新教材高中数学必修第一册第5章 541正弦函数余弦函数的图象.docx
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新教材高中数学必修第一册第5章541正弦函数余弦函数的图象
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题.
知识点一 正弦函数的图象
1.正弦曲线的定义
正弦函数y=sinx,x∈R的图象叫正弦曲线.
2.正弦函数图象的画法
(1)几何法:
①利用单位圆上点T(x0,sinx0)画出y=sinx,x∈[0,2π]的图象;
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
(2)五点法:
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),,(π,0),,(2π,0),用光滑的曲线连接;
②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
思考 为什么把y=sinx,x∈[0,2π]的图象向左、向右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变?
答案 由公式sin(x+2kπ)=sinx,k∈Z可得.
知识点二 余弦函数的图象
1.余弦曲线的定义
余弦函数y=cosx,x∈R的图象叫余弦曲线.
2.余弦函数图象的画法
(1)要得到y=cosx的图象,只需把y=sinx的图象向左平移个单位长度即可,这是由于cosx=sin.
(2)用“五点法”:
画余弦曲线y=cosx在[0,2π]上的图象时,所取的五个关键点分别为(0,1),,(π,-1),,(2π,1),再用光滑的曲线连接.
1.正弦函数的图象向左右是无限伸展的.( √ )
2.正弦函数y=sinx的图象在x∈[2kπ,2kπ+2π],(k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同.( √ )
3.函数y=sinx的图象向右平移个单位得到函数y=cosx的图象.( × )
4.函数y=cosx的图象关于x轴对称.( × )
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
例1
(1)下列叙述正确的个数为( )
①y=sinx,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称;
②y=cosx,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称;
③正、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围.
A.0B.1个C.2个D.3个
答案 D
解析 分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x∈[0,2π]的图象,由图象(略)观察可知①②③均正确.
(2)函数y=sin|x|的图象是( )
答案 B
解析 y=sin|x|=结合选项可知选B.
反思感悟 解决正、余弦函数图象的注意点
对于正、余弦函数的图象问题,要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
跟踪训练1 关于三角函数的图象,有下列说法:
①y=sinx+1.1的图象与x轴有无限多个公共点;
②y=cos(-x)与y=cos|x|的图象相同;
③y=|sinx|与y=sin(-x)的图象关于x轴对称;
④y=cosx与y=cos(-x)的图象关于y轴对称.
其中正确的序号是________.
答案 ②④
解析 对②,y=cos(-x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其图象相同;
对④,y=cos(-x)=cosx,故其图象关于y轴对称;作图(略)可知①③均不正确.
二、用“五点法”作简图
例2 用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=sinx-1,x∈[0,2π];
(2)y=2+cosx,x∈[0,2π].
解
(1)列表:
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
sinx-1
-1
0
-1
-2
-1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图.
(2)列表:
x
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
2+cosx
3
2
1
2
3
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图.
反思感悟 作形如y=asinx+b(或y=acosx+b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤
跟踪训练2 利用“五点法”作出函数y=1-sinx(0≤x≤2π)的简图.
解
(1)取值列表:
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
1-sinx
1
0
1
2
1
(2)描点连线,如图所示.
三、正弦(余弦)函数图象的应用
例3 利用正弦函数和余弦函数的图象,求满足下列条件的x的集合.
(1)sinx≥;
(2)cosx≤.
解
(1)作出正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为,k∈Z.
(2)作出余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为,k∈Z.
反思感悟 用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象;
(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集;
(3)根据公式一写出定义域内的解集.
跟踪训练3 在[0,2π]上,使cosx≤-成立的x的取值集合为________.
答案
解析 画出y=cosx在[0,2π]上的简图,如图所示.
由于cosx=-时,x=或x=.
由图象可知,在[0,2π]上,使cosx≤-成立的角x的取值集合为.
根据函数图象求范围
典例 函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是________.
答案 (1,3)
解析 用数形结合法判断k的取值范围.
f(x)=图象如下图所示.
