上海初二数学讲义之代数方程复习.docx
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上海初二数学讲义之代数方程复习
数学辅导讲义
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组长备注
课题
代数方程
授课时间:
备课时间:
教学目标
1、会求解整式方程
2、会求解分式方程
3、会求解无理方程
4、会求解二元二次方程组
5、会求解方程的应用
重点、难点
1、分式方程的灵活求解方法
2、二元二次方程组的求解
3、方程的应用
考点及考试要求
考点1、分式方程
考点2、无理方程
考点3、方程组的解法
考点4、方程的应用
教学内容
知识精要
1、整式方程
1、一元整式方程:
如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,那么这个方曾叫做一元整式方程。
2、一元n次方程:
一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程就叫做一元n次方程。
3、其中n大于2的方程统称为一元高次方程。
4、二项方程:
如果一元n次方程的一边只有含有未知数的一项和非零的常数项,另一边是零,那么这样的方程叫做二项方程。
一般形式为
是正整数)。
对于二项方程
,
当n为奇数时,方程有且只有一个实数根。
当n为偶数时,如果ab<0,那么方程有两个实数根,且这两个跟互为相反数;如果ab>0,那么方程没有实数根。
5、双二次方程:
一般地,只含有偶次项的一元四次方程,叫做双二次方程。
其一般形式为
二、分式方程
1、解法
①在分式方程的两边同乘以最简公分母,化去分母,化成整式方程;
②解这个整式方程;
③验根。
在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根。
2、增根
使整式方程成立而分式方程无意义的未知数的值
3、应用
①审找题中基本数量关系,用适当名称给数量关系分类
②设不好想时就设,问什么设什么
③列纵向寻找同类数量关系列方程,以用过的数量关系不可以列方程
④解
⑤验看根是否满足题意
⑥答
3、无理方程
1、无理方程:
方程中含有根式,且被开放书是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程。
2、解题步骤:
1)去根号
2)解有理方程
3)检验
4)写出方程的根
4、二元二次方程和方程组
1、概念:
仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程。
一般形式:
(a,b,c,d,e,f都是常数,且a,b,c中至少有一个不是零;当b为零时,a与d以及c与e分别不全为零)。
2、二元二次方程组:
仅含有两个未知数,各个方程式整式方程,并且含有未知数的项的最高次数为2,像这样的方程组叫做二元二次方程组。
3、方法
1)代入消元法
步骤:
A、把一个未知数用另一个未知数的代数式表示
B、代入消元
C、解一元方程
D、回代
E、写出原方程组的解
2)因式分解法:
五、历年中考题型
1、选择(2000,2009)
2、填空题(,2001,2003,2004,2006,2007,2008,2009,2010)
3、计算题(2000,2001,2003,2005,2006,2007,2008,2009,2010,2011)
4、应用题(2001,2004,2007)
热身练习
1、若关于
的方程
有增根,则
的值为。
2、用换元法解方程
,如果设
,则原方程可变形为整式方程。
3、方程组
的解是。
4、方程组
的解是。
5、某工程甲独做
天完成,乙独做
天完成,两人合做天可完成这个工程。
6.(2010)方程
=x的根是______x=3______.
【解析】由题意得:
x>0
7、方程
有()
A、一解B、两解C、无解D、无穷多个解
8、方程
的根是()
A、-2B、
C、-2,
D、-2,1
9、由方程组
消去
后得到的方程是()
A、
B、
C、
D、
10、方程组
解的情况是()
A、有两组相同的实数解B、有两组不同的实数解C、没有实数解D、不能确定
精解名题
第一部分:
整式方程
例1、用适当的方法解下列方程:
(1)(2x+1)2=25
解:
两边直接开平方,得2x+1=±5
∴2x+1=5或2x+1=-5
即x=2或x=-3
∴原方程的解为x1=2,x2=-3
(2)
解:
在方程两边同除以2,得
移项,得
方程配方,得
即
利用直接开平方法,得
∴原方程的解为
,
(3)3x2+8x-1=0
,
∴原方程有实数解。
∴
,
(4)x2-9x=0
方程左边因式分解,得x(x-9)=0
∴x1=0,x2=9
例2、解下列关于x的方程
(1)(3a-2)x=2(3-x)
解:
去括号,得3ax-2x=6-2x
移项,得3ax-2x+2x=6
合并同类项,得3ax=6※
当a≠0时,方程※是一元一次方程,解得
;
当a=0时,方程※变成0·x=6,这时不论x取什么值,等式0·x=6都不成立,因此方程无解。
所以,当a≠0时,原方程的根是
;当a=0时,原方程无解。
(2)bx2-1=1-x2(b≠-1)
解:
移项,得bx2+x2=1+1
合并同类项,得(b+1)x2=2
因为b≠-1,所以b+1≠0
两边同除以b+1,得
※
当b+1>0时,由方程※解得
;
当b+1<0时,方程※中
,这时方程没有实数根。
所以,当b+1>0时,原方程的根是
,
;
当b+1<0时,原方程没有实数根。
例3、判断下列方程是不是二项方程,如果是二项方程,求出它的根。
(1)x3-64=0
(2)x4+x=0
(3)x5=-9(4)x3+x=1
解:
(1)、(3)是二项方程,
(2)、(4)不是二项方程。
下面解方程
(1)、(3):
(1)移项,得x3=64
开方,得
即x=4
(3)开方,得
即
例4、判断下列方程是不是双二次方程,如果是,求出它的根:
(1)x4-9x2+14=0
(2)x4+10x+25=0
(3)2x4-7x3-4=0(4)x4+9x2+20=0
解:
(1)、(4)是双二次方程,
(2)、(3)不是双二次方程。
下面解方程
(1)、(4):
(1)设x2=y,则x4=y2,于是原方程可化为
y2-9y+14=0
解这个关于y的方程,得
y1=2,y2=7
由y1=2,得x2=2,解得
由y2=7,得x2=7,解得
所以,原方程的根是
x1=
,x2=
,x3=
,x4=
(4)设x2=y,则x4=y2,于是原方程可化为
y2+9y+20=0
解这个关于y的方程,得
y1=-4,y2=-5
由y1=-4,得x2=-4,它没有实数根;
由y2=-5,得x2=-5,它也没有实数根
所以,原方程没有实数根。
例5、解下列方程:
(1)2x3+7x2-4x=0
(2)x3-2x2+x-2=0
解:
(1)方程左边因式分解,得
x(2x2+7x-4)=0
x(x+4)(2x-1)=0
得x=0或x+4=0或2x-1=0
∴原方程的根是x=0,x=-4,x=
注意:
不要漏掉x=0这个根!
