数学建模 自习室灯光优化管理.docx
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数学建模自习室灯光优化管理
摘要本文通过建立合适的模型,得以解决以下的三个问题。
使得既能节省能源的目的,又能使得学生满意。
问题一在满足同学的需求下,尽量达到节约用电的目的。
以用电量为目标函数,以满足同学的需求为目标函数的约束条件。
通过Lingo软件计算求得目标函数的最小值,即用电量最小。
最后求得在开放36个教室的情况下,既能满足学生的要求,又能最大的节约用电量。
问题二由于学生的满意程度尽与宿舍区到自习区的距离有关系,通过距离建立学生的满意度函数,
问题三
一、问题重述
近年来,世界各国均有提出节约能源的倡导。
而在我国的大学校园,学生上晚自习时存在比较严重的浪费用电的现象。
一种情况是去某个教室上自习的人比较少,但是教室内的灯却全部打开,第二种情况是晚上上自习的总人数比较少,但是开放的教室比较多。
这要求我们提供一种最有效的方法,最大限度减少用电浪费的情况。
以下是针对我国某大学的实际情况提出的问题,我们将运用数学建模的方法,在理论给这个大学提出一个行之有效的节能方法。
现在有以下问题:
1.假如学校有8000名同学,每个同学是否上自习相互独立,上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%,开放的教室满座率不低于4/5,同时尽量不超过90%。
问该安排哪些教室开放,能达到节约用电的目的.
2.假设这8000名同学分别住在10个宿舍区,现有的45个教室分为9个自习区,按顺序5个教室为1个区,即1,2,3,4,5为第1区,…,41,42,43,44,45为第9区。
这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。
学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系,距离近则满意程度高,距离远则满意程度降低。
假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。
请给出合理的满意程度的度量,并重新考虑如何安排教室,既达到节约用电目的,又能提高学生的满意程度。
另外尽量安排开放同区的教室。
3.假设临近期末,上自习的人数突然增多,每个同学上自习的可能性增大为0.85,要使需要上自习的同学满足程度不低于99%,开放的教室满座率不低于4/5,同时尽量不超过95%。
这时可能出现教室不能满足需要,需要临时搭建几个教室。
假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。
搭建的教室紧靠在某区,每个区只能搭建一个教室,搭建的教室与该区某教室的规格相同(所有参数相同),学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。
问至少要搭建几个教室,并搭建在什么位置,既达到节约用电目的,又能提高学生的满意程度.
二、模型假设
1、同学上晚自习的可能性不受外界环境影响。
2、全校8000位同学平均分配到5个宿舍区,即每个宿舍区有1600人。
3、自习区在7点到10点准时开关灯。
4、在晚自习时间,学校没有任何课程。
5、将上晚自习的同学作为理想化个体,不受情绪等因素影响。
只选择距离短,满意度高的教室。
6、不考虑停电,教室灯管破损的情况。
7、8000位同学全勤在校,不存在请假状况。
8、如果那个教室被开放,则假设此教室的灯管全部打开。
三、符号假设及说明
N
表示第i个教室(i=1,2,…,45)
L
表示第i个教室的灯管数量(i=1,2,…,45)
S
表示去第i个教室上自习的学生人数。
P
表示第i个教室的灯管的功率(i=1,2,…,45)。
M
表示第i个教室的座位数。
Q表示总用电量。
R
表示第i个宿舍区到第j个自习区的满意度
(i=1,2,…,5)(j=1,2,…,9)
S
表示第i个宿舍区到第j个自习室的学生数
K
=
T
表示第i个自习区的总座位数。
Z
表示在第i自习区自习的学生人数。
四、问题分析
问题一由于学校的总人数为8000人,上自习的可能性为0.7,则上自习的总人数为8000
0.7=5600,而需要上晚自习的同学满足程度不低于95%,则需要的座位为8000
=5320,则可得:
而在要求被开放的教室的满座率不能低于4/5,同时不超过90%的情况下,有:
在满足以上的前提下,建立以下的目标函数和约束条件:
minQ=
s.t
利用Lingo软件,即可求得最佳答案。
X
(1)0.0000001680.000
X
(2)0.0000001680.000
X(3)1.0000002400.000
X(4)1.0000002400.000
X(5)1.0000001620.000
X(6)1.0000001620.000
X(7)1.0000001728.000
X(8)1.0000001620.000
X(9)1.0000001440.000
X(10)1.0000001620.000
X(11)1.0000001080.000
X(12)1.0000003375.000
X(13)1.0000002304.000
X(14)1.0000002500.000
X(15)0.0000001680.000
X(16)0.0000001680.000
X(17)1.0000002400.000
X(18)1.0000002400.000
X(19)1.0000001620.000
X(20)1.0000001620.000
X(21)0.0000001728.000
X(22)1.0000001620.000
X(23)1.0000001440.000
X(24)1.0000001620.000
X(25)1.0000001080.000
X(26)1.0000003375.000
X(27)1.0000002304.000
X(28)1.0000002500.000
X(29)1.0000002304.000
X(30)1.0000002500.000
X(31)1.0000001440.000
X(32)1.0000001620.000
X(33)1.0000001080.000
X(34)1.0000003375.000
X(35)1.0000002304.000
X(36)1.0000002500.000
X(37)1.0000002304.000
X(38)1.0000002304.000
X(39)1.0000002500.000
X(40)1.0000002304.000
X(41)0.0000002500.000
X(42)0.0000002304.000
