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材料力学总结
第一章绪论及基本概念
对构件在荷载作用下正常工作的要求
I.具有足够的强度一载作用下不断裂,荷载去除后不产生过大的永久变形(塑性变形)
II.具有足够的刚度一载作用下的弹性变形不超过工程允许围。
III.满足稳定性要求——对于理想中心压杆是指荷载作用下杆件能保持原有形态的平衡。
§1-3可变形固体的性质及其基本假设
材料在荷载作用下都会产生变形——尺寸改变和形状改变——可变形固体。
对可变形固体的基本假设:
I•连续性假设——无空隙、密实连续。
据此:
(1)从受力构件任意取出的体积单元均不含空隙;
(2)变形必须满足几何相容条件,变形后的固体既无“空隙”,亦不产生“挤入■■现象。
II.均匀性假设一一各点处材料的力学性能相同。
对常用工程材料,尚有各向同性假设。
III.小变形假设——构件在承受荷载作用时,其变形与构件的原始尺寸相比甚小,甚至可以略去不计。
§1-5杆件变形的基本形式
I.轴向拉伸或轴向压缩II.剪切III.扭转IV.弯曲
F1=F2时(从而亦有FA二FB)车轴的AB部分不受剪切——纯弯曲。
而车轴的外伸部分既受弯又受剪——横力弯曲
工程中常用构件在荷载作用下,大多为几种基本变形形式的组合——组合变形。
(压缩+横力弯曲)(扭转+水平面内横力弯(压缩+纯弯曲)
'曲+竖直面内横力弯曲)
第二章轴向拉伸和压缩
50
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。
FNjn3X=FN2=50駅
思考:
为何在Fl,F2,F3作用看的B,C,D截面处轴力图发生突变?
能否认为C截面上的轴力为55kN?
斜截面上的正应力和切应力
拉(压)杆的变形
拉(压)杆的纵向变形基本情况下(等直杆,两端受轴向力):
横向变形——与杆轴垂直方向的变形
胡克定律
工程中常用材料制成的拉(压)杆,当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时’若两端受
A/oc—△/=殳
力A引进比例常数E,且注意到F二FN,有Eh
胡克定律(Hooke'slaw),适用于拉(压)杆。
E称为弹性模量,由实验测定,其量纲为ML-1T-2,单位为Pa;EA—杆的拉伸(压缩)刚度。
横向变形因数(泊松比)
单轴应力状态下,当应力不超过材料的比例极限时,某一方向的线应变e与和该方向垂直
的方向(横向)的线应变0的绝对值之比为一常数,此比值称为横向变形因数或泊松比
亦£=・V£
即低碳钢(Q235):
n二0.24〜0.28。
§2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能
|.材料的拉伸和压缩试验
圆截面试样:
丨二10d或丨二5d(工作段长度称为标距)。
矩形截面试样:
/=11・3顶或/=5.65#
低碳钢s-e曲线上的特征点:
比例极限sp
弹性极限se
屈服极限ss(屈服的低限)
强度极限sb(拉伸强度)
Q235钢的主要强度指标:
ss=240MPa,
sb=390MPa
低碳钢的塑性指标:
伸长率3===><100%
Q235钢:
5=20%~30%(通常d>5%的材料称为塑性材料)
肖=土厶100%
断面收缩率:
AAl——断口处最小横截面面积。
Q235钢:
y-60%
§2-7强度条件•安全因数•许用应力
I.拉(压)杆的强度条件
强度条件——保证拉(压)杆在使用寿命不发生强度破坏的条件:
其中:
smaX——拉(压)杆的最大工作应力,[s]—材料拉伸(压缩)时的许用应力。
IV.强度计算的三种类型
(1)强度校核已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所受荷载,检验能否满足强度条件
F
(T<[0-1“<7max=—7—-1^]
max一2」,对于等截面直杆即为4
(2)截面选择已知拉(压)杆材料及所受荷载,按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。
(3)计算许可荷载已知拉(压)杆材料和横截面尺寸,按强度条件确定杆所能容许的最大轴力,进而计算许可荷载。
FN,max=A[s],由FN.max计算相应的荷载。
第三章扭转
§3-2薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒——通常指必肯的圆筒
当其两端面上作用有外力偶矩时,任一横截面上的力偶矩——扭矩T=M^
={Mc}N.mx2jix^^xlO-3
在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之
后,即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩:
3.作扭矩图
“鬻严9."器
637
5=4
p/p横截面周边上各点处(「二「)的最大切应力为
T
1・°
式中Wp称为扭转截面系数,其单位为m3。
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp
j.
实心圆截面:
/“=养
d/216
IV=
PD/216D16
._nD4(4)
空心圆截面:
p=^2[~°J
其中a=-
D
lll・斜截面上的应力
现分析单元体垂直于前、
后两平面的任一斜截面ef(如图)上的应力。
GadA+(rdAcosa)suia+(r'dAsina)cosa=0
工巧=0,
radA-(rdAcosa)cosa+(rrdAsuia)sincr=0
利用t二t‘,经整理得ba=Ysm2zra=rcos2a
由此可知:
(1)单元体的四个侧面Q二0。
和a二90。
)上切应力的绝对值最大;
(2)
a二-45。
和a二+45。
截面上切应力为零,而正应力的绝对值最大;
此处[t]为材料的许用切应力。
对于等直圆轴亦即
铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂,但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系,故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。
等直圆杆扭转时的变形•刚度条件
I•扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)j来度量。
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为dxSp可知,杆的相距
<[0]式中的许可单位长度扭转角『]的常用单位是(。
)/0此时,等直圆杆在扭转时的
刚度条件表示为:
梁的左段任一横截面m-m上的力,由m-m左边分离体(图b)的平衡条件可知:
—吟
q
I川I川
-D
为使无论取横截面左边或右边为分离体,求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同,剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定,如图。
d2M(x)
由以上两个微分关系式又可得d
应用这些关系时需要注意,向上的分布荷载集度为正值,反之则为负值。
常见荷载下FS,M图的一些特征
q=c〉O(向上)
g=0(向下)
q=0
F.=cx+b(c>0)
Fz=cx+/?
