随机过程考试真题.docx
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随机过程考试真题
1、设随机过程X(t)RtC,t(0,),C为常数,R服从[0,1]区间上的均匀分布。
(1)求X(t)
(2)求X(t)
的一维概率密度和一维分布函数;
的均值函数、相关函数和协方差函数。
2、设W(t),
t
是参数为
2
的维纳过程,R~N(1,4)是正态分布随机变量;
且对任意的
t
,W(t)与R均独立。
令X(t)
W(t)R,求随机过程
X(t),
t
的均值函数、相关函数和协方差函数。
3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程,平均每小时有
180人,即
180;且每个
顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。
求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为:
0.30.70
P00.20.8
0.700.3
(1)求两步转移概率矩阵P
(2)及当初始分布为
P{X01}1,P{X0
2}
P{X0
3}0
时,经两步转移后处于状态
2的概率。
(2)求马尔可夫链的平稳分布。
5设马尔可夫链的状态空间
I
{1,2,3,4,5},转移概率矩阵为:
0.3
0.4
0.3
0
0
0.6
0.4
0
0
0
P0
1
0
0
0
0
0
0
0.3
0.7
0
0
0
1
0
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
6、设N(t),t0是参数为的泊松过程,计算EN(t)N(ts)。
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。
以Ni记在i第层进入电梯的人数。
假定Ni相互独立,
且Ni是均值为i的泊松变量。
在第i层进入的各个人相互独立地以概率pij在第j层离开电
梯,pij1。
令Oj=在第j层离开电梯的人数。
ji
(1)计算E(Oj)
(2)Oj的分布是什么
(3)Oj与Ok的联合分布是什么
8、一质点在1,2,3点上作随机游动。
若在时刻t质点位于这三个点之一,则在[t,th)内,
它都以概率ho(h)分别转移到其它两点之一。
试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微
分方程,转移概率
pij(t)及平稳分布。
1有随机过程{(t),-
},设(t)=Asin(t+ ),(t)=Bsin(t++ ), 其中A,B,,为实常数, 均匀分布于[0,2],试求R(s,t) 2(15分)随机过程 (t)=Acos( t+),- ,其中A,,是相互统计独立的随机变量, EA=2,DA=4,是在[-5,5]上均匀分布的随机变量, 是在[-,]上均匀分布的随机变量。 试 分析(t)的平稳性和各态历经性。 3某商店顾客的到来服从强度为 4人每小时的Poisson过程,已知商店9: 00开门,试求: (1) 在开门半小时中,无顾客到来的概率; (2)若已知开门半小时中无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。 4设某厂的商品的销售状态(按一个月计)可分为三个状态: 滞销(用 1表示)、正常(用2 表示)、畅销(用3表示)。 若经过对历史资料的整理分析,其销售状态的变化(从这月到下 月)与初始时刻无关,且其状态转移概率为 pij(pij表示从销售状态 i经过一个月后转为销售 状态j的概率),一步转移开率矩阵为: 1 1 0 2 2 5 P 1 1 3 9 9 1 2 1 6 3 6 试对经过长时间后的销售状况进行分析。 5设{X(t),t0}是独立增量过程,且X(0)=0, 证明{X(t),t 0}是一个马尔科夫过程。 6设 N(t),t 0 是强度为 的泊松过程, Yk,k=1,2, 是一列独立同分布随机变量,且 N(t) 与N(t),t 0 独立,令 X(t)= Yk,t 0,证明: 若 E(Y12<),则EX(t) tEY1 k=1 7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。 又设今天下雨而明天也下雨 的概率为,而今天无雨明天有雨的概率为;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态 1。 设0.7,0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 8设t,t是平稳过程,令ttcos0t,t,其中0 是常数,为均匀分布在[0,2]上的随机变量,且t,t 与相互独立,R() 和S( )分别是 t, t 的相关函数与功率谱密度,试证: (1) t t 是平稳过程,且相关函数: R 1R cos 0 2 (2) t t 的功率谱密度为: S 1 S S 0 0 4 9已知随机过程 (t)的相关函数为: R e 2 (t)是否均方连续? 