2-稳态热传导3解析.ppt
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高等传热学,-稳态热传导(三),工程上经常遇到二维和三维稳态导热问题:
如房间墙角导热、热网地下埋管管道热损失、短肋片导热等。
在直角坐标系中,二维、常物性、无内热源导热微分方程式为:
求解方法:
分(解)析解法,适用简单形状、简单边界条件;数值解法,适用复杂形状、复杂边界条件;利用导热形状因子,适用工程计算、两个边界的温度恒定且已知。
多维稳态导热,2、数值解法:
解决复杂问题的有效方法(软件、数值传热学课程内容)3、利用形状因子多维稳态导热最常用的工程计算方法,查阅相关资料或手册直接进行,得到满足工程要求的近似解。
热流量计算:
采用简便的计算公式,形状因子S为物体几何参数的函数,它与物体几何形状、尺寸以及导热问题特性紧密联系。
一维无限大平壁的形状因子:
一维圆筒壁的形状因子:
说明,形状因子法的适用条件:
导热问题主要由两个等温的边界组成。
一维问题(平壁,圆筒壁,球壁或其他变截面)两个等温表面间的导热量;二维或三维问题中两个等温表面间的导热量。
工程中常见的复杂结构导热问题:
二维稳态导热,二维或三维的稳态导热问题,在常物性的条件下由泊松方程或拉普拉斯方程描述。
分析二维或三维稳态导热的方法主要有解析法和数值解法。
解析法的优点是能够得到适合于同类问题的一般的函数关系式,各参数之间关系的物理意义明确,还可进一步作微分和积分等数学运算。
解析解还常常用来作为检验各种近似解精度的依据。
二维稳态导热,解析法通常需要涉及较复杂的数学理论,而且至今只有少数具有特定几何形状和边界条件的问题才能得到温度场的解析解。
因此,解析法的应用范围比较有限。
随着计算机技术的飞速发展,作为近似解法之一的数值解法已得到广泛的应用,成为解决各种实际工程问题的最有力的工具。
分离变量法,分离变量法可用于求解几何形状规则的区域中的导热问题,是最早发展的解析法,也常用作其他解析法的基础。
由于求解过程中分离变量的要求,这一方法适合于处理齐次问题。
下面以一个矩形区域中无内热源的稳态导热问题为例说明分离变量法的具体思路。
分离变量法,见图,矩形区域的4个边界中有3个边界维持均匀的温度t0;第4个边界条件为已知的温度分布f(x)。
引进过余温度tt0,可使3个等温边界条件变为齐次的。
二维稳态导热由拉普拉斯方程描述:
图矩形区域稳态导热的边界条件,分离变量法,假设所求的温度分布(x,y)可以表示为一个x的函数和一个y的函数的乘积,即,代入方程,由于方程是线性齐次的可以分离变量,得到,上式第一个等号左边是x的函数,右边是y的函数。
因此,只有它们都等于一个常数时等式才有可能成立,记这个常数为2。
由此得到带一个待定常数的两个常微分方程,分离变量法,它们各自的通解为,注意到x方向的两个边界条件都是齐次的,把式代入边界条件式,同样可分离变量得到,A0,分离变量法,为了得到x的非零解(否则XY0,没有意义),必须有B0,因此必须有,该方程称为这一分离变量问题的特征方程,它有无穷多个解。
由于解的对称性,在这里仅取正的解即可,它们是,这样就得到满足方程和边界条件式的无穷多个解,分离变量法,由边界条件式可得Y(0)0,得D0。
相应地有,由于方程和3个边界条件都是线性齐次的,以上得到的解的叠加仍满足方程和这3个边界条件,即,分离变量法,由边界条件式得,可以确定级数中的系数Cm,即把f1(x)在(0,)区间上展成正弦级数,可得,即,分离变量法,最后得到原问题的解为,在以上的问题中,如果不止一个边界条件是非齐次的,就需要利用叠加原理把问题分解为几个简单的问题。
仍以矩形域中的一般的第一类边界条件的稳态导热为例,其数学描述为,分离变量法,分离变量法,令1234,1、2、3和4分别是以下定解问题的解:
分离变量法,令1234,,由于每个问题中都有3个齐次边界条件,可以分别按以上介绍的方法求得解析解。
最后可得原问题的解为,分离变量法,如果x方向(或y方向)的两个边界条件是齐次的第二类或第三类边界条件,或是这三类齐次边界条件的某种组合,则都可以直接按以上例子的思路进行分离变量求解。
虚拟热源法,无内热源的稳态导热问题在常物性条件下满足拉普拉斯方程。
拉普拉斯方程是线性齐次的偏微分方程,它的解满足叠加原理。
而一些点热源、线热源、面热源在特定的区域(例如无限大介质)中的解具有简明的形式。
