二次函数动点问题解答方法技巧含详细答案外国语.docx

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二次函数动点问题解答方法技巧含详细答案外国语

外国语学校专用

函数解题思路方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数

中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的

点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就

是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式

和一元二次方程之间的内在联系：

动点问题题型方法归纳总结

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好

一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：

等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、抛物线上动点

5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线yax2bx3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和

点B（－3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三

角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的

最大值，并求此时E点的坐标．

注意：

第

（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为

顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M

为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平

分线与对称轴交点即为所求点P。

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方

法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

07

08

09

动点个数

两个

一个

两个

问题背景

特殊菱形两边上移动

特殊直角梯形三边

上移动

抛物线中特殊直角梯形底边上移动

考查难点

探究相似三角形

探究三角形面积函

数关系式

探究等腰三角形

①菱形性质

①求直线解析式

①求抛物线顶点坐标

②特殊角三角函数

②四边形面积的表

②探究平行四边形

考

③求直线、抛物线解析式

示

③探究动三角形面积是定

④相似三角形

③动三角形面积函

值

点

⑤不等式

数④矩形性质

④探究等腰三角形存在性

①菱形是含60°的特殊菱形；

①观察图形构造特

①直角梯形是特殊的（一底

△AOB是底角为30°的等腰三

征适当割补表示面

角是45°）

角形。

积

②点动带动线动

②一个动点速度是参数字母。

②动点按到拐点时

③线动中的特殊性（两个交

③探究相似三角形时，按对应角

间分段分类

点D、E是定点；动线段PF

特

不同分类讨论；先画图，再探究。

③画出矩形必备条

长度是定值，PF=OA）

④通过相似三角形过度，转化相

件的图形探究其存

④通过相似三角形过度，转

似比得出方程。

在性

化相似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式

⑤探究等腰三角形时，先画

点

求出a、t的值。

图，再探究（按边相等分类

讨论）

共同点：

①特殊四边形为背景；

②点动带线动得出动三角形；

③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；

④求直线、抛物线解析式；

⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

二次函数的动态问题（动点）

1.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是

A（4，0），B（

2，0），E（0，8）．

（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；

（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交

于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形

MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位

的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，

点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向

上运动，直到点

A与点

D重合为止．求出四边形

MDNA

的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形

MDNA能否形成矩形？

若能，求出此时

t的值；若不能，请说

明理由．

[解]

（1）点A（4，0），点B（2，0），点E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），

F（0，8）．

设抛物线C2的解析式是

yax2

bx

c（a

0），

16a

4b

c

0，

则4a

2b

c

0，

c

8．

a

1，

解得b

6，

c

8．

所以所求抛物线的解析式是

y

x2

6x8．

（2）由

（1）可计算得点

M（3，1），N（31），．

过点N作NH

AD，垂足为H．

当运动到时刻t时，AD

2OD

8

2t，NH

12t

．

根据中心对称的性质

OA

OD，OM

ON，所以四边形

MDNA是平行四边形．

所以S

2S△ADN．

所以，四边形MDNA的面积S

（8

2t）（1

2t）

4t2

14t

8．

因为运动至点

A与点D重合为止，据题意可知

0≤t

4

．

所以，所求关系式是

S

4t2

14t

8，t的取值范围是0≤t

4．

（3）S

4t

7

81，（0≤t

4）．

4

4

所以t

7

时，S有最大值

81．

4

4

提示：

也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形

MDNA能形成矩形．

由

（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是

AD，MN，所以当AD

MN时四边形

MDNA是矩形．

所以OD

ON．所以OD2

ON2

OH2

NH2

．

所以t2

4t2

20．解之得t1

62，t2

6

2（舍）．

所以在运动过程中四边形

MDNA可以形成矩形，此时

t62．

[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压

轴题，能力要求较高。

2.（06福建龙岩卷）如图，已知抛物线

y

3x2

bx

c与坐标轴交于

A，B，C三点，

4

点A的横坐标为

1，过点C（0，3）的直线y

3

3与x轴交于点Q，点P是线段BC上

x

4t

的一个动点，PH

OB于点H．若PB

5t，且0

t

1．

（1）确定b，c的值：

b_____，c

_____；

（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）：

B（___，），Q（___，），P（___，___）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？

若存在，求出所有t的值；

y

若不存在，说明理由．

[解]