是否均方可微? ,问该随机过程 1、设随机过程X(t)RtC,t(0,),C为常数, (1)求X(t)的一维概率密度和一维分布函数; (2)求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 x (1)F(x)f(t)dt,则f(t)为密度函数; (2)X(t)为(a,b)上的均匀分布,概率密度函数f(x) R服从[0,1]区间上的均匀分布。 1 ba,axb,分布函数0,其他 0,x a (ba)2 F(x) x a,axb,E(x) ab,D(x) ; b a b 2 12 1,x (3)参数为 的指数分布,概率密度函数 f(x) ex,x 0,分布函数 0,x 0 1 e x,x0 ,E(x) 1 1 F(x) 0,x0 ,D(x) 2; 2 (x )2 1 2 (4)E(x) D(x) f(x) e2 x, 的正态分布,概率密度函数 2 1 x (t )2 e2 2 0, 1时,其为标准正态分布。 分布函数F(x) dt, x ,若 2 【解答】本题可参加课本习题 2.1及2.2题。 (1)因R为[0,1]上的均匀分布,C为常数,故X(t)亦为均匀分布。 由R的取值范围可知, t]上的均匀分布,因此其一维概率密度f(x) 1 CxCt,一维分布 X(t)为[C,C t 0,其他 0,x C 函数F(x) xC,C XCt; t C t 1,x (2)根据相关定义,均值函数 mX(t) EX(t) t C; 2 1st C(s 相关函数RX(s,t) E[X(s)X(t)] t) C2; 3 2 st 协方差函数BX(s,t) E{[X(s) mX(s)][X(t) mX(t)]} t时为方差函数) (当s 12 【注】D(X) E(X2) E2(X);BX(s,t) RX(s,t) mX(s)mX(t) 求概率密度的通解公式 () ()| ' ()| ()/| ' ()| ft x fyyx fy xy 2、设W(t), t 是参数为 2 的维纳过程, R~N(1,4)是正态分布随机变量;且 对任意的 t ,W(t)与R均独立。 令X(t)W(t) R,求随机过程 X(t), t 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【解答】此题解法同 1题。 依题意,W(t)~N(0, 2|t|),R~N(1,4),因此X(t) W(t)R服从于正态分布。 故: 均值函数mX(t) EX(t)1 ; 相关函数RX(s,t) E[X(s)X(t)] 5 ; 协方差函数BX(s,t) E{[X(s) mX(s)][X(t) mX(t)]} 4(当st时为方差函数) 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程,平均每小时有 180人,即 180;且每个 顾客的消费额是服从参数为 s的指数分布。 求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。 【解答】此题可参见课本习题 3.10题。 由题意可知,每个顾客的消费额 Y是服从参数为 s的指数分布,由指数分布的性质可知: E(Y) 1 1 2 ) 2 ,则由复合泊松过程的性质可得: 一天内商场营 D(Y) s 2 ,故E(Y 2 s s 业额的数学期望mX(8) 8 180 E(Y); 一天内商场营业额的方差 2 (8) 8 180 ( 2 )。 X EY 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为: 0.30.70 P00.20.8 0.700.3 (1)求两步转移概率矩阵P (2)及当初始分布为 P{X01}1,P{X02}P{X03}0 时,经两步转移后处于状态2的概率。 (2)求马尔可夫链的平稳分布。 【解答】可参考教材例4.3题及4.16题 (1)两步转移概率矩阵 0.3 0.7 0 0.3 0.7 0 0.09 0.35 0.56 P (2) PP 0 0.2 0.8 0 0.2 0.8 0.56 0.04 0.4 0.7 0 0.3 0.7 0 0.3 0.42 0.49 0.09 当初始分布为 { 1} 1, { 2} { 3} 0时, PX0 PX0 PX0 0.09 0.35 0.56 1 0 0 0.56 0.04 0.4 0.09 0.35 0.56 0.42 0.49 0.09 故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。 (2)因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态,所以平稳分布存在。 