第2章静力学分析 教案.docx
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第2章静力学分析教案
第2章静力学分析
1.教学目标
(1)静力学的研究对象。
平衡、刚体和力的概念。
等效力系和平衡力系。
(2)静力学公理。
沿直线分布力的合力。
力的分解。
力在轴上和在平面上的投影。
力沿直角坐标轴的分解。
合力投影定理。
力对一点的矩及其矢积表示。
(3)力偶,力偶矩,力偶矩矢。
非自由体、约束、约束的基本类型和约束反力。
(4)物体的受力分析和受力图。
(5)沿直线分布力的合力。
力的平行四边形法则,力在直角坐标轴上的投影,力矩和力偶的概念,力偶的性质。
(6)约束和约束反力,物体的受力分析。
力线的平移。
平面任意力系向作用面内任一点简化。
力系的主矢和主矩。
力系简化的各种结果。
合力矩定理。
(7)沿直线分布的平行分布力的简化。
平面任意力系的平衡条件。
平衡方程的各种形式。
平面汇交力系的平衡方程,平面平行力系的平衡方程,平面力偶系的平衡方程。
物体系统的平衡。
外力和内力。
(8)摩擦现象。
滑动摩擦定律。
摩擦系数和摩擦角。
自锁现象。
有摩擦时物体和物体系统的平衡。
平衡的临界状态和平衡范围。
(9)铰链类型约束的性质及其约束反力的画法,物体系统中各个物体及其整体的受力分析。
力矩与力偶的本质差别。
2.教学重点和难点
重点:
(1)平面汇交力系合成的几何法和解析法,能熟练地计算力在轴上的投影。
(2)会应用平面沁交力系的平衡条件解物体的平衡问题。
(3)掌握静力学解题的基本方法和步骤,学会作业的基本格式。
难点:
(1)掌握平面任意力系向平面内任一点的简化和简化结果的分析,平面任意力系的平衡条件及其应用。
摩擦角,有摩擦时的平衡问题。
(2)掌握主矢和主矩的概念,物体系统的平衡。
滑动摩擦力的确定,两类摩擦问题的解法。
构件与零件的区别,三力平衡汇交定理。
3.教学手段与方法
多媒体、实物
4.讲授学时
20学时
2.1静力学的基本概念
2.1.1力与力系的概念
1.力的定义力是物体之间相互的机械作用,这种作用将使物体的机械运动状态发生变化,或者使物体产生变形。
前者称为力的外效应,后者称为力的内效应。
2.力的三要素实践证明,力对物体的作用效应,决定于力的大小、方向(包括方位和指向)和作用点的位置,这三个因素就称为力的三要素。
在这三个要素中,如果改变其中任何一个,也就改变了力对物体的作用效应。
例如:
用扳手拧螺母时,作用在扳手上的力,因大小不同,或方向不同,或作用点不同,它们产生的效果就不同,如图2.1。
图2.1力的三要素
3.力是矢量力是一个既有大小又有方向的量,而且又满足矢量的运算法则,因此力是矢量(或称向量)。
图2.1力的三要素
4.力系的概念(略)
5.力的单位力的国际制单位是牛顿或千牛顿,其符号为N,或kN。
2.1.2刚体的概念
所谓刚体是指在受力状态下保持其几何形状和尺寸不变的物体。
2.2静力学公理
1.公理一二力平衡公理
当一个刚体受两个力作用而处于平衡状态的充分与必要条件是:
这两个力大小相等,作用于同一直线上,且方向相反,如图2.2。
这个公理揭示了作用于物体上的最简单的力系在平衡时所必须满足的条件,它是静力学中最基本的平衡条件。
2.二力体只受两个力作用而平衡的物体称为二力体。
图2.2二力平衡
机械和建筑结构中的二力体常常统称为“二力构件”。
它们的受力特点是:
两个力的方向必在二力作用点的连线上。
3.公理二加减平衡力系公理
在刚体的原有力系中,加上或减去任一平衡力系,不会改变原力系对刚体的作用效应。
这一公理的正确性是显而易见的,因为一个平衡力系是不会改变物体的原有状态的。
这个公理常被用来简化某一已知力系。
依据这一公理,可以得出一个重要推论:
力的可传性原理。
4.力的可传性原理(图2.3)
