复变函数与积分变换(全套课件334P).ppt
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复变函数与积分变换(全套课件334P).ppt
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复变函数与积分变化,第一章复数与复变函数,1.1复数及其运算1.2复平面上的曲线和区域1.3复变函数1.4复变函数的极限和连续性,1.1复数及其运算,一、复数的概念,1、产生背景,二、复数的表示法,1、(复平面上的)点表示-用坐标平面上的点,r,此时的坐标面(称为复平面)与直角坐标平面的区别与联系。
2、(复平面上的)向量表示-,
(1)模的长度,记为,则,
(2)辐角()与轴正向的夹角(周期性),辐角主值:
3、三角(或极坐标)表示-,欧拉公式,5、代数表示-,复数的各种表示可相互转换,在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。
三、复数的运算,1、相等两个复数,当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。
2、和、差、积、商(分母不为0)代数式、三角式、指数式,3、共轭复数及运算性质,z,四、复数的n次方根,答疑解惑,答:
不能,实数能比较大小,是因为实数是有序的;而复数是无序的,所以不能比较大小。
假设复数有大小,其大小关系应与实数中大小关系保持一致,(因为实数是复数的特例),不妨取0和i加以讨论:
1、复数能否比较大小,为什么?
注:
复数的模、实部和虚部都是实数,辐角也是实数,可比较大小。
2、复数可以用向量表示,则复数的运算与向量的运算是否相同?
答:
有相同之处,但也有不同之处。
加减和数乘运算相同,乘积运算不同,向量运算有数量积、向量积和混合积,复数则没有;复数运算有乘除及乘幂、方根,但向量没有;乘积运算的几何意义不同。
典型例题,例1、判断下列命题是否正确?
(1)
(2)(3),(),(),(),解
(1),
(2),(3),(4),例3、求满足下列条件的复数z:
(1),(3),
(2)且,1.2复平面上的曲线和区域,一、复平面上的曲线方程,二、简单曲线与光滑曲线,三、区域,1、去心邻域,3、区域及分类,2、内点与开集,区域连通的开集。
属于D内的任一条简单闭曲线,在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。
任意一条简单闭曲线C把复平面分为三个不相交的点集:
有界区域称为C的内部;无界区域,称为C的外部;C,称为内部与外部的边界。
1.3复变函数,一、复变函数的概念,1、定义,分类,讨论一个复变函数,研究两个实二元函数,3、复变函数的单值性讨论,教材P12(例1.3.2),是否为单值函数,均为单值的实二元函数,是单值函数吗?
,均为多值的实二元函数,方法二、见教材,二、映射,复变函数的几何图形表示,函数在几何上可以看着是把z平面上的一个点集G(定义域)变到w平面上的一个点集G*(值域)的一个映射(或映照)。
与G中的点为一一对应,映射为双射,典型例题,解
(1),乘法的模与辐角定理,是以原点为焦点,开口向左的抛物线(见图c1),其是以原点为焦点,开口向右的抛物线(见图c2)。
解法一
(1),消x,y建立u,v所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得x=x(u,v),y=y(u,v)后,代入原象曲线方程即得象曲线方程,
(2),代入原象曲线方程,得,w平面内的一条直线。
解法二,代入原象方程得,化为实方程形式,
(2)留作练习。
1.4复变函数的极限和连续性,本章难点与重点,注:
分析中,习惯把变量之间的对应关系称为函数;几何中,习惯把变量之间的对应关系称为映射;代数中,习惯把变量之间的对应关系称为变换。
在复变函数中,不再区分函数、映射和变换,将其统一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。
第二章解析函数,2.1解析函数的概念2.2函数解析的充要条件2.3初等函数,一.复变函数的导数,1.导数定义形式上与一元实函数相同(见教材P21);,2.求导举例关键是复变函数的理解、掌握和计算;,3.求导法则类似一元函数(见P22);,4.可导与连续的关系可导连续。
可微,可导,连续,有定义,极限存在,二.复变函数的微分,1、定义,2、微分与导数的区别与联系“同生死,共存亡”。
三、解析函数的概念,3、函数解析与可导的关系区别概念不同联系解析点必是可导点,反之不然。
四、求导举例,解,当时,,不存在,即处处不可导。
当时,,例2判断下列命题正确性,
(1)若函数在某点不可导,则该点必为函数的奇点。
()
(2)若点为函数的奇点,则点必为函数的不可导点。
()(3)函数在某点不解析是在该点不可导的充分条件。
(),五、解析函数的运算性质解析函数的、及复合函数仍为解析函数。
方程称为柯西黎曼(CauchyRiemann)方程(简称C-R方程),反之,我们自然要问是否满足以上条件的函数必在点可导呢?
