初中数学 圆 备课.docx
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初中数学圆备课
第四章圆
1、圆
1、教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
重点:
①点和圆的三种位置关系,圆的有关概念,因为它们是研究圆的基础;②五种常见的点的轨迹,一是对几何图形的深刻理解,二为今后立体几何、解析几何的学习作重要的准备.
难点:
①圆的集合定义,学生不容易理解为什么必须满足两个条件,内容本身属于难点;②点的轨迹,由于学生形象思维较强,抽象思维弱,而这部分知识比较抽象和难懂.
2、教法建议 本节内容需要4课时
第一课时:
圆的定义和点和圆的位置关系
(1)让学生自己画圆,自己给圆下定义,进行交流,归纳、概括,调动学生积极主动的参与教学活动;对于高层次的学生可以直接通过点的集合来研究,给圆下定义(参看教案圆
(一));
(2)点和圆的位置关系,让学生自己观察、分类、探究,在“数形”的过程中,学习新知识.
第二课时:
圆的有关概念
(1)对(A)层学生放开自学,对(B)层学生在老师引导下自学,要提高学生的学习能力,特别是概念较多而没有很多发挥的内容,老师没必要去讲;
(2)课堂活动要抓住:
由“数”想“形”,由“形”思“数”,的主线.
第三、四课时:
点的轨迹
条件较好的学校可以利用电脑动画来加深和帮助学生对点的轨迹的理解,一般学校可让学生动手画图,使学生在动手、动脑、观察、思考、理解的过程中,逐步从形象思维较强向抽象思维过度.但我的观点是不管怎样组织教学,都要遵循学生是学习的主体这一原则.
第一课时:
圆
(一)
教学目标:
1、理解圆的描述性定义,了解用集合的观点对圆的定义;
2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件;
3、培养学生通过动手实践发现问题的能力;
4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.
教学重点:
点和圆的关系
教学难点:
以点的集合定义圆所具备的两个条件
教学方法:
自主探讨式
教学过程设计(总框架):
一、创设情境,开展学习活动
1、让学生画圆、描述、交流,得出圆的第一定义:
定义1:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.记作⊙O,读作“圆O”.
2、让学生观察、思考、交流,并在老师的指导下,得出圆的第二定义.
从旧知识中发现新问题
观察:
共性:
这些点到O点的距离相等
想一想:
在平面内还有到O点的距离相等的点吗?
它们构成什么图形?
(1) 圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r);
(2) 到定点距离等于定长的点都在圆上.
定义2:
圆是到定点距离等于定长的点的集合.
3、点和圆的位置关系
问题三:
点和圆的位置关系怎样?
(学生自主完成得出结论)
如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则:
点在圆上d=r;点在圆内d 点在圆外d>r.“数”“形” 二、例题分析,变式练习 练习: 已知⊙O的半径为5cm,A为线段OP的中点,当OP=6cm时,点A在⊙O________;当OP=10cm时,点A在⊙O________;当OP=18cm时,点A在⊙O___________. 例1求证: 矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.已知(略) 求证(略) 分析: 四边形ABCD是矩形 A=OC,OB=OD;AC=BD OA=OC=OB=OD 要证A、B、C、D4个点在以O为圆心的圆上 证明: ∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OC,OB=OD;AC=BD ∴OA=OC=OB=OD ∴A、B、C、D4个点在以O为圆心,OA为半径的圆上. 符号“”的应用(要求学生了解) 证明: 四边形ABCD是矩形 OA=OC=OB=OD A、B、C、D4个点在以O为圆心,OA为半径的圆上. 小结: 要证几个点在同一个圆上,可以证明这几个点与一个定点的距离相等. 问题拓展研究: 我们所研究过的基本图形中(平行四边形,菱形,,正方形,等腰梯形)哪些图形的顶点在同一个圆上.(让学生探讨) 练习1求证: 菱形各边的中点在同一个圆上. (目的: 培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.A层自主完成) 练习2设AB=3cm,画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形. (1)和点A的距离等于2cm的点的集合; (2)和点B的距离等于2cm的点的集合; (3)和点A,B的距离都等于2cm的点的集合; (4)和点A,B的距离都小于2cm的点的集合;(A层自主完成) 三、课堂小结: 这节课学习的主要内容是什么? 在学习时应注意哪些问题? 在学生回答的基础上,强调: (1)主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系; (2)在用点的集合定义圆时,必须注意应具备两个条件,二者缺一不可; (3)注重对数学能力的培养 四、作业2、3、4. 2 圆的对称性 (1) 教学目标 1、理解圆的弦、弧、直径等相关概念以及它门之间的区别与联系;理解圆的轴对称性,掌握垂径定理及相关推论 2、探索发现圆的对称性,证明垂径定理,锻炼学生的思维品质,学习证明方法 3、学生在探求新知,发现结论的过程中,体验成功的喜悦,锻炼学生的探究意志,提高创新能力。 教学重点: 垂径定理及其推论 教学难点: 定理的证明及应用 教学过程 一、 创设情境导入新课: 教师示范、演示教具: 将一个圆形纸片沿直径折叠,学生观察发生的现象;再换一条直径对折,又观察到怎样的现象呢? 学生从观察到的现象思考: 圆是轴对称图形吗? 如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴呢? 二、尝试探究解决问题1.圆的轴对称性及相关概念 圆是轴对称图形,经过圆心的任何一条直线都是它的对称轴。 弧: 圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧。 