正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳.docx
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正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳
●高考明方向
掌握正弦定理、余弦定理,
并能解决一些简单的三角形度量问题.
★备考知考情
1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考
考查的热点.
2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题
中,综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的
判断等问题.
3.三种题型都有可能出现,属中低档题.
一、知识梳理《名师一号》P62
知识点一正弦定理
(其中R为△外接圆的半径)
变形1:
变形2:
变形3:
注意:
(补充)
关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式
均可利用正弦定理进行边角互化。
知识点二余弦定理
注意:
(补充)
(1)关于边的二次式或关于角的余弦
均可考虑利用余弦定理进行边角互化。
(2)勾股定理是余弦定理的特例
(3)在中,
用于判断三角形形状
《名师一号》P63问题探究问题3
判断三角形形状有什么办法?
判断三角形形状的两种途径:
一是化边为角;
二是化角为边,
并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
知识点三三角形中常见的结论
△的面积公式有:
①S=a·h(h表示a边上的高);
②S====;
知两边(或两边的积)及其夹角可求面积
③S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
(补充)
(1)
(2)在三角形中大边对大角,大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边,
任意两边之差小于第三边.
(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式
利用及诱导公式可得之
(5)在△中的几个充要条件:
《名师一号》P63问题探究问题4
>⇔>⇔a>b⇔A>B.
(补充)
若
或()
或 ()
《45套》之719
(6)锐角△中的常用结论
为锐角三角形
4.解斜三角形的类型
《名师一号》P63问题探究问题1
利用正、余弦定理可解决哪几类问题?
在解三角形时,
正弦定理可解决两类问题:
(1)已知两角及任一边,求其它边或角;
(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.
情况
(2)中结果可能有一解、二解、无解,
应注意区分.
余弦定理可解决两类问题:
(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题;
(2)已知三边问题.
(补充)已知两边和其中一边的对角(如)
用正弦定理或余弦定理均可
《名师一号》P63问题探究问题2
选用正、余弦定理的原则是什么?
若式子中含有角的余弦或边的二次式,
要考虑用余弦定理;
若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,
则考虑用正弦定理;
以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
补充:
一、正弦定理推导必修5
证明思路:
转化到特殊情形直角三角形中
二、余弦定理推导必修5
2011年陕西高考考查余弦定理的证明
18.(本小题满分12分)
叙述并证明余弦定理。
,
,
.
证明:
(证法一)如图,
即
同理可证,
(证法二)已知中,所对边分别为,以为原点,所在直线为轴建立直角坐标系,则,
∴,
即
同理可证,
二、例题分析:
(一)利用正、余弦定理解三角形
例1.
(1)《名师一号》P62对点自测1
在△中,A=60°,B=75°,a=10,则c等于( )
A.5B.10D.5
解析 由A+B+C=180°,知C=45°,
由正弦定理得:
=.
即=.∴c=.
注意:
已知两角及任一边,求其它边或角
正弦定理,解唯一
例1.
(2)《名师一号》P62对点自测2
在△中,若a=3,b=,A=,
则C的大小为.
解析 由正弦定理可知
===,
所以B=或(舍去),
(因为a>b即A=>B所以B=)
所以C=π-A-B=π--=.
一解!
变式1:
在△中,若b=3,a=,A=,
则C的大小为.
答案:
>1
无解!
变式2:
在中,已知,
解.
答案:
或
两解!
变式3:
求边?
注意:
知道两边和其中一边的对角(如)解三角形
可用正弦定理先求出角也可用余弦定理先求出边
再求解。
两种方法均须注意解的个数!
可能有一解、二解、无解,应注意区分.
练习:
(补充)
(2009山东文17)已知函数
处取最小值。
(I)求的值;
(Ⅱ)在中,分别是角A,B,C的对边,已知求角C。
【解析】
(Ⅰ)f(x)=2
=().
因为 f(x)在x=时取最小值,
所以 (+)1,故 1.
又 0<<,所以=,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)().
因为f(A),且A为△的角,
所以A=.
由正弦定理得 ==,
又b>a,
当时,
当时,
综上所述,[来
例2.(补充)
若满足条件,
的有两个,求的取值范围.
答案:
注意:
判断三角形解的个数常用方法:
(1)在中,已知。
构造直角三角形判断
(2)利用余弦定理判断(一元二次方程正根个数)
勿忘大边对大角判断
已知两边及其中一边对角,
判断三角形解的个数的方法:
①应用三角形中大边对大角的性质
以及正弦函数的值域判断解的个数.
②在△中,已知a、b和A,
以点C为圆心,以边长a为半径画弧,
此弧与除去顶点A的射线的公共点的个数
即为三角形的个数,解的个数见下表:
图示已知a、b、A,△解的情况.
(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下:
(ⅱ)A为锐角时,解的情况如下:
运用余弦定理转化为关于一元二次方程
正根个数问题
练习:
已知中,若,
且三角形有两解,求角的取值范围。
答案:
由条件知 ∴<, ∵a
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