事实上,该条件也是充分的,于是有-,且此时:
二、举例-两种判别法(定义法,CR条件判可导),拓展练习,第3章复变函数的积分,3.1复变函数积分的概念和性质3.2柯西积分定理及其应用3.3柯西积分公式和解析函数的高阶导数3.4解析函数与调和函数的关系,复习、引入,3.1复变函数积分的概念和性质,一、定义-化整为零,取零为整,设在复平面C上有一条连接及Z两点的简单曲线C。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。
其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。
把曲线C用分点分成n个更小的弧,在这里分点在曲线C上,按从到Z的次序排列的。
如果是到的弧上任意一点,那么下列和式的极限(对任意分法和的取法都存在且相同),记,与实函数中第二型线积分类比,C的参数方程,线积分,复积分,一个复积分的实质是两个实二型线积分,二、积分存在的条件及其计算方法,1)C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时,积分是一定存在的。
3)化为参变量的定积分来计算。
2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
例1计算其中为以为圆心,为半径的正向圆周,为整数.,三、积分的性质,例2计算的值,其中为沿从(0,0)到(1,0)的线段与从(1,0)到(1,1)的线段所连结成的折线。
解:
例3计算的值,其中为沿从(0,0)到(1,1)的线段:
解:
例4计算其中为从原点到点的直线段。
解直线的方程可写成,练习:
对例4中的积分沿下列路径计算
(1)当C为从原点到(3,0),再从(3,0)到点(3,4)的折线;
(2)当C为从原点到(0,3),再从(0,3)到点(3,4)的折线时,积分的结果又为何值呢?
观察例3、例4两个线积分的结果,分析两种被积函数的特征,你会得出怎样的结论?
3.2柯西积分定理及其应用,回顾,一、柯西积分定理,二、解析函数的原函数与等价定理,定理一如果函数在单连域内处处解析,那么积分与连结从起点到终点的路径无关.定理二如果函数在单连域B内处处解析,那末函数必为B内的解析函数,且,其中F(z)称为f(z)的原函数.,利用原函数的这个关系,推得与牛顿莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。
结论:
的任何两个原函数相差一个常数.,此时实函数积分的换元、分部积分法均可推广使用,定理三如果函数f(z)在单连域B内处处解析,G(z)为的一个原函数,那么,解:
例5计算,例6计算,解:
例7计算,解:
三、复合闭路定理柯西定理在多连域的推广,所围成的多连通区域,,四、闭路变形原理复合闭路定理的特例,证明:
取,这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。
-闭路变形原理,例8试求的值,C为包含0和1在内的任何一条正向简单闭曲线。
解:
闭路变形原理,3.3柯西积分公式,一、柯西积分公式,(3.3.1),上述公式称为柯西积分公式.通过该公式可以把一个函数在C内部任何一点的值,用它在边界上的值表示出来。
例9计算(沿圆周正向),解由公式(3.3.1)得,例10,解:
推论如果C是圆周z=z0+Reiq,则柯西积分公式成为,柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具,-一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,二、解析函数的高阶导数,其中为函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于。
一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各阶导数.这一点与实变函数完全不同,关于解析函数的高阶导数我们有:
其中为函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于。
例11求下列积分的值,其中C为正向圆周:
|z|=r1.,高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于利用求导计算积分.,3.4解析函数与调和函数的关系,定义1若,定理1:
证明:
同样可得,注:
逆定理显然不成立,即,对区域D内的任意两个调和函数,不一定是解析函数.,例如:
定义2,定理2:
在区域D内解析,解析函数的虚部必为实部的共轭调和数,已知共轭调和函数中的一个,可利用C-R方程求得另一个,从而构成一个解析函数。
解:
(法一),由C-R方程,于是,(法二),(法三),例2证明:
函数都是调和函数但不是解析函数。
证由于,所以,故是全平面上的调和函数,除原点外在全平面上调和。
但,不满足C-R条件,所以不是解析函数。
例3证明:
若为调和函数且不等于常数,则不是调和函数。
证因为为调和函数,所以,又,同理,令,故,即的一般形式的调和函数为,其中为任意常数。
因为,所以,令,得,即知,于是,例5,查看答案,查看答案,查看答案,查看答案,查看答案,查看答案,查看原题,查看原题,查看原题,查看原题,查看原题,查看原题,查看原题,例6设满足下列关系,求解析函数,第四章级数,复习、引入,4.1复数项级数4.2幂级数4.3泰勒级数4.4洛朗级数,复习、引入,收敛的本质无限项和差是否为一个确定值?
如何完成这种计算?
定理一,4.1复数项级数,二、复数项级数的概念,一、复数列的极限,三、复数项级数的审敛法,4.2幂级数,一、函数项级数,二、幂级数及其收敛性正幂项级数,2.收敛特征Abel定理,定理一,证明,三、收敛圆与收敛半径,利用阿贝尔定理,不难确定幂级数的收敛范围,对于任一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:
iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设(正实数)时,级数收敛,(正实数)时,级数发散.,对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.,ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.,b,a,Ca,O,显然时,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.,当由小逐渐变大时,必定逐渐接近一个以原点为中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部都是红色,外部都是蓝色.这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.收敛圆的半径R称为收敛半径.所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,收敛范围是以为中心的圆域.在收敛圆上的收敛性,则不一定.,例1求幂级数,解:
级数实际上是等比级数,部分和为,的收敛范围与和函数.,收敛半径的求法,例2求下列幂级数的收敛半径,四、幂级数的运算和性质,在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.,更为重要的是代换(复合)运算,这种代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.,当|z-a|b-a|=R时级数收敛,4.3泰勒级数,按柯西积分公式,有,且,由解析函数高阶导数公式,上式可写成,在K内成立,即f(z)可在K内用幂级数表达.,q与积分变量z无关,且0q1.,K含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数M使|f(z)|M.,因此,下面的公式在K内成立:
称该等式为f(z)在z0点的泰勒展开式,它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数.,圆周K的半径
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- 函数 积分 变换 全套 课件 334