第三章12.docx
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第三章12
1.2 生活中的概率
学习目标 1.通过实例,进一步理解概率的意义(重点).2.会用概率的意义解释生活中的实例(重、难点).
预习教材P123-126完成下列问题:
知识点1 对概率的正确理解
1.随机事件的发生都有随机性.例如,尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5,但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次,可以有三种可能的结果:
“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上,一次反面朝上”.
2.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有规律性.认识了这种随机性中的规律性,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.例如,做连续抛掷两枚硬币的试验1000次,可以预测:
“两枚正面朝上”大约出现250次;“两枚反面朝上”大约出现250次;“正面朝上、反面朝上各一枚”大约出现500次.
3.概率值表示每次试验中随机事件发生的可能性的大小,它反映的是一种规律,而不是试验总次数中某事件一定发生的比例.
【预习评价】
(1)随机事件A的概率P(A)能反映事件A发生的确切情况吗?
提示 不能,只能反映事件A发生的可能性的大小.
(2)随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系?
提示 随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生.
知识点2 生活中的概率
游戏的公平性
(1)裁判员用抽签器决定谁先发球,不管哪一名运动员先猜,猜中并取得发球权的概率均为0.5,所以这个规则是公平的.
(2)在设计某种游戏规则时,一定要考虑“这种规则对每个人都是公平的”这一重要原则.
【预习评价】
甲乙两人做游戏,从装有两个白球和两个黑球的袋子中任取一个小球,如果是白球,甲胜;否则,乙胜.试问这个游戏规则对两个人来说公平吗?
提示 公平.因为甲和乙获胜的概率相等,都是.
题型一 概率含义的正确理解
【例1】 经统计,某篮球运动员的投篮命中率为90%,对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中,10次不中,你认为这种解释正确吗?
说说你的理由.
解 这种解释不正确.理由如下:
因为“投篮命中”是一个随机事件,90%是指“投篮命中”这个事件发生的概率.概率为90%的事件也可能不发生,所以这种解释不正确.
规律方法 1.概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.
2.由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
3.正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
【训练1】 某种疾病治愈的概率是30%,有10个人来就诊,如果前7个人没有治愈,那么后3个人一定能治愈吗?
如何理解治愈的概率是30%?
解 不一定.如果把治疗一个病人当作一次试验,治愈的概率是30%,是指随着试验次数的增加,大约有30%的病人能治愈,对于一次试验来说,其结果是随机的.因此,前7个病人没有治愈是有可能的,而对后3个病人而言,其结果仍是随机的,即有可能治愈,也有可能不能治愈.
题型二 概率的应用
【例2】 山东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅,质检人员对该厂所生产的2500套座椅进行抽检,共抽检了100套,发现有5套次品,估计该厂所生产的2500套座椅中大约有多少套次品?
解 设有n套次品,由概率的统计定义可知≈,解得n≈125.
所以该厂所生产的2500套座椅中大约有125套次品.
规律方法 1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小,概率是频率的近似值与稳定值,所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.
2.实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.
【训练2】 某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:
每2分钟随机抽取一名学生,登记佩带胸卡的学生的名字.结果在150名学生中有60名佩带胸卡.第二次检查,调查了初中部的所有学生,有500名学生佩带胸卡.据此估计该中学初中部共有多少名学生.
解 设初中部有n名学生,依题意得=,解得n=1250.∴该中学初中部共有学生大约1250名.
【例3】 如图所示,有两个可以自由转动的均匀转盘A,B.转盘A被平均分成3等份,分别标上1,2,3三个数字;转盘B被平均分成4等份,分别标上3,4,5,6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则:
自由转动转盘A与B,转盘停止后,指针各指向一个数字,将指针所指的两个数字相加,如果和是6,那么甲获胜,否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗?
如果公平,请说明理由;如果不公平,怎样修改规则才能使游戏公平?
解 列表如下:
B
A
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
由表可知,等可能的结果有12种,和为6的结果只有3种.因为P(和为6)==,即甲、乙获胜的概率不相等,所以这种游戏规则不公平.
如果将规则改为“和是6或7,则甲胜,否则乙胜”,那么游戏规则就是公平的.
【迁移1】 (变条件,变问法)在本例中,若把游戏规则改为:
自由转动转盘A与B,转盘停止后,两个指针指向的两个数字相乘,如果是偶数,那么甲获胜,否则乙获胜.游戏规则公平吗?
为什么?
