高考数学理大一轮讲义第三章 导数及其应用17份.docx
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高考数学理大一轮讲义第三章导数及其应用17份
§3.1 导数的概念及其运算
1.平均变化率
一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为.
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0).
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
3.函数f(x)的导函数
若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数.
4.基本初等函数的导数公式
(1)(xα)=αxα-1(α为常数);
(2)(ax)′=axln_a(a>0且a≠1);
(3)(logax)′=logae=(a>0,且a≠1);
(4)(ex)′=ex;
(5)(lnx)′=;
(6)(sinx)′=cos_x;
(7)(cosx)′=-sin_x.
5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
6.复合函数的导数
若y=f(u),u=ax+b,则y′x=y′u·u′x,即y′x=y′u·a.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × )
(2)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).( × )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
(5)若f(x)=a3+2ax-x2,则f′(x)=3a2+2x.( × )
(6)函数y=的导数是y′=.( × )
2.(2013·江西)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′
(1)=________.
答案 2
解析 设ex=t,则x=lnt(t>0),
∴f(t)=lnt+t
∴f′(t)=+1,
∴f′
(1)=2.
3.已知曲线y=x3在点(a,b)处的切线与直线x+3y+1=0垂直,则a的值是________.
答案 ±1
解析 由y=x3知y′=3x2,
∴切线斜率k=y′|x=a=3a2.
又切线与直线x+3y+1=0垂直,∴3a2·(-)=-1,
∴即a2=1,a=±1.
4.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)
+f′(5)=______.
答案 2
解析 由图可知,f(5)=3,f′(5)=-1,因此f(5)+f′(5)=2.
5.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形
的面积为________.
答案
解析 y′=-2e-2x,曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-2,
故切线方程为y=-2x+2,该直线与直线y=0和y=x围成的三角形如图所示,
其中直线y=-2x+2与y=x的交点为A(,),
所以三角形的面积S=×1×=.
题型一 利用定义求函数的导数
例1 利用导数的定义求函数f(x)=x3在x=x0处的导数,并求曲线f(x)=x3在x=x0处的切线与曲线f(x)=x3的交点.
思维启迪 正确理解导数的定义,理解导数的几何意义是本题的关键.
解 因为===x2+xx0+x.
从而当x→x0时,x2+xx0+x→3x.
曲线f(x)=x3在x=x0处的切线方程为
y-x=3x·(x-x0),
即y=3xx-2x,由
得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得x=x0,x=-2x0.
若x0≠0,则交点坐标为(x0,x),(-2x0,-8x);
若x0=0,则交点坐标为(0,0).
思维升华 求函数f(x)的导数的步骤:
(1)求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率=;
(3)计算当Δx→0时,趋近的常数A.
函数y=x+在[x,x+Δx]上的平均变化率=________;该函数在x=1处的导数是________.
答案 1- 0
解析 ∵Δy=(x+Δx)+-x-
=Δx+-=Δx+.
∴=1-.
从而,当Δx→0时,→1-.当x=1时,→0.
题型二 导数的运算
例2 求下列函数的导数:
(1)y=ex·lnx;
(2)y=x;
(3)y=sin2;
(4)y=ln(2x+5).
思维启迪 求函数的导数,首先要搞清函数的结构;若式子能化简,可先化简再求导.
解
(1)y′=(ex·lnx)′=exlnx+ex·
=ex(lnx+).
(2)∵y=x3+1+,∴y′=3x2-.
(3)y=sin2(2x+)=-cos(4x+π)
故设y=-cosu,u=4x+π,
则yx′=yu′·ux′=sinu·4
=2sinu=2sin(4x+π).
(4)设y=lnu,u=2x+5,则y′x=y′u·u′x,
因此y′=·(2x+5)′=.
思维升华
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量;
(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.
求下列函数的导数.
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(2)y=sin(1-2cos2);
(3)y=.
解
(1)方法一 ∵y=(x2+3x+2)(x+3)
=x3+6x2+11x+6,
∴y′=3x2+12x+11.
方法二 y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′
=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)
=3x2+12x+11.
(2)∵y=sin(-cos)=-sinx,
∴y′=(-sinx)′=-(sinx)′=-cosx.
(3)设u=3-x,则y=由y=u与u=3-x复合而成.
y′=f′(u)·u′(x)=(u)′(3-x)′=u-·(-1)
=-u-=-=.