结合图象可知1 [素养提升] 关于方程根的个数问题,往往运用数形结合的方法构造函数,转化为函数图象交点的个数问题来解决. 1.函数y=-sinx,x∈的简图是( ) 答案 D 解析 函数y=-sinx与y=sinx的图象关于x轴对称,故选D. 2.在同一平面直角坐标系内,函数y=sinx,x∈[0,2π]与y=sinx,x∈[2π,4π]的图象( ) A.重合 B.形状相同,位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同 答案 B 解析 根据正弦曲线的作法可知函数y=sinx,x∈[0,2π]与y=sinx,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同. 3.用“五点法”画函数y=2-3sinx的图象时,首先应描出五点的横坐标是( ) A.0,,,,πB.0,,π,,2π C.0,π,2π,3π,4πD.0,,,, 答案 B 解析 所描出的五点的横坐标与函数y=sinx的五点的横坐标相同,即0,,π,,2π,故选B. 4.不等式cosx<0,x∈[0,2π]的解集为________. 答案 解析 由函数y=cosx的图象可知,不等式cosx<0,x∈[0,2π]的解集为. 5.函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象与直线y=-的交点有________个. 答案 2 解析 作y=cosx,x∈[0,2π]的图象及直线y=-(图略),知两函数图象有两个交点. 1.知识清单: (1)通过单位圆画正弦函数图象; (2)通过平移得余弦函数的图象; (3)五点法作图; (4)函数图象的应用. 2.方法归纳: 数形结合. 3.常见误区: 五点的选取;平移得余弦函数的图象. 1.用五点法画y=3sinx,x∈[0,2π]的图象时,下列哪个点不是关键点( ) A.B.C.(π,0)D.(2π,0) 答案 A 解析 五个关键点的横坐标依次是0,,π,,2π. 2.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是( ) 答案 B 解析 由y=sin(-x)=-sinx可知,其图象和y=sinx的图象关于x轴对称. 3.函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 答案 B 解析 由函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象(如图所示), 可知其与直线y=2只有1个交点. 4.在[0,2π]内,不等式sinx<-的解集是( ) A.(0,π)B.C.D. 答案 C 解析 画出y=sinx,x∈[0,2π]的草图如下. 因为sin=, 所以sin=-,sin=-. 即在[0,2π]内,满足sinx=-的x=或. 可知不等式sinx<-的解集是.故选C. 5.如图中的曲线对应的函数解析式是( ) A.y=|sinx|B.y=sin|x| C.y=-sin|x|D.y=-|sinx| 答案 C 解析 排除法,可知C正确. 6.用“五点法”画出y=2sinx在[0,2π]内的图象时,应取的五个点为________. 答案 (0,0),,(π,0),,(2π,0) 解析 可结合函数y=sinx的五个关键点寻找,即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可. 7.函数y=cosx+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为________. 答案 , 解析 由得cosx=0, 当x∈[0,2π]时,x=或, ∴交点为,. 8.函数y=的定义域是________. 答案 {x|2kπ 解析 由≥0知0 由正弦函数图象(图略)知2kπ 9.用“五点法”作下列函数的简图. (1)y=3sinx(x∈[0,2π]); (2)y=sin. 解 (1)列表如下: x 0 π 2π 3sinx 0 3 0 -3 0 描点连线如图: (2)列表如下: x π 2π sin 0 1 0 -1 0 描点连线如图: 10.根据y=cosx的图象解不等式: -≤cosx≤,x∈[0,2π]. 解 函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象如图所示: 根据图象可得不等式的解集为. 11.如图所示,函数y=cosx|tanx|的图象是( ) 答案 C 解析 当0≤x<时,y=cosx·|tanx|=sinx; 当 当π 故其图象为C. 12.方程sinx=的根的个数是( ) A.7B.8C.9D.10 答案 A 解析 在同一坐标系内画出y=和y=sinx的图象如图所示. 根据图象可知方程有7个根. 13.函数y=2cosx,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是____. 答案 4π 解析 如图所示,将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方,可得一个矩形,其面积为2π×2=4π. 14.函数y=sinx+2|sinx|在[0,2π]上的图象若与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是________,若与直线y=k有四个不同的交点,则k的取值范围是________. 答案 1 解析 y=sinx+2|sinx| = 由题意在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示,若有两个不同的交点,则1
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