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反常积分的敛散性判定方法
内蒙古财经大学本科学年论文
反常积分敛散性的判定方法
作
者
陈志强
学
院
统计与数学学院
专
业
数学与应用数学
年
级
2012级
学
号
122094102
指导教师
魏运
导师职称
教授
最终成绩
75分
摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯..1
关键词⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯..1
引言----------------------------------------------------------------------------------------2
一、预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯.2
1.无穷限反常积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯..2
2.瑕积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯3
3.反常积分的性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯3
二、反常积分的收敛判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.4
1无穷积分的收敛判别⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯4
(1).定义判别法
(2).比较判别法
(3).柯西判别法
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯5
(4)阿贝尔判别法.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯.6
(5).狄利克雷判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯7
2瑕积分的收敛判别⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯..⋯8
(1).定义判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯8
(2).定理判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯.9.
(3).比较判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯9
(4).柯西判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯9
(5).阿贝尔判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯.10
(6).狄利克雷判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯10.
参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯11
摘要
在很多实际问题中,要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性,由
此得到了定积分的两种形式的推广:
无穷限反常积分和瑕积分。
我们将这两种积分统称为反常积分。
因为反常积分涉及到一个收敛问题,所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。
本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结,并给出了相关定理的证明,举例说明其应用,这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。
关键词:
反常积分瑕积分极限敛散性
1
引言
近些年以来,一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得了许多重要的进展。
如华东师范大学数学系编,数学分析(上册),对反常积分积分的定义,性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。
华中科技大学出版的数学分析理论方法与技巧,也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解,还用图形的方法说明其意义。
引申出反常积分敛散性的等价定义,并通过例题说明其应用。
众多学者研究的内容全而广,实用性很高,尤其是在研究敛散性的判别很明显,这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献,对我完成此次论文有很大的帮助,但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究,而本文将对其进行归纳总结,举例说明其应用。
一、预备知识
1.无穷限反常积分
定义
1.1
设函数f(x)在
a,+∞)有定义,若f(x)在
[
a,
A]
上可积(
)
[
A>a
A
f(x)dx存在,称反常积分
f(x)dx收敛,否则
且当A→+∞时,lim
Aa
a
a
f(x)dx发散。
称反常积分
f(x)dx与
a
对反常积分
f(x)dx与
f(x)dx可类似的给出敛散性定义。
a
f(x)dx都收敛时,才认为
f(x)dx是收敛的。
注意:
只有当
f(x)dx和
2..瑕积分
定义1:
设f(x)在a的任何邻域内均无界,则称a为f(x)的一个瑕点
定义2:
设f(x)在[a,b)内有定义,且b为唯一瑕点,若lim
b
δ
f(x)dx存
δ
0a
b
在,称瑕积分
f(x)dx收敛
a
定义3:
设Ca,b且为f(x)的一个瑕点,若
b
均收敛,则称瑕积分
f(x)dx
a
c
a
d
f(x)dx和cf(x)dx
3.反常积分的性质
2
(1)Cauchy收敛原理:
af(x)dx
A2
时,有A1f(x)dx<ε
(2)线性性质:
若
f(x)dx与
a
ak1f(x)k2g(x)dx
k1(
f2)
x=k1
a
(3)积分区间可加性
ba,
f(x)dx=
a
(4)若
a
f(x)dx收敛,则
a
二、反常积分的敛散性判别法
1.无穷积分的敛散性判别
(1)定义判别法
收敛
对ε
A
0>a,当
A
>
A
2>
A
>0,
1
0
g(x)dx都收敛,则对任意常数k1,k2,
a
也收敛,且有
(f(kx)dx)kg
g(x)dx
d
x
a
2