题型三 导数的几何意义
例3 已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
思维启迪 由导数的几何意义先求斜率,再求方程,注意点是否在曲线上,是否为切点.
解
(1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′
(2)=1,
又f
(2)=-2,
∴曲线f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,
即x-y-4=0.
(2)设切点坐标为(x0,x-4x+5x0-4),
∵f′(x0)=3x-8x0+5,
∴切线方程为y-(-2)=(3x-8x0+5)(x-2),
又切线过点(x0,x-4x+5x0-4),
∴x-4x+5x0-2=(3x-8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,
∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0,或y+2=0.
思维升华 导数几何意义的应用,需注意以下两点:
(1)当曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于x轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是x=x0;
(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
(1)曲线y=x+sinx在点(0,0)处的切线方程是________.
(2)已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(0,16)且与曲线y=f(x)相切的切线方程为y=ax+16,则实数a的值是________.
答案
(1)2x-y=0
(2)9
解析
(1)∵y=x+sinx,∴y′=1+cosx,当x=0时,y′=1+cos0=2,故曲线y=x+sinx在点(0,0)处的切线方程是y-0=2(x-0),即2x-y=0.
(2)先设切点为M(x0,y0),则切点在曲线上y0=x-3x0①
求导数得到切线的斜率k=f′(x0)=3x-3,
又切线l过点A、M两点,所以k=,
则3x-3=②
联立①、②可解得x0=-2,y0=-2,从而实数a的值为a=k==9.
一审条件挖隐含
典例:
(14分)设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.
(1)求a,b之间的关系;
(2)求ab的最大值.
C1与C2有交点
↓(可设C1与C2的交点为(x0,y0))
过交点的两切线互相垂直
↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)
两切线的斜率互为负倒数
↓
利用导数求两切线的斜率:
k1=2x0-2,k2=-2x0+a
↓
(2x0-2)(-2x0+a)=-1①
↓(交点(x0,y0)适合解析式)
,即2x-(a+2)x0+2-b=0 ②
↓
a+b=
↓
ab=a=-2+
当a=时,ab最大且最大值为.
规范解答
解
(1)对于C1:
y=x2-2x+2,有y′=2x-2,[1分]
对于C2:
y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,[2分]
设C1与C2的一个交点为(x0,y0),
由题意知过交点(x0,y0)的两切线互相垂直.
∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,
即4x-2(a+2)x0+2a-1=0①
又点(x0,y0)在C1与C2上,
故有
⇒2x-(a+2)x0+2-b=0②
由①②消去x0,可得a+b=.[7分]
(2)由
(1)知:
b=-a,
∴ab=a=-2+.[11分]
∴当a=时,(ab)最大值=.[14分]
温馨提醒 审题包括两方面内容:
题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择;本题切入点是两条曲线有交点P(x0,y0),交点处的切线互相垂直,通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.
方法与技巧
1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.
2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.
失误与防范
1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构,由外向内逐层求导.
2.求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.
3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.
A组 专项基础训练
(时间:
40分钟)
一、填空题
1.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0的值为________.
答案 e
解析 由f(x)=xlnx得f′(x)=lnx+1.
根据题意知lnx0+1=2,所以lnx0=1,因此x0=e.
2.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′
(1)=2,则f′(-1)等于________.
答案 -2
解析 f′(x)=4ax3+2bx,
∵f′(x)为奇函数且f′
(1)=2,∴f′(-1)=-2.
3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为________.
答案 4x-y-3=0
解析 切线l的斜率k=4,设y=x4的切点的坐标为(x0,y0),则k=4x=4,∴x0=1,∴切点为(1,1),
即y-1=4(x-1),整理得l的方程为4x-y-3=0.
4.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为________.
答案
解析 求导得y′=3x2,所以y′=3x2|x=1=3,
所以曲线y=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
结合图象易知所围成的三角形是直角三角形,
三个交点的坐标分别是(,0),(1,0),(1,1),
于是三角形的面积为×(1-)×1=.
5.已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则f2015(x)=________.