(c<0)
1,
1
M=cx+b
M=-cx"+bx+d(c>0)
q
q
HiHHH
r
(
贰或p
b或
\或/
集中力作用处集中力偶作用处
若某截面的剪力FS(x)=O,根据讐"3",该截面的弯矩为极值°
梁横截面上的正应力•梁的正应力强度条件
纯弯曲一梁或梁上的某段各横截面上无剪力而只有弯矩’横截面上只有与弯矩对应的正应力。
横力弯曲一梁的横截面上既有弯矩又有剪力;相应地,横截面既有正应力又有切应力。
1_M
曲率为~p~~eT:
上式中的Elz称为梁的弯曲刚度「显然,由于纯弯曲时,梁的横截面上的弯矩M不随截面位置变化,故知对于等截面的直梁包含在中性层的那根轴线将弯成圆弧。
y=My
将上式代入得出的式子"E?
即得弯曲正应力计算公式:
中性轴z为横截面的对称轴时:
横截面上最大拉、压应力的值srnax为式中,Wz为截面的几何性质,称为弯曲截面系数,其单位为m3。
中性轴z不是横截面的对称轴时(参见图c),其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为
My®
简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数
(1)
矩形截面
(2)圆截面
在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得:
而空心圆截面的弯曲截面系数为
1=1w=w
根据对称性可知:
v:
思考:
空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩;但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差,为什么?
II.纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲,此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲n此外,横向力还使各纵向线之间发生挤压。
因此,对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。
但弹性力学的分析结果表明,受满布荷载的矩形截面简支梁,当其跨长与截面高度之比l/h大于5时,梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%,故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况,
M(x)~w~
Ill•梁的正应力强度条件
等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处,而且在这些边缘处,即使是横力弯曲情况,由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节),至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。
因此可以认为梁的危险截面上最大正应
力所在各点系处于单轴应力状态。
于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件:
bmax'M式中,⑸为材料的许用弯曲正应力。
对于中性轴为横截面对称轴的梁,上述强度条件可写作哄
由拉、压许用应力[St]和[SC]不相等的铸铁等脆性材料制成的梁,为充分发挥材料的强度,其横截面上的中性轴往往不是对称轴,以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc.max分别达到(或接近)材料的许用拉应力[st]和许用压应力[sc]。
§4-5梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
I.梁横截面上的切应力
(1)矩形截面梁
从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段,如图所示。
根据切应力互等定理可知,梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力t必与L互等,FZS\
从而亦有
矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式
FsS:
T='
O式中,FS为横截面上的剪力;lz为整个横截面对于中性轴的惯性矩;b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸);Sz*为横截面上求切应力t的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩,
上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲
时横截
1
r_耳%呛2
Lb2l4
■\
-y~
(h2
t沿截面高度系按二次抛物线规律变化;同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y二0):
_3Fs_3FS
SI:
~Sx(bh3/12)~2Xbh~7A
(3)薄壁环形截面梁
薄壁环形截面梁在竖直平面弯曲时,其横截面上切应力的特征如图a所示:
1.由于d< 2.由于梁的、外壁上无切应力,故根据切应力互等定理知,横截面上切应力的方向与圆周相切;薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力trnax在中性轴z上,半个环形截面的面积A*=prOd,其形心离中性轴的距离(图 b)为兀,故求tmax时有 整个环形截面对于中性轴Z的惯性矩lz可利用整个截面对于圆心O的极惯性矩得到, 如下厶 p2dA=2jtJrQxr^=2ttJf 及/p=[p: da=£(r+刃da=Jyda+J,z=da=/.+Zv=2/. /: =|/p=7r^zo 得出: 2,从而有 r一FsS: —S讥—F. 厶(25)kSIqx26rQSnA 圆截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z处,其计算公式为 力状态建立的正应力强度条件久『0] 惯性积(productofuiertia) 在已知构成组合截面的每一图形对于通过其自身形心且平行于组合截面某个轴(例如X轴)的惯性矩时,组合截面的惯性矩可利用平行移轴公式求得。 组合截面对于某对相互垂直的轴(例如x,y轴)的惯性积也可类似地求得。 以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。 需要注意的是式中的ab为坐标,有 正负,应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。 II.组合截面的惯性矩及惯性积 若组合截面由几个部分组成,则组合截面对于X,y两轴的惯性矩和惯性积分别为 第五章梁弯曲时的位移 在图示坐标系中,挠度w向下为正,向上为负;顺时针转向的转角为正: 逆时针转向的转角为负。 II・挠曲线近似微分方程的积分及边界条件 %(挠度) 左段梁(03") 右段梁@L) 挠曲线近似微分方程 EIw;=-M\x)=-F-x 1 EM;=—M7(x)=—+—«) 积分得 zbx2F(x-a)2 .bx2 EI\x\=—F—xkC /? EIw\--Fx+'丿+G ・I22・ <乙 >3 ___bx3F(x-a\ EIw^=-F-x一++C“x rbX ・I66- £/w=_F-X—+C.x+a 1/611 +d2 写为EIwn=-M(x)后进行积分,再利用边界条件确定积分常数。 两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出,并分别进行积分: 按叠加原理计算梁的挠度和转角 当梁的变形微小,且梁的材料在线弹性围工作时,梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关 系。 在此情况下,当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时,梁的某个截面处的挠度和转角就 等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。 这就是计算梁的位移时的叠加原理
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