人教B数学必修4第11章112平面的基本事实与推论.docx
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人教B数学必修4第11章112平面的基本事实与推论
11.2平面的基本事实与推论
学习目标
核心素养
1.掌握平面的画法及表示方法.(一般)
2.掌握平面的基本事实及推论.(重点)
3.能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实,并能解决空间线面的位置关系问题.(难点)
1.通过平面画法的学习,培养直观想象的数学核心素养.
2.借助平面基本事实及推论,培养逻辑推理的数学核心素养.
1.平面的基本事实
公理
内容
图形
符号
作用
基本
事实
1
经过不在一条直线上的3个点,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线?
存在唯一的平面α使A,B,C∈α
①确定平面的依据;②判定点、线共面
基本
事实
2
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
A∈α,B∈α?
直线
ABα
判定直线是否
在平面内
基本
事实
3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α,有P∈β?
α∩β=l,且P∈l
①判定两个平面相交的依据;②判定点在直线上
2.平面基本事实的推论
推论1经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面(图①).
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面(图②).
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面(图③).
1.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()
A.平面MNB.平面NQ
C.平面αD.平面MNPQ
A[MN是平行四边形MNPQ的一条边,不是对角线,所以不能记作平面
MN.]
2.能确定一个平面的条件是()
A.空间三个点B.一个点和一条直线
C.无数个点D.两条相交直线
D[不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确.]
3.如图,填入相应的符号:
A平面ABC,A平面BCD,
BD平面ABC,平面ABC∩平面ACD=.
[答案]∈AC
线共点问题
【例1】如图,已知平面α,β,且α∩β=l.在梯形ABCD中,AD∥BC,且ABα,CDβ.求证:
AB,CD,l共点(相交于一点).
腰.
[证明]因为在梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的两所以AB,CD必定相交于一点.
设AB∩CD=M.
因为ABα,CDβ,所以M∈α,M∈β.
所以M∈α∩β.
又因为α∩β=l,所以M∈l.
即AB,CD,l共点(相交于一点).
证明线共点问题的方法
1.方法1:
可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线,然
后再证两条直线的交点在此直线上.
2.方法2:
先将其中一条直线看作某两个平面的交线,证明该交线与另两
条直线分别交于两点,再证点重合,从而得三线共点.
1.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,
H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,求证:
(1)E,F,H,G四点共面.
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
[证明]
(1)因为BG∶GC=DH∶HC=1∶2,所以GH∥BD.
因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,所以EF∥GH.
所以E,F,H,G四点共面.
(2)因为G,H不是BC,CD的中点,
所以EF∥GH,且EF≠GH,
所以EG与FH必相交,设交点为M,
因为EG平面ABC,HF平面ACD,所以M∈平面ABC,且M∈平面ACD,因为平面ABC∩平面ACD=AC,
所以M∈AC,
所以EG与HF的交点在直线AC上.
点、线共面问题
【例2】已知四条直线两两相交,且不共点,求证:
这四条直线在同一平面内.
[思路探究]四条直线两两相交且不共点,可能有两种情况:
一是有三条直线共点;二是任意三条直线都不共点,故要分两种情况.
[解]已知:
a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点,求证:
a,b,c,d
四线共面.
证明:
(1)若a,b,c三线共点于O,如图所示,∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点,
∴A、B、C三点在平面α内.
由基本事实1知a、b、c都在平面α内,故a、b、c、d共面.
(2)若a、b、c、d无三线共点,如图所示,∵a∩b=A,
∴经过a、b有且仅有一个平面α,∴B、C∈α.由基本事实1知cα.
同理,dα,从而有a、b、c、d共面.
综上所述,四条直线两两相交,且不共点,这四条直线在同一平面内.
证明点、线共面问题的常用方法
1.先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用
纳入法
α,其余点、线确定另一个平面β,
反证法”.
2.先由其中一部分点、线确定一个平面再证平面α与β重合,即用“同一法”.
3.假设不共面,结合题设推出矛盾,用
2.一条直线与三条平行直线都相交,求证:
这四条直线共面.[解]已知:
a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:
直线a,b,c,l共面.证明:
法一:
∵a∥b,∴a,b确定一个平面α,∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α,故lα.又∵a∥c,∴a,c确定一个平面β.
同理可证lβ,∴α∩β=a且α∩β=l.
∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面,故α与β重合,即直线a,b,c,l共面.
法二:
由法一得a、b、l共面α,也就是说b在a、l确定的平面α内.同理可证c在a、l确定的平面α内.
∵过a和l只能确定一个平面,∴a,b,c,l共面.
点共线问题
[探究问题]
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.能否判断点E在平面A1BCD1内?
∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.
∵A1C平面A1BCD1,
∴E∈平面A1BCD1.
2.上述问题中,你能证明B,E,D1三点共线吗?
[提示]由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1,又E∈BD1,根据基本事实3可知B,E,D1三点共线.
【例3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:
D,A,Q三点共线.
[解]因为MN∩EF=Q,所以Q∈直线MN,Q∈直线EF,又因为M∈直线CD,N∈直线AB,CD平面ABCD,AB平面ABCD.所以M,N∈平面ABCD,所以MN平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理,可得EF平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,所以Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.
点共线的证明方法
方法1:
证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上.
方法2:
选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在此直线上.
3.如图所示,四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于E,F,G,H,求证:
E,F,G,H必在同一直线上.
[证明]因为AB∥CD,所以AB,CD确定平面AC,因为AB∩α=E,所以
E∈平面AC,E∈α,由基本事实3可知,E必在平面AC与平面α的交线上.同理F,G,H都在平面AC与平面α的交线上,因此E,F,G,H必在同一直线上.
1.三个基本事实的作用
基本事实1——判定点共面、线共面的依据;
基本事实2——判定直线在平面内的依据;
基本事实3——判定点共线、线共点的依据.
2.证明几点共线的方法:
先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一直线,再证明其他点也在这条直线上.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)三点可以确定一个平面.()
(2)一条直线和一个点可以确定一个平面.()
(3)四边形是平面图形.()
(4)两条相交直线可以确定一个平面.()
[解析]
(1)错误.不共线的三点可以确定一个平面.
(2)错误.一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.
(3)错误.四边形不一定是平面图形.
(4)正确.两条相交直线可以确定一个平面.
[答案]
(1)×
(2)×(3)×(4)√
2.在下列各种面中,不能被认为是平面的一部分的是()
A.黑板面B.乒乓球桌面
C.篮球的表面D.平静的水面
C[篮球的表面是曲面,不能认为是平面的一部分.]
3.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且直线AB∩l=C,则直线AB∩β=.
C[∵α∩β=l,AB∩l=C,∴C∈β,C∈AB,∴AB∩β=C.]4.如图,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行.
求证:
a,b,c三条直线必过同一点.
[证明]∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴aγ,bγ.
由于直线a和b不平行,
∴a、b必相交.
设a∩b=P,如图,则P∈a,P∈b.
∵aβ,bα,∴P∈β,P∈α.
又α∩β=c,∴P∈c,即交线c经过点P.
∴a,b,c三条直线相交于同一点.
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