图2.3力的可传性
5.公理三力的平行四边形法则(图2.4、2.5)
FR=F1+F2(2-1)
图2.4平行四边形法则图2.5三角形法则
力的平行四边形法则总结了最简单的力系简化规律,它是较复杂力系合成的主要依据。
6.公理四作用与反作用定律
两个物体间的作用力与反作用力,总是大小相等,方向相反,作用线相同,并分别作用于这两个物体。
2.3约束和约束反力
1.教学目标
(1)掌握工程上常见的几种约束类型及其约束力的画法。
(2)掌握物体及物体系的受力图画法。
2.教学重点和难点
重点:
四种约束类型及其约束力、物体的受力图。
难点:
二力杆的判断、外力与内力的区分。
3.教学手段与方法:
多媒体、实物
4.讲授学时:
4学时
它是一个运动受到限制或约束的物体,称为被约束体。
那些限制物体某些运动的条件,称为约束。
这些限制条件总是由被约束体周围的其他物体构成的。
为方便起见,构成约束的物体常称为约束。
约束限制了物体本来可能产生的某种运动,故约束有力作用于被约束体,这种力称为约束反力。
2.3.1柔索约束
当柔索绕过轮子时,常假想在柔索的直线部分处截开柔索,将与轮子接触的柔索和轮子一起作为考察对象,如图2.6。
这样处理,就可不考虑柔索与轮子间的内力,这时作用于轮子的柔索拉力即沿轮缘的切线方向,如图2.7b。
(a)(b)(a)(b)
图2.6柔索约束图2.7皮带传动
2.3.2光滑面约束(略)
2.3.3光滑铰链约束
铰链是工程上常见的一种约束。
它是在两个钻有圆孔的构件之间采用圆柱定位销所形成的连接,如图2.13所示。
门所用的活页、铡刀与刀架、起重机的动臂与机座的连接等,都是常见的铰链连接。
(1)固定铰支座
(2)中间铰链
(3)滚动铰支座
2.3.4轴承约束
轴承约束是工程中常见的支承形式,它的约束反力的分析方法与铰链约束相同。
2.4物体的受力分析和受力图
进行受力分析时,研究对象可以用简单线条组成的简图来表示。
在简图上除去约束,使对象成为自由体,添上代表约束作用的约束反力,称为解除约束原理。
解除约束后的自由物体称为分离体,在分离体上画上它所受的全部主动力和约束反力,就称为该物体的受力图。
画受力图是解决力学问题的第一步骤,正确地画出受力图是分析、解决力学问题的前提。
如果没有特别说明,则物体的重力一般不计,并认为接触面都是光滑的。
下面举例说明受力图的作法及注意事项。
例2—1重力为P的圆球放在板AC与墙壁AB之间,如图2.8a所示。
设板AC重力不计,试作出板与球的受力图。
解:
先取球为研究对象,作出简图。
球上主动力P,约束反力有FND和FNE,均属光滑面约束的法向反力。
受力图如图2.8b所示。
再取板作研究对象。
由于板的自重不计,故只有A、C、E处的约束反力。
其中A处为固定铰支座,其反力可用一对正交分力FAx、FBy表示;C处为柔索约束,其反力为拉力FT;E处的反力为法向反力F′NE,要注意该反力与球在该处所受反力FNE为作用力与反作用力的关系。
受力图如图2.8c所示。
图2.8板与球的受力
2.5平面汇交力系的简化与平衡方程
1.教学目的
(1)掌握汇交力系合成的几何法与解析法。
(2)掌握汇交力系平衡的条件及其实际应用。
(3)合力投影定理及其应用。
2.教学重点和难点
重点:
平衡的条件及其实际应用。
难点:
解析法合成时分力的符号问题。
3.教学手段与方法:
课堂讲授与多媒体相结合
4.讲授学时:
4学时
2.5.1力在坐标轴上的投影
设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2、…、Fn,各力汇交于A点(图2.9a)。
根据力的可传性,可将这些力沿其作用线移到A点,从而得到一个平面共点力系(图2.9b)。
故平面汇交力系可简化为平面共点力系。
a)b)
图2.9平面共点力系