a
,
若
f(x)dx
收
敛
,
则
a
b
f(x)dx.
f(x)dx
a
b
f(x)dx
≤
f(x)dx。
a
设函数f定义在无穷区间[a,)上,且在任何有限区间[a,u]上可积.如果存在极限
limuaf(x)dxJ,
u
则称af(x)dx收敛,否则发散,即相应定积分的极限存在广义积分收敛,定积分的极限不存在广义积分发散
例1.1计算无穷积分0
xepxdx(p是常数,且p
0)
解:
px
x
px
1
px
1
px
1
0xedx
pe
0
p0
e
dx
p2
e
0
p2
式中limxepx
lim
xpx
lim
1
px
0
x
x
e
x
pe
3
(2).比较判别法的普通形式:
f(x),g(x)在a,有定义,且
0f(x)g(x)(xa)
(a)g(x)dx<
f(x)dx<
a
a
(b)a
f(x)dx=+
a
g(x)dx=+
例1.2讨论
sinx
dx的收敛性
01
x
2
sinx
1
,x0,
解:
由于1
x2
1x2
dx
π
因为01
x2
2
为收敛,所以根据比较判别法
收敛。
(3).比较判别法的极限形式:
f(x),g(x)在a,
limf(x)
l则:
x
g(x)
sinx
dx为绝对
01x2
有定义,且非负,且
a
l=0时,
g(x)dx
()当
a
()
l
g(x)dx
b
+时,a
<
=
a
a
f(x)dx<
f(x)dx=
(c)0 时, g(x)dx, f(x)dx具有相同点敛散性。 a a 证: (1)若lim f(x) l x g(x) ,由极限的性质,存在常数A(A>a)使 得当xA时成立 f(x) g(x) 即f(x)<(l+1)g(x) 于是由比较判别法,当 g(x)dx收敛时 a 4 f(x)dx也收敛 a ()若lim f(x)= l>0,由极限的性质,存在常数( a), 2 g(x) AA x? ? 使得当x A时成立 f(x)>l' 其中0 g(x) 于是由比较判别法,当 g(x)dx 发散时 f(x)dx 也发散 a a 例1.3 讨论 1 dx的敛散性 13x4 3x3 5x2 2x1 解: lim 3 x4 1,而 1 dx 收敛, 4 3 2 1 3 x 3 x 3x 5x 2x 1 x 4 所以13 1 dx收敛 x 4 3x 3 5x 2 2x 1 总结: 使用比较判别法,需要一个敛散性判别结论明确,同时又形成简单的函 1 数作为比较对象,在上面的例子中我们都是取 xp为比较对象的,因为它们正 好能满足这俩个条件 ( 4).柯西判别法: 设f(x)在a, 有定义,在任何有限区间[a,u]上可积,且 lim xpf x λ x 则有: 当p 1,0 λ 时, f(x)dx收敛 a 当p 1,时, f(x)dx 发散 a (5).阿贝尔判别法: f(x)g(x)dx满足: a (a)f(x)单调有界 5 (b) g(x)dx收敛 a 则f(x)g(x)dx收敛 a 证: 由于存在M>0,使f(x)M(xa)再由 (2)可知, A2 对 ε A a 当A>A>A 时,有 0 210 ">0, A1 又 f(x)g(x)dx<ε A2 ζ A2 g(x)dx f(x)g(x)dx=f(A1) g(x)dx f(A2) M A1 A1 ζ ( εε M ε 再次由柯西准则知Abel定理成立。 +)=2 例1.4 证 1 sin λxarctanxdx(0< λ1)收敛 x 利用阿贝尔判别法,因为 sinλxdx收敛,又arctan x在1, 上 1 x 单调有界,故 1 sinx arctan xdx是收敛的 x λ (6).Dirichlet 判别法: a f(x)g(x)dx满足 (1)f(x) 单调且趋于0(x 0) A g(x)dx (2) a 有界(a>A) 则af(x)g(x)dx收敛。 A A M又由于f 证: 由于存在M>0, g(x)dx有界,所以有 g(x)dx a a (x) 0(x )故对对ε>0, A0 a,当A2>A1 >A0 时,有 2 1 ε 2 ε 1 ε f(A)- f(A)< 即 f(A)< ,f(A)< ,所以 ζ ζ A g)x2Mdx f(x)dx (g)xdx ( 同 理 有 A2 a a 6 A1 g(x)dx 2M 当A2, >A1 时A0, ζ , 故 有 A2 f(x)g(x)dx f(A2) ζ f(A1) A1 A1 g(x)dx g(x)dx a ζ 4Mε 例1.5 证积分 1 sinxdx收敛,但不绝对收敛 x A 1 证: sinxdx cosAcos12,而 1 x 单调且当x时趋于0, 故由 Dirichlet 判 别 法 知 1 sinxdx 收 敛 ; 但 x s xi ns xi n x2 ss xi i 1nn = 1 - cos 2x 而 x x x 2x 2x A 2xdx 1 sin 2A sin 1 1 1 cos , 2x 单调趋于 0,故 1 2 c o2sxdx收敛,而 1 dx A sinxdx发散 发散,故 1 1 2x 12x 例1.6 1 xpdx的敛散性 积分 0 当p 0时是可积的;当p< 0 时,它是不可积的,因为这时被积 函数在[0,1]上无界。 但作为反常积分,当 p> - 1时收敛;当p 1时 1 p 1 δp1 1/p1,若p 1 发散;因为当p 1 时有lim x dx lim p 1 若p<-1 δ0 δ δ0 而当p=-1时有lim 1 1dx lim ln 1 lnδ x δ0 δ δ0 例1.7 积分 xpdx作为反常积分,当p< - 1时它收敛;当p 1时 0 它 发 散 。 这 是 因 为 当 p 1 时 有 7 lim 1 lim p1 1 1/p1,若p1 xpdx δ 若 δ0 δ δ0 p 1 p>-1 1 x1dx lim lnδln1 而当p=-1时有lim δ0δ δ0 2.瑕积分的收敛判别 (1)定义判别法 设函数f定义在无穷区间(a,b]上,在点a的任一右邻域上无界,但在任何内闭区间有限区间 [u,b] (a,b]上有界且可积.如果存在极限 lim ubf(x)dx J, ua 则称反常积分a f(x)dx收敛.,否则发散 例2.1 计算瑕积分10 x dx的值 1 x2 解: 被积函数f(x) x 在[0,1)上连续,从而在任何[0,u] [0,1)上可积, 1x2 x0为其瑕点.依定义求得 1 x dxlim u x dx lim(1 2 0 2 0 1u)1 1 x u1 1 x 2 x1 (2)定理判别法(柯西收敛原理) b f(x)dx(瑕点为a)收敛的充要条件是: 任给ε> 0,存 瑕积分 a 在 δ , 只 要 u 12 u, δa 总 a >0 有 b x) b 2 u x (d x) f( d x( )f ε u1 2 u 1 =0< u (3).比较法则
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- 反常 积分 敛散性 判定 方法