第三章 三角函数解三角形 34 函数yAsinωx+φ的图像及应用.docx
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第三章三角函数解三角形34函数yAsinωx+φ的图像及应用
[方法与技巧]
1.五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点,注意曲线凸凹方向;
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言,而不是看角ωx+φ的变化.
2.由图象确定函数解析式
由图象确定y=Asin(ωx+φ)时,φ的确定是关键,尽量选择图象的最值点代入;若选零点代入,应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点.
3.对称问题
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x,±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离).
[失误与防范]
1.由函数y=sinx的图象经过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,如先伸缩,再平移时,要把x前面的系数提取出来.
2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看做一个整体.若ω<0,要先根据诱导公式进行转化.
3.函数y=Asin(ωx+φ)在x∈[m,n]上的最值可先求t=ωx+φ的范围,再结合图象得出y=Asint的值域.
[解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤]
第一步:
(化简)将f(x)化为asinx+bcosx的形式;
第二步:
(用辅助角公式)构造f(x)=·(sinx·+cosx·);
第三步:
(求性质)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质;
第四步:
(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.
温馨提醒
(1)在第
(1)问的解法中,使用辅助角公式
asinα+bcosα=sin(α+φ)(其中tanφ=),或asinα+bcosα=cos(α-φ)(其中tanφ=),在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注.
(2)求g(x)的最值一定要重视定义域,可以结合三角函数图象进行求解.
[三角函数图象与性质的综合问题]
典例 (14分)已知函数f(x)=2sin(+)·cos(+)-sin(x+π).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思维点拨
(1)先将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求周期;
(2)将f(x)解析式中的x换成x-,得g(x),然后利用整体思想求最值.
规范解答
解
(1)f(x)=2sin(+)·cos(+)-sin(x+π)=cosx+sinx[4分]
=2sin(x+),[6分]
于是T==2π.[7分]
(2)由已知得g(x)=f(x-)=2sin(x+),[10分]
∵x∈[0,π],∴x+∈[,],
∴sin(x+)∈[-,1],[12分]
∴g(x)=2sin(x+)∈[-1,2][13分]
故函数g(x)在区间[0,π]上的最大值为2,最小值为-1.[14分]
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1 已知函数y=2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
解
(1)y=2sin的振幅A=2,
周期T==π,初相φ=.
(2)令X=2x+,则y=2sin=2sinX.
列表如下:
x
-
X
0
π
2π
y=sinX
0
1
0
-1
0
y=2sin
0
2
0
-2
0
描点画出图象,如图所示:
(3)方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin的图象;
再把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象;
最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.
方法二 将y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin2x的图象;
再将y=sin2x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象;
再将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即得到y=2sin的图象.
思维升华
(1)五点法作简图:
用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.
(2)图象变换:
由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
(1)把函数y=sin(x+)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将图象向右平移个单位长度,那么所得图象的一条对称轴方程为( )
A.x=-B.x=-
C.x=D.x=
(2)设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )
A.B.3C.6D.9
答案
(1)A
(2)C
解析
(1)将y=sin(x+)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+);再将图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin[2(x-)+]=sin(2x-),故x=-是其图象的一条对称轴方程.
(2)由题意可知,nT=(n∈N*),
∴n·=(n∈N*),
∴ω=6n(n∈N*),∴当n=1时,ω取得最小值6.
题型二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2
(1)将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P,则φ的值可以是( )
A.B.
C.D.
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为__________.
答案
(1)B
(2)f(x)=sin(2x+)
解析
(1)∵P在f(x)的图象上,
∴f(0)=sinθ=.
∵θ∈,
∴θ=,
∴f(x)=sin.
∴g(x)=sin.
∵g(0)=,
∴sin=.
验证φ=π时,
sin=sin=sin=成立.
(2)由题图可知A=,
=-=,
所以T=π,故ω=2,
因此f(x)=sin(2x+φ),
又为最小值点,
∴2×π+φ=2kπ+,k∈Z,
∴φ=2kπ+,k∈Z,
又|φ|<π,
∴φ=.
故f(x)=sin(2x+).
思维升华 确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法:
(1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,
则A=,b=.
(2)求ω,确定函数的最小正周期T,则可得ω=.
(3)求φ,常用的方法有:
①代入法:
把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②特殊点法:
确定φ值时,往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下:
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx+φ=;“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx+φ=.
函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则φ=________.
答案 -
解析 ∵=π-π,
∴T=π.
又T=(ω>0),
∴=π,
∴ω=2.
由五点作图法可知当x=π时,
ωx+φ=,
即2×π+φ=,
∴φ=-.
题型三 三角函数图象性质的应用
命题点1 三角函数模型的应用
例3 如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置P(x,y).若初始位置为P0,当秒针从P0(注:
此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为( )
A.y=sinB.y=sin
C.y=sinD.y=sin
答案 C
解析 由题意可得,函数的初相位是,排除B、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转,即T==60,所以|ω|=,即ω=-.
命题点2 方程根(函数零点问题)
例4 已知关于x的方程2sin2x-sin2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________.
答案 (-2,-1)
解析 方程2sin2x-sin2x+m-1=0可转化为
m=1-2sin2x+sin2x
=cos2x+sin2x
=2sin,x∈.
设2x+=t,则t∈,
∴题目条件可转化为
=sint,t∈,有两个不同的实数根.
∴y=和y=sint,t∈的图象有两个不同交点,如图:
由图象观察知,的范围为(-1,-),
故m的取值范围是(-2,-1).
引申探究
例4中,“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则m的取值范围是__________.
答案 [-2,1)
解析 由例4知,的范围是,∴-2≤m<1,
∴m的取值范围是[-2,1).
命题点3 图象性质综合应用
例5 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)求函数y=f(x)+f的最大值及对应的x的值.
解
(1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)
=2
=2sin.
因为f(x)是偶函数,则φ-=+kπ(k∈Z),
所以φ=+kπ(k∈Z),
又因为0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=2sin=2cosωx.
由题意得=2·,所以ω=2.
故f(x)=2cos2x.
因此f=2cos=.
(2)y=2cos2x+2cos2
=2cos2x+2cos
=2cos2x-2sin2x
=2sin
=-2sin
令2x-=2kπ-(k∈Z),y有最大值2,
所以当x=kπ-(k∈Z)时,y有最大值2.
思维升华
(1)三角函数模型的应用体现在两方面:
一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题.
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.
设函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的图象关于直线x=对称,它的周期是π,则下列说法正确的是________.(填序号)
①f(x)的图象过点(0,);
②f(x)在[,]上是减函数;
③f(x)的一个对称中心是(,0);
④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y=3sinωx的图象.
答案 ①③
解析 ∵周期为π,∴=π⇒ω=2,
∴f(x)=3sin(2x+φ),f()=3sin(+φ),
则sin(+φ)=1或-1.
又φ∈(-,),+φ∈(,π),
∴+φ=⇒φ=,
∴f(x)=3sin(2x+).
①:
令x=0⇒f(x)=,正确.
②:
令2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z
⇒kπ+ 令k=0⇒ 即f(x)在(,)上单调递减,而在(,)上单调递增,错误. ③: 令x=⇒f(x)=3sinπ=0,正确. ④: 应平移个单位长度,错误.
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