得如下方程组 1 0.3 1 0 2 0.7 2 0.7 1 0.2 2 0 3 0 1 0.8 2 0.3 1 2 3 1 3 3 3 解上述方程组得平稳分布为 1 8, 2 7, 3 8 23 23 23 5、设马尔可夫链的状态空间I {1,2,3,4,5},转移概率矩阵为: 0.3 0.4 0.3 0 0 0.6 0.4 0 0 0 P 0 1 0 0 0 0 0 0 0.3 0.7 0 0 0 1 0 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 【解答】此题比较综合,可参加例 4.13题和4.16题 画出状态转移图如下: 4 2 1 3 5 (1)由上图可知,状态分类为G1{1,2,3};G2{4,5} (2)由上图及常返闭集定义可知,常返闭集有两个,下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。 A、对G1常返闭集而言,解方程组 1 0.3 1 0.6 2 2 0.4 1 0.4 2 3 0.3 1 0 2 1 2 3 0 1 0 1 3 3 3 解上述方程组得平稳分布为 1 37, 2 259, 3 37 15 90 50 则各状态的平均返回时间分别为 1 15 1 90 1 50 t1 37 t2 259 t3 37 1 2 3 B、对G2常返闭集而言,解方程组 1 0.3 1 1 2 0.7 1 0 1 2 1 解上述方程组得平稳分布为 2 2 110,27 1717 则各状态的平均返回时间分别为 t1 1 17,t2 1 17 1 10 2 7 6、设N(t),t0是参数为的泊松过程,计算EN(t)N(ts)。 【解答】 E N(t)N(t s) EN(t)N(ts)N(t)N(t) EN(t)N(ts)N(t) EN(t)2 EN(t)E N(t s)N(t) E N(t)2 t s t ( t)2 t(1 t s) 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。 以 Ni记在i第层进入电梯的人数。 假定 Ni相互独立, 且Ni是均值为i的泊松变量。 在第i层进入的各个人相互独立地以概率pij在第j层离开电 梯,pij1。 令Oj=在第j层离开电梯的人数。 ji (1)计算E(Oj) (2)Oj的分布是什么 (3)Oj与Ok的联合分布是什么 【解答】此题与本书联系不大,据有关方面信息,此次考试此题不考。 以 Nij 记在第 i 层乘上电梯,在第 j层离去的人数,则 Nij 是均值为 ipij 的泊松变量且全部 Nij(i0,j i)相互独立。 因此: (1) E[Oj] E[Nij] ipij i i (2)由泊松变量的性质知, Oj Nij是均值为 ipij的泊松变量 i i i k ki (3) 因Oi与Ok独立,则P(OiOk) P(Oi)P(Ok) e e e2 ,为期望。 i! k! i! k! 8、一质点在1,2,3点上作随机游动。 若在时刻t质点位于这三个点之一,则在[t,th)内, 它都以概率ho(h)分别转移到其它两点之一。 试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微 分方程,转移概率pij(t)及平稳分布。 【解答】参见教材习题5.2题 依题意,由lim pij(t) (i j)得,qij 1(i j),柯尔莫哥洛夫向前方程为 qij t 0 t pij' 2pij(t) pi,j1(t) pi,j1(t), 由于状态空间I {1,2,3},故 pij(t)pi,j1 (t)pi,j 1(t)1, 所以 pij'2pij(t)1pij(t)3pij(t)1, 解上述一阶线性微分方程得: 1t pij(t)ce3 由初始条件 1 , 3 1,i j pij(0) j 0,i 确定常数c,得 1 2 1t 3,i j 3 e pij(t) 3 1t 1 j 1e3,i 3 3 故其平稳分布 j limpij(t) 1,j1,2,3 t 3 1、有随机过程{(t),- 1.解: f 1 0 2 2 0, 其它 2 1d R s,t E s t Asin s Bsin t 0 2 1 2 AB cos t s cos t s2 d 4 0 1ABcos t s s,t 2 2、随机过程(t)=Acos(t+ ),- ,其中A, 是相互统计独立的随机变量, EA=2, DA=4, 是在[-5,5]上均匀分布的随机变量, 是在[- ,]上均匀分布的随机变量。 试分析 (t)的平稳性和各态历经性。 2、解: m t Et EAcos t EAEcos t 1 5 d cos t d 2 20 5 def 0m,t Rt,t E tt EAcos t Acos t 2 t cos t EAEcos 8
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