高考数学人教A版理复习教案第二章 函数与基本初等函数 25 对数与对数函数.docx
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高考数学人教A版理复习教案第二章函数与基本初等函数25对数与对数函数
§2.5 指数与指数函数
1.分数指数幂
(1)规定:
正数的正分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的运算性质:
aras=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
2.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0,+∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时,y>1; 当x<0时,0 (5)当x>0时,0 当x<0时,y>1 (6)在(-∞,+∞)上是增函数 (7)在(-∞,+∞)上是减函数 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)()4=-4.( × ) (2)(-1)=(-1)=.( × ) (3)函数y=a-x是R上的增函数.( × ) (4)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).( × ) (5)函数y=2x-1是指数函数.( × ) (6)函数y=()1-x的值域是(0,+∞).( √ ) 1.若a=(2+)-1,b=(2-)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是( ) A.1B. C.D. 答案 D 【详细分析】a=(2+)-1=2-,b=(2-)-1=2+, ∴(a+1)-2+(b+1)-2=(3-)-2+(3+)-2 =+=. 2.设函数f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),f (2)=4,则( ) A.f(-2)>f(-1)B.f(-1)>f(-2) C.f (1)>f (2)D.f(-2)>f (2) 答案 A 【详细分析】∵f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),f (2)=4, ∴a-2=4,∴a=, ∴f(x)=-|x|=2|x|, ∴f(-2)>f(-1). 3.函数f(x)=ax-(a>0,a≠1)的图象可能是( ) 答案 D 【详细分析】函数f(x)的图象恒过(-1,0)点,只有图象D适合. 4.已知0≤x≤2,则y=-3·2x+5的最大值为________. 答案 【详细分析】令t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4, 又y=22x-1-3·2x+5,∴y=t2-3t+5 =(t-3)2+, ∵1≤t≤4,∴t=1时,ymax=. 题型一 指数幂的运算 例1 化简: (1)(a>0,b>0); (2)(-)+(0.002)-10(-2)-1+(-)0. 思维点拨 可先将根式化成分数指数幂,再利用幂的运算性质进行计算. 解 (1)原式= =ab-1. (2)原式=-+1 =-10(+2)+1 =+10-10-20+1=-. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: ①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. (1)化简(x<0,y<0)得( ) A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y (2)=________. 答案 (1)D (2) 【详细分析】 (1)= = ==2(-x)2(-y) =-2x2y. (2)原式= 题型二 指数函数的图象和性质 例2 (1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.00 D.0 (2)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是________. 答案 (1)D (2)(-∞,4] 【详细分析】 (1)由f(x)=ax-b的图象可以观察出函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0 (2)令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间[,+∞)上单调递增,在区间(-∞,]上单调递减.而y=2t为R上的增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4]. 思维升华 (1)对与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象. (2)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对两层函数分别进行研究. (1)若函数y=2-x+1+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围是________. (2)若函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a=________. 答案 (1)(-∞,-2] (2) 【详细分析】 (1)∵y=2-x+1的图象过点(0,2),∴y=2-x+1+m的图象过点(0,2+m),令2+m≤0得m≤-2. (2)当a>1时,x∈[0,2],y∈[0,a2-1], ∴a2-1=2,即a=. 当0 综上,a=. 题型三 指数函数的应用 例3 (1)k为何值时,方程|3x-1|=k无解? 有一解? 有两解? (2)已知定义在R上的函数f(x)=2x-. ①若f(x)=,求x的值; ②若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. 解 (1)函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示. 当k<0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解;当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解; 当0 (2)①当x<0时,f(x)=0,无解; 当x≥0时,f(x)=2x-, 由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0, 看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或-, ∵2x>0,∴2x=2,即x=1. ②当t∈[1,2]时,2t+m≥0, 即m(22t-1)≥-(24t-1), ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), ∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故m的取值范围是[-5,+∞). 思维升华 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提,方程f(x)=g(x)解的个数即为函数y=f(x)和y=g(x)图象交点的个数;解决有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数,搞清复合函数的结构. (1)如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为( ) A.B.1 C.3D.或3 (2)若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是( ) A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1) C.(1,+∞)D. 答案 (1)D (2)D 【详细分析】 (1)令ax=t,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈[,a],又函数y=(t+1)2-2在上单调递增, 所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(负值舍去). 当0 又函数y=(t+1)2-2在[a,]上单调递增, 则ymax=(+1)2-2=14,解得a=(负值舍去). 综上知a=3或a=. (2)方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y=|ax-1|与y=2a有两个交点. ①当0 (1),则0<2a<1,即0 ②当a>1时,如图 (2),而y=2a>1不符合要求. 综上,0 忽略对底数的讨论致误 典例: (12分)已知函数y=(a,b是常数且a>0,a≠1)在区间[-,0]上有ymax=3,ymin=,试求a、b的值. 易错分析 (1)误认为a>1,只按一种情况求解,而忽略了0 (2)搞错或忽视x2+2x的范围造成失误. 解 令t=x2+2x=(x+1)2-1, ∵x∈[-,0],∴t∈[-1,0].[2分] (1)若a>1,函数f(x)=at在[-1,0]上为增函数, ∴at∈[,1],则b+a∈[b+,b+1],[4分] 依题意得解得[6分] (2)若0 ∴at∈[1,], 则b+a∈[b+1,b+],[8分] 依题意得解得[10分] 综上,所求a,b的值为或[12分] 温馨提醒 (1)指数函数的底数不确定时,单调性不明确,从而无法确定其最值,故应分a>1和0 (2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时,要熟练掌握指数函数的单调性,搞清复合函数的结构,利用换元法求解时要注意新元的取值范围. 方法与技巧 1.通过指数函数图象比较底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较.
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