X(43)1.0000002304.000
X(44)0.0000001250.000
X(45)0.0000002160.000
问题二对于问题二,我们假设在宿舍区到自习区最近的距离(即305m)时,学生的满意度为1.而随着距离的增加学生的满意程度也随之减少。
在只有距离对学生的满意度有影响时,我们可以用反比例函数来近似的表达学生满意度的变化情况。
设满意度函数R
=k
(k为比例系数,令k=1)
即R
=
学生的满意程度是由每个开放教室的学生的满意度组成的。
其目标函数为:
min
Z
s.t0.8T
≤Z
≤0.9T
(i=1,2,…,9)
其中T
=666T
=590T
=781T
=720T
=580
T
=1051T
=786T
=1000T
=670
利用Lingo软件求得满意度的最佳解。
X(1,1)0.0000000.3180000
X(1,2)0.0000000.3490000
X(1,3)606.00000.000000
X(1,4)0.0000000.9800000E-01
X(1,5)0.0000000.1280000
X(1,6)458.00000.000000
X(1,7)0.0000000.5000000E-02
X(1,8)0.0000000.2300000E-01
X(1,9)0.0000000.3930000
X(2,1)536.00000.000000
X(2,2)0.0000000.2300000E-01
X(2,3)0.0000000.2880000
X(2,4)577.00000.000000
X(2,5)0.0000000.2050000
X(2,6)0.0000000.1770000
X(2,7)0.0000000.1520000
X(2,8)0.0000000.7300000E-01
X(2,9)0.0000000.6400000E-01
X(3,1)0.0000000.1210000
X(3,2)7.0000000.000000
X(3,3)0.0000000.4320000
X(3,4)0.0000000.7200000E-01
X(3,5)464.00000.000000
X(3,6)0.0000000.6500000E-01
X(3,7)629.00000.000000
X(3,8)0.0000000.7900000E-01
X(3,9)0.0000000.5300000E-01
X(4,1)0.0000000.5000000
X(4,2)0.0000000.1300000E-01
X(4,3)0.0000000.5890000
X(4,4)0.0000000.5000000E-01
X(4,5)0.0000000.2230000
X(4,6)383.00000.000000
X(4,7)0.0000000.3650000
X(4,8)145.00000.000000
X(4,9)536.00000.000000
X(5,1)0.0000000.5300000E-01
X(5,2)465.00000.000000
X(5,3)0.0000000.3340000
X(5,4)0.0000000.6200000E-01
X(5,5)0.0000000.3460000
X(5,6)0.0000000.1340000
X(5,7)0.0000000.1370000
X(5,8)655.00000.000000
X(5,9)0.0000000.1290000
再根据满足各自习区的人数分析,各自习区开放哪几个教室最省电.下面是自习区一的目标函数为:
min=
(4)
约束条件为:
X
(1)0.0000001680.000
X
(2)1.0000001680.000
X(3)1.0000002400.000
X(4)1.0000002400.000
X(5)1.0000001620.000
X(6)0.0000000.000000
X(7)0.0000000.000000
X(8)0.0000000.000000
X(9)0.0000000.000000
X(10)0.0000000.000000
X(11)0.0000000.000000
X(12)0.0000000.000000
X(13)0.0000000.000000
X(14)0.0000000.000000
X(15)0.0000000.000000
X(16)0.0000000.000000
X(17)0.0000000.000000
X(18)0.0000000.000000
X(19)0.0000000.000000
X(20)0.0000000.000000
X(21)0.0000000.000000
X(22)0.0000000.000000
X(23)0.0000000.000000
X(24)0.0000000.000000
X(25)0.0000000.000000
X(26)0.0000000.000000
X(27)0.0000000.000000
X(28)0.0000000.000000
X(29)0.0000000.000000
X(30)0.0000000.000000
X(31)0.0000000.000000
X(32)0.0000000.000000
X(33)0.0000000.000000
X(34)0.0000000.000000
X(35)0.0000000.000000
X(36)0.0000000.000000
X(37)0.0000000.000000
X(38)0.0000000.000000
X(39)0.0000000.000000
X(40)0.0000000.000000
X(41)0.0000000.000000
X(42)0.0000000.000000
X(43)0.0000000.000000
X(44)0.0000000.000000
X(45)0.0000000.000000
由于第九个自习区的满意度普遍较低,可舍去。
则仅剩一到八,八个自习区。
第二到第八自习区的目标函数和约束条件相似。
依据以下表格:
第n区
第1区
第2区
第3区
第4区
第5区
第6区
第7区
第8区
第9区
总座
位数
666
590
781
720
580
1051
786
1000
670
80%座位数
533
472
625
576
464
841
629
800
536
90%座位数
599
531
702
648
522
945
707
900
603
在满足学生满意度的情况下,对45个教室进行讨论。
目标函数:
Min=
(5)
约束条件为:
利用Lingo软件,可以求得最佳答案。
满意度表
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
A1
0.859
1.000
0.464
0.803