(2)x3-2x2+x-2=0
解:
方程左边因式分解,得
(x3-2x2)+(x-2)=0
x2(x-2)+(x-2)=0
(x-2)(x2+1)=0
即x-2=0或x2+1=0
解方程x-2=0得x=2
方程x2+1=0没有实数根
所以,原方程的根是x=2
第二部分:
分式方程
1、指出下列方程中,分式方程有(B)
①
=5②
=5③
x2-5x=0④
+3=0
A.1个B.2个C.3个D.4个
2、若关于
的方程
有增根,则
的值为-1。
3、用换元法解方程
,如果设
,则原方程可变形为整式方程
4、解下列方程
(1)
(2)
;
(3)
.
解:
(1)原方程就是
,
方程两边都乘以
,约去分母,得
,
整理后,得
.
解这个方程,得
.
检验:
,
∴
均为原方程根.
(2)
;
解:
设
.则原方程可化为
,
,
∴
.
当y1=-2时,即
;
当y2=-3时,即
.
∴
均为原方程的根.
(3)
解:
设
,那么
,于是原方程变形为
,
去分母,得
,
,
解得y1=
y2=1.
当y=
时,
.
去分母并整理,得
.
解得
.
当y=1时,即
.
去分母并整理,得
.
检验:
把
分别代入原方程的分母,各分母都不等于0,所以它们都是原方程的根.
∴原方程根是:
5、解下列分式方程:
1、
;2、
3、
分析:
(1)题用化整法;
(2)(3)题用换元法;分别设
,
,解后勿忘检验。
答案:
(1)
(
舍去);
(2)
=0,
=1,
,
(3)
6、解方程组:
分析:
此题不宜去分母,可设
=A,
=B得:
,用根与系数的关系可解出A、B,再求
、
,解出后仍需要检验。
答案:
,
7、解方程:
分析:
此题初看似乎应先去分母,但去分母会使方程两边次数太高,仔细观察可发现
,所以应设
,用换元法解。
答案:
,
,
,
第三部分:
无理方程
1、已知方程1+
=m无实数根,则m的取值范围是.m<1;
2、在下列方程中,无解的个数是(C).
①
;②
;③
;
④
;⑤
=1.
(Α)1(B)2(C)3(D)4
3、解下列方程:
(1)
(2)
(3)
解:
(1)原方程可变形为
两边平方,得(3-x)2=2x-3
整理,得x2-8x+12=0
解得x1=2,x2=6
经检验,x=2是原方程的根;x=6是增根,舍去。
所以,原方程的根是x=2
(2)
解:
原方程可变形为
两边平方,得x2-2=2x+1
整理,得x2-2x-3=0
解得x1=-1,x2=3
经检验,x=-1是增根,舍去;x=3是原方程的根。
所以,原方程的根是x=3
(3)
解:
设
=y,则3x2-6x+12=3y2,则3x2-6x=3y2-12
原方程化为2y=3y2-12+4
整理,得3y2-2y-8=0
解得y1=2,y2=
当y=2时,
=2,
=4,解得x=0或x=2;
y=
时,
=
,次方程无解。
经检验,x=0,x=2都是原方程的根。
所以,原方程的根是x1=0,x2=2
第四部分:
二元二次方程组
1、解下列方程组:
(1)
;
(2)
;(3)
解:
(1)
,
;
(2)
,
(3)
,
,
,
2、已知方程组
有两个不相等的实数解,求
的取值范围。
解:
当
<1且
≠0时,原方程组有两个不相等的实数解
3、方程组
的两组解是
,
不解方程组,求
的值。
分析:
将
代入①得
的一元二次方程,
、
是两根,可用根与系数的关系,将
,
代入
后,用根与系数的关系即可求值。
答案:
第五部分:
列方程解应用题
1、铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又调拨11000元资金购进该品种苹果,但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元,购进苹果数量是试销时的2倍.
(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?
(2)如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售,
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