连续应用力的平行四边形法则,可将平面共点力系合成为一个力。
在图2.9b中,先合成力F1与F2(图中未画出力平行四边形),可得力FR1,即FR1=F1+F2;再将FR1与F3合成为力FR2,即FR2=FR1+F3;依此类推,最后可得
FR=F1+F2+…+Fn=∑Fi(2-3)
若已知F的大小及其与x轴所夹的锐角α,则有
(2―4)
如将F沿坐标轴方向分解,所得分力Fx、Fy的值与在同轴上的投影Fx、Fy相等。
但须注意,力在轴上的投影是代数量,而分力是矢量,不可混为一谈。
若已知Fx、Fy值,可求出F的大小和方向,即
(2―5)
2.5.2平面汇交力系合成的解析法
设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2、…、Fn,据式(2-3)有
FR=F1+F2+…+Fn=∑F(2―6)
将上式两边分别向x轴和y轴投影,即有
(2―7)
式(2―7)即为合力投影定理:
力系的合力在某轴上的投影,等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。
若进一步按式(2―7)运算,即可求得合力的大小及方向,即
(2―8)
2.5.3平面汇交力系的平衡方程及其应用
平衡条件的解析表达式称为平衡方程。
由式(2-7)可知平面汇交力系的平衡条件是
(2―9)
即力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零,上式称为平面汇交力系的平衡方程。
这是两个独立的方程,可求解两个未知量。
例2-2
解:
(1)取节点B为研究对象,画其受力图,如图2-10b所示。
由于杆AB与BC均为两力构件,对B的约束反力分别为F1与F2,滑轮两边绳索的约束反力相等,即T=G。
a)b)
图2.10简易起重机
(2)选取坐标系xBy;
(3)列平衡方程式求解未知力;
∑Fx=0,F2cos30°-F1-T1sin30°=0(a)
∑Fy=0,F2sin30°-T1cos30°-G=0(b)
由式(b)得F2=74.6kN
代入式(a)得F1=54.6kN
由于此两力均为正值,说明F1与F2的方向与图示一致,即AB杆受拉力,BC杆受压力。
2.6力偶及合力矩定理
1.教学目的
(1)熟悉力矩的概念,掌握合力矩定理。
(2)掌握力偶的性质及力偶系的合成方法。
(3)掌握力偶系作用下物体的平衡条件及其应用。
2.教学重点和难点
重点:
力矩的计算,合力矩定理,力偶系作用下物体的平衡条件及其应用。
难点:
合力矩定理的应用,力偶的性质。
3.教学手段与方法
多媒体、实物
4.讲授学时
2学时
2.6.1力对点之矩
其定义为:
力F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线距离h的乘积。
记作
Mo(F)=±Fh(2-10)
式中,点O称为矩心,h称为力臂,Fh表示力使物体绕点O转动效果的大小,而正负号则表明:
Mo(F)是一个代数量,可以用它来描述物体的转动方向。
通常规定:
使物体逆时针方向转动的力矩为正,反之为负。
力矩的单位为牛顿·米(N·m)或牛顿·毫米(N·mm)。
根据定义,书图2.27中所示的力F1对点O的矩为
Mo(F1)=-F1h1=-F1hsinα(2-11)
力对点的矩与矩心的位置有关,同一个力对不同点的矩是不同的。
因此,对力矩要指明矩心。
如图2.28所示,从几何上看,力F对点O的矩在数值上等于三角形OAB面积的两倍。
力对点的矩在两种情况下等于零:
(1)力为零;
(2)力臂为零,即力的作用线过矩心。
前述扳手通过螺母中心的情况即属于第
(2)种情况。
2.6.2合力矩定理
在计算力系的合力对某点的矩时,除根据力矩的定义计算外,还常用到合力矩定理,即:
平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩,等于所有分力对同一点力矩的代数和。
若在A点有一平面汇交力系F1、F2、…、Fn作用,合力矩定理的表达式为:
Mo(FR)=∑Mo(F)(2-12)
上述合力矩定理不仅适用于平面汇交力系,对于其他力系,如平面任意力系、空间力系等,也都同样成立。
在计算力矩时,当力臂较难确定的情况下,用合力矩定理计算更加方便。
2.6.3.力偶
1.力偶的三要素
在力学上,以F与力偶臂d的乘积作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量,称为力偶矩,并记作M(F,F')或M。
即
M(F,F')=M=±Fd(2-13)
力偶矩的大小也可以通过力与力偶臂组成的三角形面积的二倍来表示,如图2.11所示,即
M=±2△OAB(2―14)
一般规定,逆时针转动的力偶取正值,顺时针取负值。
力偶矩的单位为N·m或N·mm。
力偶对物体的转动效应取决于下列三要素:
(1)力偶矩的大小;
(2)力偶的转向;
(3)力偶作用面的方位。
图2.11力偶矩的大小和方向
2.力偶的等效条件
凡是三要素相同的力偶则彼此等效,即它们可以相互置换,这一点不仅由力偶的概念可以说明,还可通过力偶的性质作进一步证明。
3.力偶的性质
性质1力偶对其作用面内任意点的力矩恒等于此力偶的力偶矩,而与矩心的位置无关。
性质2由图2.12可见,力偶在任意坐标轴上的投影之和为零,故力偶无合力,力偶不能与一个力等效,也不能用一个力来平衡。
力偶无合力,故力偶对物体的平移运动不会产生任何影响,力与力偶相互不能代替,不能构成平衡。
因此,力与力偶是力系的两个基本元素。
由于上述性质,所以对力偶可作如下处理:
(1)力偶在它的作用面内,可以任意转
移位置。
其作用效应和原力偶相同,即力偶对于刚体上任意点的力偶矩值不因移位而改变。
(2)力偶在不改变力偶矩大小和转向的条件下,可以同时改变力偶中两反向平行力的大小、方向以及力偶臂的大小。
而力偶的作用效应保持不变。
图2.12力偶的性质
图2.13力偶表示方式
图2.13各图中力偶的作用效应都相同。
力偶的力偶臂、力及其方向既然都可改变,就可简明地以一个带箭头的弧线并标出值来表示力偶,如图2.13d所示。
4.平面力偶系的合成
作用在物体上同一平面内的若干力偶,称为平面力偶系。
设在刚体某平面上有力偶M1、M2的作用,如图2.14a所示,现求其合成的结果。
图2.14力偶合成
在平面上任取一线段AB=d作为公共力偶臂,并把每个力偶化为一组作用在A、B两点的反向平行力,如图2.14b所示,根据力系等效条件,有
(2―15)
于是在A、B两点各得一组共线力系,其合力为FR与F'R′,如图2.14c所示,且有
FR=F'R=F1-F2(2-16)
FR与F'R为一对等值、反向、不共线的平行力,它们组成的力偶即为合力偶,所以有
M=FRd=(F1-F2)d=M1+M2(2-17)
若在刚体上有若干个力偶作用,采用上述方法叠加,可得合力偶矩为
M=M1+M2+…+Mn=∑M(2-18)
上式表明:
平面力偶系合成的结果为一合力偶,合力偶矩为各分力偶矩的代数和。
5.平面力偶系的平衡条件
由合成结果可知,要使力偶系平衡,则合力偶的矩必须等于零,因此平面力偶系平衡的必要和充分条件是:
力偶系中各力偶矩的代数和等于零,即
∑M=0(2-19)
平面力偶系的独立平衡方程只有一个,故只能求解一个未知数。
2.7平面一般力系的简化与平衡方程
1.教学目的
(1)掌握力的平移定理。
(2)掌握平面任意力系向作用面内一点简化及四种结论的意义。
(3)平面任意力系的平衡条件及其应用。
2.教学重点和难点
重点:
平面任意力系的平衡条件应用。
难点:
力的平移定理的逆定理的应用。
3.教学手段与方法:
课堂讲授与多媒体辅助教学
4.讲授学时:
4学时