解 列表如下:
B
A
3
4
5
6
1
3
4
5
6
2
6
8
10
12
3
9
12
15
18
由表可知,等可能的结果有12个,积为偶数的结果有8个,积为奇数的结果有4个,所以甲获胜的概率是=,乙获胜的概率是=,二者获胜的概率不相等,所以不公平.
【迁移2】 (变条件,变问法)有四张卡片,分别写有2,3,7,8.规定任意不放回地抽取两张,积是2的倍数则甲获胜,积是3的倍数则乙获胜,如果积是6的倍数则重来.这个游戏规则公平吗?
解 任意抽取2张,可能的结果有6,14,16,21,24,56,且各结果出现的机会均等.所以在一局中甲获胜的概率是=,乙获胜的概率是,不公平.
【迁移3】 (变条件,变问法)街头有人摆一种游戏,方法是投掷两枚骰子,如果两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况,红方胜,而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时,白方胜,这种游戏对双方公平吗?
若不公平,请说明哪方占便宜?
解 两枚骰子点数之和如下表:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种,概率是=,
两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共=.所以这种游戏不公平,白方比较占便宜.
规律方法 游戏规则公平的判断标准:
(1)在各类游戏中,如果每人获胜的概率相等,那么游戏就是公平的,这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等.
(2)例如:
体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等,这样才是公平的;每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的,这样才是公平的;抽签决定某项事务时,任何一支签被抽到的概率也是相等的,这样才是公平的等等.
课堂达标
1.下列说法正确的是( )
A.某事件发生的概率为P(A)=1.1
B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1
C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件
D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
解析 ∵事件发生的概率0≤P(A)≤1,∴A错;小概率事件是指这个事件发生的可能性很小,但不是不发生,大概率事件发生的可能性较大,但并不是一定发生,∴C错;某事件发生的概率为一个常数,不随试验的次数变化而变化,∴D错;B正确.
答案 B
2.设某厂产品的次品率为2%,估算该厂8000件产品中合格品的件数可能为( )
A.160B.7840
C.7998D.7800
解析 次品率为2%,故次品约8000×2%=160(件),故合格品的件数可能为7840.
答案 B
3.给出下列四个命题:
①设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品;
②做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是;
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率;
④抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是.
其中正确命题有________(填序号).
解析 ①错,次品率是大量产品的估计值,并不是针对200件产品来说的.②③混淆了频率与概率的区别.④正确.
答案 ④
4.公元1053年,大元帅狄青奉旨率兵征讨侬智高,出征前狄青拿出100枚“宋元天宝”铜币,向众将士许愿:
“如果钱币扔在地上,有字的一面会全部向上,那么这次出兵一定可以打败敌人!
”在千军万马的注目之下,狄青用力将铜币向空中抛去,奇迹发生了:
100枚铜币,枚枚有字的一面向上.顿时,全军欢呼雀跃,将士个个认为是神灵保佑,战争必胜无疑.事实上铜币有可能是________(填序号).
①铜币两面均有字;
②铜币质量不均匀;
③神灵保佑;
④铜币质量均匀.
答案 ①②
5.一枚硬币连掷3次,试列举出试验的所有结果.
解 Ω表示“连掷3次硬币”,则Ω={(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,正,正),(反,反,反)}.
课堂小结
1.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个度量,即使是大概率事件,也不能肯定事件一定会发生,只是认为事件发生的可能性大.
2.概率与频率的关系:
对于一个事件而言,概率是一个常数,频率则随试验次数的变化而变化,次数越多频率越接近其概率.
基础过关
1.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n),则随着n的逐渐增加,有( )
A.f(n)与某个常数相等
B.f(n)与某个常数的差逐渐减小
C.f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D.f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定
解析 随着n的增大,频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定,这也是频率与概率的关系.
答案 D
2.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列哪个事件的概率最大( )
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上
解析 抛掷两枚硬币,其结果有“正正”,“正反”,“反正”,“反反”四种情况.至少有一枚硬币正面向上包括三种情况,其概率最大.
答案 A
3.在下列各事件中,发生的可能性最大的为( )
A.任意买1张电影票,座位号是奇数
B.掷1枚骰子,点数小于等于2
C.有10000张彩票,其中100张是获奖彩票,从中随机买1张是获奖彩票
D.一袋中装有8个红球,2个白球,从中随机摸出1个球是红球
解析 概率分别是PA=,PB=,PC=,PD=,故选D.
答案 D
4.某班某次测验中,全班53人,有83%的人及格,则“从该班中任意抽出10人,仅有1人及格”这件事________发生.(选填“可能”或“不可能”)
解析 全班及格人数为53×83%≈44,所以不及格人数
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