得到垂径定理
4、垂直于的直径平分弦,并且平分弦所对的两条.
表达式:
∵
∴
下面我们用逻辑思维给它证明一下:
已知:
直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M
求证:
AM=BM,弧AC=BC,弧AD=BD.
分析:
要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此,只要连结OA、OB或AC、BC即可.
证明:
如图,连结OA、OB,则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中
∴Rt△OAM≌Rt△OBM()
∴AM=
∴点和点关于CD对称
∵⊙O关于CD对称
D
∴当圆沿着直线CD对折时,点A与点B重合,弧AC与弧BC重合,弧AD与弧CD重合.
∴,,
推论:
平分弦()的直径垂直于弦,并且
符号语言:
∵
∴
四、归纳总结:
1.圆是图形,任何一条所在直线都是它的对称轴.
2.垂径定理
推论.
五、巩固运用
(一)定理的应用
1、辨析题:
下列各图,能否得到AE=BE的结论?
为什么?
C
O
O
O
E
E
B
O
A
A
B
E
B
A
D
D
A
E
B
D
2、“赵州桥”问题。
(师生合作)
方法提示:
在圆中,解决有关弦的问题时常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线,实际上,往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可.这样把垂径定理和勾股定理结合起来
3、已知:
在圆O中,⑴弦AB=8,O到AB的距离等于3,求圆O的半径。
⑵若OA=10,OE=6,求弦AB的长。
24.1.2 垂直于弦的直径导学案
(2)
学习目标:
掌握垂径定理及其推论,学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算
一、自主学习
1.圆是图形,任何一条所在直线都是它的对称轴.
2.垂径定理
推论.
3.对于一个圆和一条直线来说,如果一条直线具备①经过圆心,②垂直于弦,③平分弦(不是直径),④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧,五个条件中的任何两个,那么也就具备了其他三个。
(讲解说明)
4.在圆的有关计算和证明中,常作圆心到的垂线段,这样不仅为利用垂径定理创造条件,而且为构造直角三角形利用勾股定理,沟通已知与未知量之间的关系创造条件。
二、合作学习
1、⊙O的半径是5,P是圆内一点,且OP=3,过点P最短弦、最长弦的长为.
2、如右图2所示,已知AB为⊙O的直径,且AB⊥CD,垂足为M,CD=8,AM=2,
则OM=.
3、⊙O的半径为5,弦AB的长为6,则AB的弦心距长为.
4、已知一段弧AB,请作出弧AB所在圆的圆心。
5、问题1:
如图1,AB是两个以O为圆心的同心圆中大圆的直径,AB交小圆交于C、D两点,求证:
AC=BD
问题2:
把圆中直径AB向下平移,变成非直径的弦AB,如图2,是否仍有AC=BD呢?
问题3:
在圆2中连结OC,OD,将小圆隐去,得图4,设OC=OD,求证:
AC=BD
问题4:
在图2中,连结OA、OB,将大圆隐去,得图5,设AO=BO,求证:
AC=BD
三、巩固练习p82:
2题、p88:
9题
四、学后反思
1、圆是轴对称图形,经过圆心的都是它的对称轴。
由此可得出垂径定理:
垂直于弦的直径弦,并且弦所对的两条弧。
平分弦(不是直径)的直径于弦,并且弦所对的两条弧。
2、在圆的有关计算和证明中,常作圆心到的垂线段,这样不仅为利用垂径定理创造条件,而且为构造直角三角形利用定理,沟通已知与未知量之间的关系创造条件。
24.1.3 弧、弦、圆心角的关系导学案
学习目标:
1、掌握圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的相等关系,并能运用这些关系解决有关的证明、计算。
2、经历探索证明圆心角、弦、弧之间的关系。
【重点】
弧、弦、圆心角之间的相等关系
【难点】
定理的证明
学习过程:
一、自主学习
(一)复习巩固
(1)圆是轴图形,任何一条所在直线都是它的对称轴.
(2)垂径定理
推论.
(二)合作探究
1、如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做.
2、请同学们按下列要求作图并回答问题:
如图所示的⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠AOB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到
∠AOB′的位置,你能发现哪些等量关系?
为什么?
相等的弦:
;相等的弧:
理由:
结论:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的相等,所对的弦也.
表达式:
同样,还可以得到:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的相等,所对的弦也.
表达式:
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角,所对的也相等.
表达式:
注:
同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也。
二、应用巩固
1、如图,AB,CD是⊙O的两条弦。
⌒
⌒
(1)如果AB=CD,那么,
(2)如果AB=CD,那么,
(3)如果∠AOB=∠COD,那么,
(4)如果AB=CD,OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,OE与OF相等吗?
为什么?
⌒
⌒
⌒
2、如图,在⊙O中AB=AC∠ACB=60°,
求证:
∠AOB=∠BOC=∠AOC
⌒
⌒
⌒
3、如图,AB是⊙O的直径,BC=CD=DE,∠COD=35°,求∠AOE的度数。
三.学习小结
关于圆心角、弧、弦之间的关系:
同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也。
特别注意的是:
运用本知识点时应注意其成立的条件:
“同圆或等圆中”;本知识点是证明弦相等、弧相等的常用方法。
24.1.4 圆周角导学案
(1)
学习目标:
1.了解圆周角的概念.理解圆周角的定理.理解圆周角定理的推论.
2.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.
重点:
圆周角的定理、圆周角定理的推导及运用它们解题.
难点:
运用数学分类思想证明圆周角的定理.
一、预习导学
叫圆心角。
二、合作探究
1、如图,点A在⊙O外,点B1、B2 、B3在⊙O上,点C在⊙O内,度量∠A、∠B1、∠B2 、∠B3 、∠C的大小,你能发现什么?
∠B1、∠B2 、∠B3有什么共同的特征?
_____________。
归纳得出结论,顶点在_______,并且两边_______________________的角叫做圆周角。
强调条件:
①_____________________,
②_________________________。
识别图形:
判断下列各图中的角是否是圆周角?
并说明理由.
:
答:
2、如图,AB为⊙O的直径,∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角,求出图(1)、(2)、(3)中∠BAC的度数.
答:
通过计算发现:
∠BAC=__∠BOC.即,
尝试证明这个结论:
3.如图,BC所对的
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- 付玉德 第二 十四 章圆导学案