所谓平面一般力系是指位于同一平面内的各力的作用线既不汇交于一点,也不互相平行的情况。
它是工程实际中最常见的一种力系,工程计算中的许多实际问题都可以简化为平面一般力系问题来进行理。
例如图2.15所示的摇臂式起重机及曲柄滑块机构等,其受力都在同一平面内。
(a)(b)
图2.15摇臂式起重机及曲柄滑块机构
2.7.1力的平移定理及合成计算
如图2.168所示,作用在刚体上A点处的力F,可以平移到刚体内任意点O,但必须同时附加一个力偶,其力偶矩等于原来的力F对新作用点O的矩。
这就是力的平移定理。
证明如下:
根据加减平衡力系公理,在任意点O加上一对与F等值的平衡力F′、F″(图2.16b),则F与F″为一对等值反向不共线的平行力,组成了一个力偶,其力偶矩等于原力F对O点的矩,即
M=Mo(F)=Fd(2-20)
于是作用在A点的力F就与作用于O点的平移力F′和附加力偶M的联合作用等效,如图2.16c所示。
图2.16力偶等效
力的平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物体产生两种作用,一是力对物体的平移作用,二是附加力偶对物体产生的旋转作用。
如图2.17所示,圆周力F作用于转轴的齿轮上,为观察力F的作用效应,将力F平移至轴心O点,则有平移力F′作用于轴上,同时有附加力偶M使齿轮绕轴旋转。
再以削乒乓球为例(图2.18),分析力F对球的作用效应,将力F平移至球心,得平移力F′与附加力偶,平移力F′决定球心的轨迹,而附加力偶则使球产生旋转。
图2.17齿轮绕轴旋转
图2.18乒乓球旋转
1.平面一般力系向作用面内任一点简化(主矢和主矩)
设刚体上作用有一平面一般力系F1、F2、…、Fn,如书图2.41a所示,在平面内任意取一点O,称为简化中心。
根据力的平移定理,将各力都向O点平移,得到一个汇交于O
点的平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n,以及平面力偶系M1、M2、…、Mn,如书图2.41b所示。
(1)平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n,可以合成为一个作用于O点的合矢量F′R,如书图2.41c所示。
F′R=∑F′=∑F(2-21)
它等于力系中各力的矢量和。
显然,单独的F′R不能和原力系等效,它被称为原力系的主矢。
将式(2-21)写成直角坐标系下的投影形式:
(2-22)
因此主矢F′R的大小及其与x轴正向的夹角分别为:
(2-23)
(2)附加平面力偶系M1、M2、…、Mn可以合成为一个合力偶矩Mo,即
Mo=M1+M2+…+Mn=∑Mo(F)(2-24)
显然,单独的Mo也不能与原力系等效,因此它被称为原力系对简化中心O的主矩。
2.平面一般力系的合成结果
由前述可知,平面一般力系向一点O简化后,一般来说得到主矢F′R和主矩Mo,但这并不是简化的最终结果,进一步分析可能出现以下四种情况:
(1)F′R=0,Mo≠0;
说明该力系无主矢,而最终简化为一个力偶,其力偶矩就等于力系的主矩,此时主矩与简化中心无关。
(2)F′R≠0,Mo=0;
说明原力系的简化结果是一个力,而且这个力的作用线恰好通过简化中心,此时F′R就是原力系的合力FR。
(3)F′R≠0,Mo≠0;
这种情况还可以进一步简化,根据力的平移定理逆过程,可以把F′R和Mo合成一个合力FR。
合成过程如图2.19所示,合力FR的作用线到简化中心O的距离为:
(2-25)
图2.19平面一般力系合成过程
(4)F′R=0,Mo=0;
这表明:
该力系对刚体总的作用效果为零,即物体处于平衡状态。
2.7.2平面一般力系的平衡方程及其应用
1.教学目的
(1)掌握静定问题与超静定问题的判断方法。
