届四川省资阳市高三第二次诊断性考试理科数学试题及答案.docx
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届四川省资阳市高三第二次诊断性考试理科数学试题及答案
资阳市高中2017级第二次诊断性考试
数学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷(选择题共50分)
注意事项:
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数是纯虚数,则实数m的值为
(A)-1(B)1
(C)(D)
2.集合,,若,则实数a的取值范围是
(A)(B)
(C)(D)
3.“”是“直线和互相平行”的
(A)充要条件(B)必要不充分条件
(C)充分不必要条件(D)既不充分又不必要条件
4.设抛物线上的一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离为
(A)3(B)4
(C)5(D)6
5.有5名同学站成一排照相,则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是
(A)8(B)12
(C)36(D)48
6.在不等式组所表示的平面区域内任取一点P,若点P的坐标(x,y)满足的概率为,则实数k=
(A)4(B)2
(C)(D)
7.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为
(A)(B)
(C)0(D)
8.已知a、b为平面向量,若a+b与a的夹角为,a+b与b的夹角为,则
(A)(B)
(C)(D)
9.已知F1、F2是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心,|OF2|为半径的圆上,则该双曲线的离心率为
(A)(B)
(C)2(D)3
10.定义在R上的函数满足,当时,函数.若,,不等式成立,则实数m的取值范围是
(A)(B)
(C)(D)
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
注意事项:
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。
作图时可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11.二项式展开式中的系数是________.
12.某年级有1000名学生,现从中抽取100人作为样本,采用系统抽样的方法,将全体学生按照1~1000编号,并按照编号顺序平均分成100组(1~10号,11~20号,…,991~1000号).若从第1组抽出的编号为6,则从第10组抽出的编号为_________.
13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.
14.若直线与圆C:
相交于A、B两点,则=______.
15.已知函数,若对给定的△ABC,它的三边的长a,b,c均在函数的定义域内,且也为某三角形的三边的长,则称是“保三角形函数”,给出下列命题:
①函数是“保三角形函数”;
②函数是“保三角形函数”;
③若函数是“保三角形函数”,则实数k的取值范围是;
④若函数是定义在R上的周期函数,值域为,则是“保三角形函数”;
⑤若函数是“保三角形函数”,则实数t的取值范是.
其中所有真命题的序号是_____________.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)设,且,求的值.
17.(本小题满分12分)
在科普知识竞赛前的培训活动中,将甲、乙两名学生的6次培训成绩(百分制)制成如图所示的茎叶图:
(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛,你会选哪位?
请运用统计学的知识说明理由;
(Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个,记选到的分数超过87分的个数为,求的分布列和数学期望.
18.(本小题满分12分)
四棱锥S-ABCD中,侧面SAD是正三角形,底面ABCD是正方形,且平面SAD⊥平面ABCD,M、N分别是AB、SC的中点.
(Ⅰ)求证:
MN∥平面SAD;
(Ⅱ)求二面角S-CM-D的余弦值.
19.(本小题满分12分)
等差数列的前n项和为,数列是等比数列,满足,,,.
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)令设数列的前n项和,求.
20.(本小题满分13分)
已知椭圆Ω:
的焦距为,且经过点.
(Ⅰ)求椭圆Ω的方程;
(Ⅱ)A是椭圆Ω与轴正半轴的交点,椭圆Ω上是否存在两点M、N,使得△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形?
若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分14分)
已知函数(其中,e是自然对数的底数,e=2.71828…).
(Ⅰ)当时,求函数的极值;
(Ⅱ)若恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)求证:
对任意正整数n,都有.
资阳市高中2017级第二次诊断性考试
(数学学科)参考答案及评分意见(理工类)
一、选择题:
BACCB,DADCC.
二、填空题:
11.-40;12.96;13.;14.4;15.②③⑤.
三、解答题:
16.(本小题满分12分)
解析:
(Ⅰ)
,4分
故函数的最小正周期是π.6分
(Ⅱ)由,即,得,7分
因为,所以,可得,9分
则11分
.12分
17.(本小题满分12分)
解析:
(Ⅰ)学生甲的平均成绩,
学生乙的平均成绩,
又,
,
则,,
说明甲、乙的平均水平一样,但乙的方差小,则乙发挥更稳定,故应选择学生乙参加知识竞赛.6分
注:
(1)由茎叶图的分布可知应选择乙同学.(可给2分)
(2)由茎叶图可以看到甲的平均成绩在80分左右,其分布对称,乙的平均成绩在80分左右,但总体成绩稳定性较好,故应选择乙同学.(可给4分)
(Ⅱ)的所有可能取值为0,1,2,则
,,,
的分布列为
0
1
2
P
所以数学期望.12分
18.(本小题满分12分)
解析:
(Ⅰ)如图,取SD的中点R,连结AR、RN,
则RN∥CD,且RN=CD,AM∥CD,
所以RN∥AM,且RN=AM,
所以四边形AMNR是平行四边形,
所以MN∥AR,由于平面SAD,MN在平面SAD外,
所以MN∥平面SAD.4分
(Ⅱ)解法1:
取AD的中点O,连结OS,过O作AD的垂线交BC于G,分别以OA,OG,OS为x,y,z轴,建立坐标系,,,,,,
设面SCM的法向量为,6分
则有
令,,取面ABCD的法向量,
8分
则,
所以二面角S-CM-D的余弦值为.12分
解法2:
如图,取AD的中点O,连结OS、OB,OB∩CM=H,连结SH,由SO⊥AD,且面SAD⊥面ABCD,
所以SO⊥平面ABCD,SO⊥CM,
易得△ABO≌△BCM,所以∠ABO=∠BCM,
则∠BMH+∠ABO=∠BMH+∠BCM=90°,
所以OB⊥CM,则有SH⊥CM,
所以∠SHO是二面角S-CM-D的平面角,
设,则,,,
,,
则cos∠SHO=,所以二面角S-CM-D的余弦值为.12分
19.(本小题满分12分)
解析:
(Ⅰ)设数列的公差为d,数列的公比为q,则
由得解得
所以,.4分
(Ⅱ)由,得,5分
则即6分
9分
.12分
20.(本小题满分13分)
解析:
(Ⅰ)由题解得,.
所以椭圆Ω的方程为.4分
(Ⅱ)由题意可知,直角边AM,AN不可能垂直或平行于轴,故可设AM所在直线的方程为,不妨设,则直线AM所在的方程为.5分
联立方程消去整理得,解得,6分
将代入可得,故点.
所以.8分
同理可得,由,得,10分
所以,则,解得或.12分
当AM斜率时,AN斜率;当AM斜率时,AN斜率;当AM斜率时,AN斜率.
综上所述,符合条件的三角形有个.13分
21.(本小题满分14分)
解析:
(Ⅰ)当时,,,
当时,;当时,.
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以函数在处取得极小值,函数无极大值.4分
(Ⅱ)由,,
若,则,函数单调递增,当x趋近于负无穷大时,趋近于负无穷大;当x趋近于正无穷大时,趋近于正无穷大,故函数存在唯一零点,当时,;当时,.故不满足条件.6分
若,恒成立,满足条件.7分
若,由,得,当时,;当时,,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以函数在处取得极小值,由得,解得.
综上,满足恒成立时实数a的取值范围是.9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,恒成立,所以恒成立,
即,所以,令(),得,10分
则有,
12分
所以,
所以,
即.
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