答案 -sinx-cosx
解析 ∵f1(x)=sinx+cosx,
∴f2(x)=f1′(x)=cosx-sinx,
∴f3(x)=f2′(x)=-sinx-cosx,
∴f4(x)=f3′(x)=-cosx+sinx,
∴f5(x)=f4′(x)=sinx+cosx,
∴fn(x)是以4为周期的函数,
∴f2015(x)=f3(x)=-sinx-cosx.
6.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2x·f′
(2),则f′(5)=________.
答案 6
解析 对f(x)=3x2+2xf′
(2)求导,
得f′(x)=6x+2f′
(2).
令x=2,得f′
(2)=-12.
再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′
(2)=6.
7.已知函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则曲线y=f(x)在
点P处的切线方程是__________.
答案 x-y-2=0
解析 根据导数的几何意义及图象可知,曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率k=f′
(2)=1,又过点P(2,0),
所以切线方程为x-y-2=0.
8.若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.
答案 [2,+∞)
解析 ∵f(x)=x2-ax+lnx,∴f′(x)=x-a+.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线,∴f′(x)存在零点,
x+-a=0,∴a=x+≥2.
二、解答题
9.求下列函数的导数.
(1)y=xnlgx;
(2)y=++;
(3)y=.
解
(1)y′=nxn-1lgx+xn·
=xn-1(nlgx+).
(2)y′=()′+()′+()′
=(x-1)′+(2x-2)′+(x-3)′
=-x-2-4x-3-3x-4
=---.
(3)y′=()′=
=
=.
10.已知曲线y=x3+.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
解
(1)∵P(2,4)在曲线y=x3+上,且y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为k=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为k=x.
∴切线方程为y-=x(x-x0),
即y=x·x-x+.
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x-x+,
即x-3x+4=0,∴x+x-4x+4=0,
∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
B组 专项能力提升
(时间:
35分钟)
1.在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于,且横、纵坐标都为整数的点的个数是________.
答案 0
解析 依题意得,y′=3x2-9,令0≤y′<1得3≤x2<,
显然满足该不等式的整数x不存在,因此在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于,且横、纵坐标都为整数的点的个数是0.
2.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的大致图象是________.(填序号)
答案 ①
解析 ∵f(x)=x2+bx+c=2-+c,
由f(x)的图象的顶点在第四象限得->0,∴b<0.
又f′(x)=2x+b,斜率为正,纵截距为负.
3.已知曲线C:
f(x)=x3-ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线,它们的倾斜角互补,则a的值为________.
答案
解析 设切点坐标为(t,t3-at+a).
由题意知,f′(x)=3x2-a,
切线的斜率为k=3t2-a,①
所以切线方程为y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t).②
将点(1,0)代入②式得,-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),
解之得,t=0或t=.
分别将t=0和t=代入①式,得k=-a和k=-a,
由题意得它们互为相反数得a=.
4.已知直线y=kx与曲线y=lnx有公共点,则k的最大值为________.
答案
解析 易知y=kx与y=lnx相切时k最大.
设切点为(x0,y0),则
∴ln=1,∴k=.
5.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a的值为________.
答案 1或-
解析 设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x),
所以切线方程为y-x=3x(x-x0),即y=3xx-2x.
又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=.
当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,
当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切得a=1,
所以a=1或-.
6.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
解
(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.
当x=2时,y=.又f′(x)=a+,
于是 解得故f(x)=x-.
(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),
即y-=(x-x0).
令x=0,得y=-,
从而得切线与直线x=0的交点坐标为.
令y=x,得y=x=2x0,
从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为S=|2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值,且此定值为6.
7.设有抛物线C:
y=-x2+x-4,过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.
(1)求k的值;
(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.
解
(1)设点P的坐标为(x1,y1),则y1=kx1,①
y1=-x+x1-4,②
①代入②得x+(k-)x1+4=0.
∵P为切点,∴Δ=(k-)2-16=0得k=或k=.
当k=时,x1=-2,y1=-17.当k=时,x1=2,y1=1.
∵P在第一象限,∴所求的斜率k=.
(2)过P点作切线的垂线,其方程为y=-2x+5.③
将③代入抛物线方程得x2-x+9=0.
设Q点的坐标为(x2,y2),即2x2=9,
∴x2=,y2=-4.
∴Q点的坐标为(,-4).
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- 高考数学理大一轮讲义第三章 导数及其应用17份 高考 学理 一轮 讲义 第三 导数 及其 应用 17