弦: 连接圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。 注意 (1)直径是特殊的弦,也是圆中最长的弦。 (2)弧有半圆、优弧、劣弧之分 (3)弦与弧的对应关系: 一条弧对应一条弦,而一条弦对应两条弧。 2.垂径定理 (1)定理的发现 (2)定理的证明 归纳垂径定理: 垂直于弦的直径,平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。 垂径定理的推论: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的弧。 例1解: (略) 例2在半径为5cm的圆中,弦AB‖CD,AB=6cm,CD=8cm,求弦AB与CD之间的距离。 解: (略) 学生活动: (1)由学生对引入问题的探究思考归纳出圆的轴对称性: (2)结合图形,对照图形认知,使学生明确圆的有关概念。 引导学生根据定理的内容,画出图形,写出以知、求证 启发学生证明思路指导学生写出规范的证明过程。 圆的对称性 (2) 教学目标1、经历探索圆的对称性及相关性质;理解圆的对称性及相关性质进一步体会和理解研究几何图形的各种方法 2、培养学生观察、分析、探索能力和创造力,学生在探求新知发现结论的过程中,体验成功的喜悦,锻炼学生的意志,提高创新能力 教学重点: 圆心角、弧、弦之间相等关系 教学难点: 定理的证明及应用 教学过程 一、创设情境导入新课: 在上一节课,我们研究了圆是轴对称图形,还学习了垂径定理及其逆定理。 这节课,我们继续研究圆的圆心角、弧、弦之间相等关系。 二、尝试探究解决问题 1、圆的中心对称(圆的旋转不变性)做一做 : 通过这个实验,让学生了解圆的旋转不变性。 圆是中心对称图形,对称中心为圆心 圆的旋转不变性——一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合,圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。 2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1) 弦心距、圆心角、圆周角、同圆、等圆 如图,在⊙O中,∠AOB是圆心角、∠DCE是圆周角 2) 探索圆心角、弧、弦之间的关系(分开同圆和等圆两种来研究) 做一做 书本 做一做通过实验探索圆的另一个特征。 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 知二推三: ①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分圆弧;⑤平行劣弧 举反例强调前提条件: 同圆或等圆 3、知一推三: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 圆心角;②弧;③弦;④弦心距 4、讲解例题例1 如图,在⊙O中,AB,CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F (1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系? 为什么? (2) 如果OE=OF,那么AB与CD的大小有什么关系? AB与CD的大小有什么关系? 为什么? ∠AOB与∠COD呢? 三、 课堂小结布置作业小结: 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 作业: 教科书第1、2、3、题 3、圆周角 教学目标: (1)理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用; (2)继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力; (3)渗透由“特殊到一般”,由“一般到特殊”的数学思想方法. 教学重点: 圆周角的概念和圆周角定理 教学难点: 圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想. 教学活动设计: (在教师指导下完成) (一)圆周角的概念 1、复习提问: (1)什么是圆心角? 答: 顶点在圆心的角叫圆心角. (2)圆心角的度数定理是什么? 答: 圆心角的度数等于它所对弧的度数.(如右图) 2、引题圆周角: 如果顶点不在圆心而在圆上,则得到如左图的新的角∠ACB,它就是圆周角.(如右图)(演示图形,提出圆周角的定义) 定义: 顶点在圆周上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 3、概念辨析: 教材中1题: 判断下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由. 学生归纳: 一个角是圆周角的条件: ①顶点在圆上;②两边都和圆相交. (二)圆周角的定理 1、提出圆周角的度数问题 问题: 圆周角的度数与什么有关系? 经过电脑演示图形,让学生观察图形、分析圆周角与圆心角,猜想它们有无关系.引导学生在建立关系时注意弧所对的圆周角的三种情况: 圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部. (1)当圆心在圆周角的一边上时,圆周角与相应的圆心角的关系: (演示图形)观察得知圆心在圆周角上时,圆周角是圆心角的一半. 提出必须用严格的数学方法去证明. 证明: (圆心在圆周角上) (2)其它情况,圆周角与相应圆心角的关系: 当圆心在圆周角外部时(或在圆周角内部时)引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况,从而运用前面的结论,得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论. 证明: 作出过C的直径(略) 圆周角定理: 一条弧所对的 周角等于它所对圆心角的一半. 说明: 这个定理的证明我们分成三种情况.这体现了数学中的分类方法;在证明中,后两种都化成了第一种情况,这体现数学中的化归思想.(对A层学生渗透完全归纳法) (三)定理的应用 1、例题: 如图 OA、OB、OC都是圆O的半径,∠AOB=2∠BOC. 求证: ∠ACB=2∠BAC让学生自主分析、解得,教师规范推理过程. 说明: ①推理要严密;②符号“”应用要严格,教师要讲清. 