(2)掌握物体系统的静定问题,有利用静力平衡方程求解系统约束反力的能力。
2.教学重点和难点
重点:
建立平衡方程求约束反力。
难点:
内力与外力的区别,平衡方程的建立。
3.教学手段与方法:
多媒体辅助
4.讲授学时:
2学时
1.平面一般力系的平衡方程
(1)基本形式
由上述讨论知,若平面一般力系的主矢和对任一点的主矩都为零,则物体处于平衡;反之,若力系是平衡力系,则其主矢、主矩必同时为零。
因此,平面一般力系平衡的充要条件是
(2-26)
故得平面一般力系的平衡方程为:
(2-27)
式(2-27)满足平面一般力系平衡的充分和必要条件,所以平面一般力系有三个独立的平衡方程,可求解最多三个未知量。
用解析表达式表示平衡条件的方式不是唯一的。
平衡方程式的形式还有二矩式和三矩式两种形式。
(2)二矩式
(2-28)
附加条件:
AB连线不得与x轴相垂直。
(3)三矩式
(2-29)
附加条件:
A、B、C三点不在同一直线上。
2.平面一般力系的解题步骤
(1)确定研究对象,画出受力图。
应取有已知力和未知力作用的物体,画出其分离体的受力图。
(2)列平衡方程并求解。
适当选取坐标轴和矩心。
若受力图上有两个未知力互相平行,可选垂直于此二力的坐标轴,列出投影方程。
如不存在两未知力平行,则选任意两未知力的交点为矩心列出力矩方程,先行求解。
一般水平和垂直的坐标轴可画可不画,但倾斜的坐标轴必须画。
例2-3绞车通过钢丝牵引小车沿斜面轨道匀速上升,如图2.45a所示。
已知小车重P=10kN,绳与斜面平行,α=30°,a=0.75m,b=0.3m,不计摩擦。
求钢丝绳的拉力及轨道对车轮的约束反力。
图2.20绞车受力分析
解:
(1)取小车为研究对象,画受力图(图2.20b)。
小车上作用有重力P,钢丝绳的拉力FT,轨道在A、B处的约束反力FNA和FNB。
(2)取图示坐标系,列平衡方程
∑Fx=0,-FT+Psinα=0
∑Fy=0,FNA+FNB-Pcosα=0
∑MO(F)=0,FNB(2a)-Pbsinα-Pacosα=0
解得FT=5kN,FNB=5.33kN,FNA=3.33kN
3.物体系统的平衡
若物系由n个物体组成,对每个受平面一般力系作用的物体至多只能列出3个独立的平衡方程,对整个物系至多只能列出3n个独立的平衡方程。
若问题中未知量的数目不超过独立的平衡方程的总数,即用平衡方程可以解出全部未知量,这类问题称为静定问题。
反之,若问题中未知量的数目超过了独立的平衡方程的总数,则单靠平衡方程不能解出全部未知量,这类问题称为超静定问题或静不定问题。
在工程实际中为了提高刚度和稳固性,常对物体增加一些支承或约束,因而使问题由静定变为超静定。
求解物系平衡问题的步骤是:
(1)适当选择研究对象,画出各研究对象的分离体的受力图。
研究对象可以是物系整体、单个物体,也可以是物系中几个物体的组合。
(2)分析各受力图,确定求解顺序。
(3)根据确定的求解顺序,逐个列出平衡方程求解。
由于同一问题中有几个受力图,所以在列出平衡方程前应加上受力图号,以示区别。
例2-4组合梁由AC和CE用铰链连接,载荷及支承情况如图2.21a所示,已知:
l=8m,F=5kN,均布载荷集度q=2.5kN/m,力偶的矩M=5kN·m。
求支座A、B、E及中间铰C的约束反力。
解:
(1)分别取梁CE及ABC为研究对象,画出各分离体的受力图,如图2.21b、c所示。
其中FQ1和FQ2分别为梁CE梁ABC上均布载荷的合力。
(2)列平衡方程求解图2.21c有五个未知力,不可解;图2-21b有三个未知力,可解。
得FRE=3.54kN,FCx=2.5kN,FCy=2.5kN
图2.21组合梁受力分析
(3)再以ABC为研究
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- 第2章 静力学分析 教案 静力学 分析