如果某一温度场可以看作是几个这样的热源或热汇(即负热源)形成的温度场的叠加,就可以比较简单地求得问题的解析解。
这种方法称为虚拟热源法,它也同样可成功地应用于由拉普拉斯方程描述的电场或理想流体流动的问题。
虚拟热源法,现在考察地下埋管的散热损失问题。
参看下图,地下埋设的热管道直径d=2r,埋深为H。
设埋管外表面和地面的温度分别维持为常量tw和t0。
虚拟热源法,在常物性假定且不考虑温度分布沿管长方向变化的情况下,土壤中的温度分布由二维拉普拉斯方程和两个等温边界条件描述。
虚拟热源法,引进过余温度tt0,则在y0的平面上有0。
把求解的区域由半无限大介质(土壤)扩展为整个无限大介质,并设想在(0,y0)处有一个强度为一ql(单位为W/m)的线热源,在(0,-y0)处有一个强度为-ql的线热源(或称热汇)。
单一的线热源在无限大介质中形成的温度分布是柱坐标系中的一维温度场,即线热源和线热汇引起的温度分布分别为:
虚拟热源法,单一的线热源在无限大介质中形成的温度分布是柱坐标系中的一维温度场,即线热源和线热汇引起的温度分布分别为,由于问题的线性性,这两个温度分布的叠加仍然满足拉普拉斯方程,而且由于其对称性,y0处的边界条件即得到满足,即,虚拟热源法,根据坐标间的几何关系,对任一点P(x,y)有,虚拟热源法,根据坐标间的几何关系,对任一点P(x,y)有,则在直角坐标系中表示的温度分布为,假定为某一确定的值,就可以得到等温线的方程,记,虚拟热源法,记,,上式可整理为,上式表明,该二维温度场的等温线是一簇圆,圆心坐标为x0,,,半径为,当0,即C1时,r,圆心在y轴的处,对应的等温线是x轴,即地表面。
虚拟热源法,由另一个边界条件,即埋管表面的过余温度wtwt0,可以确定线热源的坐标y0和散热量ql。
由等温线的方程可知,,,其中,上面两式相除,得,或,得,虚拟热源法,,,将该表达式带入下式,得,根据本题的物理意义,ql应该与w同号,因此舍去方程的两根中带负号的根。
虚拟热源法,,,注意到,当-1时,arcch=1n
(2)。
例如,当3时,两者的误差不超过1.7。
因此,当2H/d1时有,在以上推导过程中可以看出,两个虚拟线热源形成的温度分布是一簇偏心的圆柱面,等温面方程由式给出。
因此,还可以解得两个表面分别维持等温的偏心长圆筒壁的温度场和热流密度。
变物性多维稳态导热问题,,,在求解导热问题时,通常采用常物性假定。
这样,导热微分方程是线性的。
线性化假定为分析求解,包括利用线性叠加原理创造了有利条件。
但是在某些工程领域,如焊接、铸造等热加工过程以及火箭发动机中,涉及的温度变化范围较大;在液氢级(20K)和液氦级(4K)的低温工程领域,材料的热物性随温度的变化较剧烈。
此时需要考虑介质的导热系数是温度的函数,(t)。
此时无内热源的稳态导热的微分方程应表示为:
变物性多维稳态导热问题,,,在二维直角坐标系中,以上方程可具体写作,以上方程是非线性的,但是借助于一个变量置换可以使该方程线性化(基尔霍夫变换)。
定义新变量:
变物性多维稳态导热问题,,,为了使问题线性化,还必须同时使边界条件线性化。
第二类边界条件:
将很容易地变换为线性化的第二类边界条件:
变物性多维稳态导热问题,,,第一类边界条件:
经变换后仍为第一类边界条件:
但是应该注意,对流边界条件,即第三类边界条件,一般不能变换为线性化的第三类边界条件,这是基尔霍夫变换的一种局限。
思考题:
1矢量傅立叶定律的基本表达式及其中各物理量的定义。
2温度场,等温面,等温线的概念。
3利用能量守恒定律和傅立叶定律推导导热微分方程的基本方法。
4使用热阻概念,对通过单层和多层平板,圆筒和球壳壁面的一维导热问题的计算方法。
5利用能量守恒定律和傅立叶定律推导等截面和变截面肋片的导热微分方程的基本方法。
6导热系数为温度的线性函数时,一维平板内温度分布曲线的形状及判断方法。
7肋效率的定义。
8肋片内温度分布及肋片表面散热量的计算。
9放置在环境空气中的有内热源物体一维导热问题的计算方法10导热问题三类边界条件的数学描述.11两维物体内等温线的物理意义.从等温线分布上可以看出哪些热物理特征。
12导热系数为什么和物体温度有关?
而在实际工程中为什么经常将导热系数作为常数.13什么是形状因子?
如何应用形状因子进行多维导热问题的计算?
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- 稳态 热传导 解析