0.728
0.570
0.737
0.625
0.936
A2
0.439
0.572
0.650
0.603
0.703
0.645
0.782
0.573
0.505
A3
0.560
0.549
0.794
0.675
0.498
0.533
0.630
0.579
0.494
A4
0.941
0.564
0.953
0.655
0.723
0.470
0.997
0.502
0.443
A5
0.438
0.495
0.642
0.611
0.790
0.548
0.713
0.446
0.516
教室(l)
座位数(n)
灯管数(m)
灯管的功率/每只(p)
总功率(p)
1
64
42
40w
1680
2
88
42
40w
1680
3
193
48
50w
2400
4
193
50
48w
2400
5
128
36
45w
1620
6
120
36
45w
1620
7
120
36
48w
1728
8
120
36
45w
1620
9
110
36
40w
1440
10
120
36
45w
1620
11
64
27
40w
1080
12
247
75
45w
3375
13
190
48
48w
2304
14
210
50
50w
2500
15
70
42
40w
1680
16
85
42
40w
1680
17
192
48
50w
2400
18
195
50
48w
2400
19
128
36
45w
1620
20
120
36
45w
1620
21
120
36
48w
1728
22
120
36
45w
1620
23
110
36
40w
1440
24
160
36
45w
1620
25
70
27
40w
1080
26
256
75
45w
3375
27
190
48
48w
2304
28
210
50
50w
2500
29
190
48
48w
2304
30
205
50
50w
2500
31
110
36
40w
1440
32
160
36
45w
1620
33
70
27
40w
1080
34
256
75
45w
3375
35
190
48
48w
2304
36
210
50
50w
2500
37
190
48
48w
2304
38
190
48
48w
2304
39
210
50
50w
2500
40
200
48
48w
2304
41
150
50
50w
2500
42
150
48
48w
2304
43
180
48
48w
2304
44
70
25
50w
1250
45
120
45
48w
2160
区域
各区总座位数(个)
各区总功率(w)
各区单位座位供电量(w)
第1区
666
9780
14.685
第2区
590
8028
13.607
第3区
781
10989
14.070
第4区
630
9720
15.429
第5区
580
7540
13.000
第6区
1051
12983
12.353
第7区
786
9829
12.505
第8区
1000
11912
11.912
第9区
670
10518
15.698
综合满意度=
区域
各区单位用电量
对各区的满意度
综合满意度
第1区
14.605
0.949
0.0650
第2区
13.607
1.000
0.0735
第3区
14.070
0.953
0.0677
第4区
15.429
0.803
0.0520
第5区
13.000
0.790
0.0607
第6区
12.353
0.645
0.0522
第7区
12.505
0.997
0.0797
第8区
11.912
0.625
0.0525
第9区
15.698
0.936
0.0596
从综合满意度可以得出需要选第2区和第7区中的教室,再根据第2区和第7区中教室的单位座位用电量可算得第6间和第35间教室最适合.
五、模型的建立与求解
六、结果分析
七、模型的优缺点
优点:
通过建立简单的模型,利用lingo软件求解,综合考虑了教室满座率和用电量最少,实用性强且易于理解。
利用0-1规划模型具有科学依据。
缺点:
问题二中假设的满意度函数,仅大概的表达了满意度的变化趋势趋势,即仅近似的表达学生的满意度。
问题三应用简单的综合满意度分析忽略了实际中对满意度影响的其他因素。
八、参考文献
1、肖华勇实用数学建模与软件应用西北工业大学出版社2008
2、齐欢数学模型方法华中理工出版社1996
3、白其岭数学建模案例分析海洋出版社2000
4、FrankRGiordanoMauriceDWeir叶其孝姜启源等译
数学建模机械工业出版社2005
5袁新生Lingot和Excel在数学建模中的应用科学出版社2007
第一问程序:
目标函数
(1)的程序:
model:
sets:
day/1..45/:
a,b,x;
endsets
data:
b=5779173173115108108108991085722217118963761721751151081081089914463230171189171184991446323017118917117118918013513516263108;
a=168016802400240016201620172816201440162010803375230425001680168024002400162016201728162014401620108033752304250023042500144016201080337523042500230423042500230425002304230412502160;
enddata
min=@sum(day(i):
a*x);
@sum(day(i):
b*x)>=5320;
@sum(day(i):
b*x)<=5600;
@sum(day(i):
x)<=45;
@for(day(i):
@bin(x));
end
第二问
程序1
sets:
hang/1..5/:
;
lie/1..9/:
b,c;
juzhen(hang,lie):
x,a;
endsets
min=@sum(juzhen:
x*a);
@for(hang(i):
@sum(lie(j):
x(i,j))>=1064);
@for(hang(i):
@sum(lie(j):
x(i,j))<=1120);
@for(lie(j):
@sum(hang(i):
x(i,j))<=b(j));
@for(lie(j):
@sum(hang(i):
x(i,j))>=c(j));
data:
a=0.8591.0000.4640.8030.7280.5700.7370.6250.936
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