2、巩固练习: (1)如图,已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角∠ACB、∠ADB的度数? (2)一条弦分圆为1: 4两部分,求这弦所对的圆周角的度数? 说明: 一条弧所对的圆周角有无数多个,却这条弧所对的圆周角的度数只有一个,但一条弦所对的圆周角的度数只有两个. (四)总结 知识: (1)圆周角定义及其两个特征; (2)圆周角定理的内容. 思想方法: 一种方法和一种思想: 在证明中,运用了数学中的分类方法和“化归”思想.分类时应作到不重不漏;化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题. (五)作业 习题6,7,8 4、确定圆的条件 教学目标1、理解确定圆的条件,掌握过不在同一条直线上的三点作圆的方法,了解三角形的外接圆以及三角形外心的概念。 2、经历探索确定圆的条件的过程,发展学生的探究能力以及钻研精神,体会探索问题的方法。 3.让学生体会探索解决问题的过程和方法,感受成功的喜悦。 教学重点: 掌握确定圆的条件,及过不在同一条直线上的三点作圆的方法 教学难点: 确定圆的方法的探索。 教学过程 一、创设情境导入新课: 经过一点可以作无数条直线,经过两点只能作一条直线。 那么,经过一点能做作几个圆? 经过两点、三点。 。 。 。 。 呢? 学生讨论,互相交流 二、尝试探究解决问题 自主探究 想一想 (1)确定一个圆的基本条件是什么? (2)线段垂直平分线的性质与做法是怎样的? 做一做 (1)作圆,使它经过点A (2)作圆,使它经过点A、B。 (3)作圆,使它经过点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上) 归纳: 过不在同一条直线上 的三点确定一个概念: 三角形的外接圆三角形的外心圆的内接三角形 例1分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆,观察作图结果,试探索外心的特点 例2、有一块破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计两种方案,确定这个圆形零件的半径 学生讨论思考: (1)上述情况能作多少个圆? 为什么? (2)如果A、B、C三点在同一条直线上呢? 动手试试看。 三、课堂练习巩固新知平面上有三个村庄A、B、C,现计划打一口水井P,使三个村庄到水井的距离相等,你能在下面图中确定水井P的位置吗? 板书设计 确定圆的条件 确定一个圆的基本条件 例1 概念: 三角形的外接圆 三角形的外心 圆的内接三角形 5、直线和圆的位置关系 教学目标1、理解直线和圆的三种位置关系,掌握三种位置关系的数量特征。 2、经历观察直线与圆的位置关系及特征,养成学生既能自主探究,又能合作探究的良好学习习惯。 3.学生在探求新知,发现结论的过程中,体验成功的喜悦,锻炼学生的探究意志,提高创新能力 教学重点: 直线和圆的三种位置关系 教学难点: 直线和圆的三种位置关系。 教学过程 一、创设情境导入新课: 1、点和圆有几种位置关系? 怎样判断一个点与圆的位置关系? 2、演示一条直线和一个圆的相互运动过程,观察直线与圆的位置关系有几种 思考: 怎样说明这几种位置关系呢? 二、尝试探究解决问题 自主探究1、直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 2、直线和圆不同位置关系的数量特征 做一做 在不同位置关系下分别作出圆心O到直线的距离d 归纳: 直线和圆相交,即d 直线和圆相切,即d=r 直线和圆相离,即d>r 3、切线的性质: 圆的切线垂直于经过切点的直径 例1教科书解(略) 三、课堂小结布置作业: 小结: 直线和圆的三种位置关系切线的性质 作业: 课本第1题 板书设计 直线和圆的位置关系 1、直线和圆的位置关系 2、直线和圆不同位置关系的数量特征 3、切线的性质 6、圆和圆的位置关系 1、教材分析 (1)知识结构 (2)重点、难点分析 重点: 两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们是本节的主要内容,是圆的重要概念性知识,也是今后研究圆与圆问题的基础知识. 难点: 两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型,特别是相离有外离和内含,相切有外切和内切,学生容易遗漏;而在相交圆的性质应用中,学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题. 2、教法建议 本节内容需要两个课时.第一课时主要研究圆和圆的位置关系;第二课时相交两圆的性质. (1)把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体,让学生观察、分析、归纳概括,主动获得知识; (2)要重视圆的对称美的教学,组织学生欣赏,在激发学生的学习兴趣中,获得知识,提高能力; (3)在教学中,以分类思想为指导,以数形结合为方法,贯串整个教学过程. 教学目标: 1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法;两圆连心线的性质; 2.通过两圆的位置关系,培养学生的分类能力和数形结合能力; 3.通过演示两圆的位置关系,培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力. 教学重点: 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系. 教学难点: 两圆位置关系及判定. (一)复习、引出问题 1.复习: 直线和圆有几种位置关系? 各是怎样定义的? (教师主导,学生回忆、回答)直线和圆有三种位置关系,即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 2.引出问题: 平面内两个圆,它们作相对运动,将会产生什么样的位置关系呢? (二)观察、分类,得出概念 1、让学生观察、分析、比较,分别得出两圆: 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系,准确给出描述性定义: (1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(图 (1)) (2)外切: 两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图 (2)) (3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这两个圆相交.