（1）

9

C

b

4

P

c

3

（2）B（4，0）

AOQHBx

Q（4t，0）

P（44t，3t）

（3）存在t的值，有以下三种情况

①当PQPB时

QPH

OB，则GHHB

4

4t

4t

4t

1

t

3

②当PBQB时

得44t5t

4

t

9

③当PQQB时，如图

解法一：

过Q作QD

BP，又PQQB

则BD

BP

5t

22

又△BDQ∽△BOC

BDBQBOBC

5t

244t

45

C

P

D

OB

Q

t

32

57

解法二：

作Rt△OBC斜边中线OE

则OE

BC

5

BE，BE

，

2

2

此时△OEB∽△PQB

C

BE

OB

BQ

PB

P

E

5

O

24

44t5t

Q

B

t

32

57

解法三：

在Rt△PHQ中有QH2

PH2

PQ

2

C

P

4）2

（3t）2

4t）2

（8t

（4

57t2

32t

0

O

HQ

B

t32，t0（舍去）

57

又Q0t1

当t

1

或

4或32

时，△PQB为等腰三角形．

3

9

57

解法四：

数学往往有两个思考方向：

代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。

代数讨论：

计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析

Rt△PHQ

中用勾股定理计算

PQ长度，而

PB、BQ

长度都可以直

接直接用

t表示，进行分组讨论即可计算。

[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，

1、2

小题不难，第

3小题

是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检

验，在本题中若求出的

t值与题目中的0t

1矛盾，应舍去

3.如图1，已知直线y

1x与抛物线y

1x2

6交于A，B两点．

2

4

（1）求A，B两点的坐标；

（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这

根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，

这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？

如果存在，求出最大面积，并指出此时P点

的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

y

y

B

P

B

O

x

O

x

A

A

图1

图2

y

1

x2

6

x1

6

x2

4

[解]

（1）解：

依题意得

4

解之得

1

y1

3

y2

2

y

x

2

A（6，3），B（

4，2）

（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1）

由

（1）可知：

OA35OB25y

AB55

OM

1ABOB

5

B

C

2

2

ＥO

x

过B作BE⊥x轴，E为垂足

M

A

D

图1

第26题

由△BEO∽△OCM，得：

OC

OM，OC

5，

OB

OE

4

同理：

OD

5，

C

5，，

D

，5

2

4

0

0

2

设CD的解析式为y

kx

b（k

0）

5

b

k

2

0k

4

5

5

b

b

2

2

AB的垂直平分线的解析式为：

y

2x

5

．

（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点

2

P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交

点的直线

y

1

xm

上，并设该直线与

x轴，

y

轴交于

G，H

两点（如图

2

2

）．

1

yxm

2

y1x26

4

1

x2

1

xm60

4

2

Q抛物线与直线只有一个交点，

1

2

1（m6）

4

0，

2

4

m

25

23

4

P1，

4

在直线GH：

y

1x

25

中，

2

4

y

25

25

H

，，

G

H

，

0

0

2

4

P

GH

25

5

B

4

G

设O到GH的距离为d，

O

x

A

图2

1

g

1g

g

2

GHd

2

OGOH

1

25

5d

1

25

25

2

4

2

2

4

d55

2

QAB∥GH，

P到AB的距离等于O到GH的距离d．

另解：

过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h

与PC夹角固定），则S△PBA最大→问题转化为求PC最大值，设P（x,）,C

（x,

）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。

最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。

[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第

3小

题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。

4.如图①，正方形ABCD的顶点

A，B的坐标分别为

，，，，顶点，

在第一象

01084

C

D

限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点

Q从点E

4，0

出发，沿

x轴正方向以相同速度运动．当点

P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时

间为t秒．

（1）求正方形ABCD的边长．

（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间

t（秒）之间的函数

图象为抛物线的一部分（如图②所示）

，求P，Q两点的运动速度．

（3）求

（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积

S取最大值时点P

的坐标．

（4）若点P，Q保持

（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着

时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间

t的增大而减小．当点P

沿着这两边运动时，使∠OPQ

90o的点P有

个．

（抛物线

2

b

4ac

b

2

yax

bxca0的顶点坐标是

，

．

2a

4a

y

s

D

28

C

AP

20

B

Q

OE

x

O

10t

图①

图②

[解]

（1）作BFy轴于F．

QA010，，B8，4，

FB8，FA6．

AB10．

（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒．

又QAB1010，101．

P，Q两点的运动速度均为每秒

1个单位．

（3）方法一：

作PG

y轴于G，则PG∥BF．

GA

AP

GA

t

FA

，即

6

．

AB

10

GA

3t．

5

OG

10

3t．

5

QOQ

4

t，

S

1OQOG

1t410

3t．

2

2

5

即S

3

t2

19

t

20．

10

5

b

19

19

19

5

≤

≤10

，

Q

3

，且0

3

2a

2

3

10

当t

19时，S有最大值．

3

此时GP

4

76

，OG

10

3

31

t

15

t

，

5

5

5

76

31

．

（8分）

点P的坐标为

，

15

5

方法二：

当t

5时，OG

7，OQ

1

63

9，SOGgOQ

．

2

2

设所求函数关系式为

S

at2

bt

20．

Q抛物线过点

63

，

，，，

1028

5

2

100a10b2028，

25a

5b

20

63.

2