(图(3)) (4)内切: 两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4)) (5)内含: 两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6)) 2、归纳: (1)两圆外离与内含时,两圆都无公共点. (2)两圆外切和内切统称两圆相切,即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类: 相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切). 教师组织学生归纳,并进一步考虑: 从两圆的公共点的个数考虑,无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两个公共点则相交.除以上关系外,还有其它关系吗? 可能不可能有三个公共点? 结论: 在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系. (三)分析、研究 1、相切两圆的性质. 让学生观察连心线与切点的关系,分析、研究,得到相切两圆的连心线的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 这个性质由圆的轴对称性得到,有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明 2、两圆位置关系的数量特征. 设两圆半径分别为R和r.圆心距为d,组织学生研究两圆的五种位置关系,r和d之间有何数量关系.(图形略) 两圆外切 d=R+r; 两圆内切 d=R-r(R>r); 两圆外离 d>R+r; 两圆内含 d<R-r(R>r); 两圆相交 R-r<d<R+r. 说明: 注重“数形结合”思想的教学. (四)应用、练习 例1: 如图,⊙O的半径为5厘米,点P是⊙O外一点,OP=8厘米 求: (1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切,小圆⊙P的半径是多少? (2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切,大圆⊙P的半径是多少? 解: (1)设⊙P与⊙O外切与点A,则 PA=PO-OA ∴PA=3cm. (2)设⊙P与⊙O内切与点B,则 PB=PO+OB ∴PB=13cm. 例2: 已知: 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=8,以AC为直径作⊙O,以B为圆心,4为半径作. 求证: ⊙O与⊙B相外切. 证明: 连结BO,∵AC为⊙O的直径,AC=12, ∴⊙O的半径 ,且O是AC的中点 ∴ ,∵∠C=90°且BC=8, ∴ , ∵⊙O的半径 ,⊙B的半径 , ∴BO= ,∴⊙O与⊙B相外切. (五)小结 知识: ①两圆的五种位置关系: 外离、外切、相交、内切、内含; ②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系; ③两圆相切时切点在连心线上的性质. 能力: 观察、分析、分类、数形结合等能力. 思想方法: 分类思想、数形结合思想. (六)作业 教材习题2,3,4题. 7、正多边形和圆 教学目标: (1)使学生理解正多边形概念,初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理; (2)通过正多边形定义教学,培养学生归纳能力;通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力; (3)进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想. 教学重点: 正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理. 教学难点: 对定理的理解以及定理的证明方法. 教学活动设计: (一)观察、分析、归纳: 观察、分析: 1.等边三角形的边、角各有什么性质? 2.正方形的边、角各有什么性质? 归纳: 等边三角形与正方形的边、角性质的共同点. 教师组织学生进行,并可以提问学生问题. (二)正多边形的概念: (1)概念: 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n(n≥3)条边,就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角形,正方形有四条边叫正四边形. (2)概念理解: ①请同学们举例,自己在日常生活中见过的正多边形.(正三角形、正方形、正六边形,…….) ②矩形是正多边形吗? 为什么? 菱形是正多边形吗? 为什么? 矩形不是正多边形,因为边不一定相等.菱形不是正多边形,因为角不一定相等. (三)分析、发现: 问题: 正多边形与圆有什么关系呢? 发现: 正三角形与正方形都有内切圆和外接圆,并且为同心圆. 分析: 正三角形三个顶点把圆三等分;正方形的四个顶点把圆四等分.要将圆五等分,把等分点顺次连结,可得正五边形.要将圆六等分呢? (四)多边形和圆的关系的定理 定理: 把圆分成n(n≥3)等份: (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形; (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 我们以n=5的情况进行证明. 已知: ⊙O中, = = = = ,TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线. 求证: (1)五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形; (2)五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. 证明: (略) 引导学生分析、归纳证明思路: 弧相等 说明: (1)要判定一个多边形是不是正多
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