中考数学压轴题.docx
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中考数学压轴题.docx
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中考数学压轴题
2019中考数学压轴题
76.(2016江苏省盐城市)如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=.
77.(2016内蒙古赤峰市)如图,正方形ABCD的面积为3cm2,E为BC边上一点,∠BAE=30°,F为AE的中点,过点F作直线分别与AB,DC相交于点M,N.若MN=AE,则AM的长等于cm.
78.(2016重庆市)正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE平分∠ADO交AC于点E,把△ADE沿AD翻折,得到△ADE′,点F是DE的中点,连接AF,BF,E′F.若AE=
.则四边形ABFE′的面积是.
79.(2016河北省)如图,已知∠AOB=7°,一条光线从点A出发后射向OB边.若光线与OB边垂直,则光线沿原路返回到点A,此时∠A=90°-7°=83°.
当∠A<83°时,光线射到OB边上的点A1后,经OB反射到线段AO上的点A2,易知∠1=∠2.若A1A2⊥AO,
光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A,此时∠A=_____°.
……
若光线从点A发出后,经若干次反射能沿原路返回到点A,则锐角∠A的最小值=_______°.
80.(2016广西桂林市)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC=3,CD=1,CH⊥BD于H,点O是AB中点,连接OH,则OH=.
81.(2016山东省济南市)如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=
,AD=10,点E是CD中点,将这张纸片依次折叠两次;第一次折叠纸片使点A与点E重合,如图2,折痕为MN,连接ME/NE;第二次折叠纸片使点N与点E重合,如图3,点B落到B′处,折痕为HG,连接HE,则tan∠EHG=.
82.(2016湖北省鄂州市)如图,AB=6,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=120°,P是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,AP=.
83.(2016辽宁省葫芦岛市)如图,点A1(2,2)在直线y=x上,过点A1作A1B1∥y轴交直线
于点B1,以点A1为直角顶点,A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1,再过点C1作A2B2∥y轴,分别交直线y=x和
于A2,B2两点,以点A2为直角顶点,A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…,按此规律进行下去,则等腰直角△AnBnCn的面积为.(用含正整数n的代数式表示)
84.(2016浙江省舟山市)如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为(﹣1,0),∠ABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ=
,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为.
85.(2015鄂州)已知点P是半径为1的⊙O外一点,PA切⊙O于点A,且PA=1,AB是⊙O的弦,AB=
,连接PB,则PB=.
86.(2015广元)如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是
的中点,弦CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CF、BC于点P、Q,连接AC.给出下列结论:
①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心.
其中正确结论是________(只需填写序号).
87.(2015荆州)如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数
(
)的图象经过圆心P,则k=.
88.(2015常州)如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为弧BD的中点,则AC的长是.
三、解答题
89.(2017江苏省盐城市,第26题,12分)【探索发现】
如图①,是一张直角三角形纸片,∠B=60°,小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线DE、EF剪下时,所得的矩形的面积最大,随后,他通过证明验证了其正确性,并得出:
矩形的最大面积与原三角形面积的比值为.
【拓展应用】
如图②,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上,顶点Q、M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为.(用含a,h的代数式表示)
【灵活应用】
如图③,有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角),求该矩形的面积.
【实际应用】
如图④,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=
,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积.
90.(2017江苏省苏州市,第27题,10分)如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,点D在⊙O上,OD∥BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD交OE边于点F.
(1)求证:
△DOE∽△ABC;
(2)求证:
∠ODF=∠BDE;
(3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若
,求sinA的值.
91.(2017江苏省连云港市,第27题,14分)问题呈现:
如图1,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,AE=DG,求证:
.(S表示面积)
实验探究:
某数学实验小组发现:
若图1中AH≠BF,点G在CD上移动时,上述结论会发生变化,分别过点E、G作BC边的平行线,再分别过点F、H作AB边的平行线,四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1,得到矩形A1B1C1D1.
如图2,当AH>BF时,若将点G向点C靠近(DG>AE),经过探索,发现:
2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S
.
如图3,当AH>BF时,若将点G向点D靠近(DG<AE),请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S
之间的数量关系,并说明理由.
迁移应用:
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题:
(1)如图4,点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点,已知AH>BF,AE>DG,S四边形EFGH=11,HF=
,求EG的长.
(2)如图5,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E、H分别在边AB、AD上,BE=1,DH=2,点F、G分别是边BC、CD上的动点,且FG=
,连接EF、HG,请直接写出四边形EFGH面积的最大值.
92.(2017江西省,第23题,12分)我们定义:
如图1,在△ABC看,把AB点绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知:
(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为.
猜想论证:
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
拓展应用
(3)如图4,在四边形ABCD,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=
,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?
若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
93.(2017河北,第25题,11分)平面内,如图,在
ABCD中,AB=10,AD=15,tanA=
.点P为AD边上任意一点,连接PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.
(1)当∠DPQ=10°时,求∠APB的大小;
(2)当tan∠AtanA=3:
2时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号);
(3)若点Q恰好落在
ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积(结果保留
).
94.(2017丽水,第24题,12分)如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连接BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部,连接AF,BF,EF,过点F作GF⊥AF交AD于点G,设
.
(1)求证:
AE=GE;
(2)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示
的值;
(3)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值.
95.(2017浙江省嘉兴市,第23题,10分)如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE.
(1)如图1,当点D与M重合时,求证:
四边形ABDE是平行四边形;
(2)如图2,当点D不与M重合时,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由.
(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM.
①求∠CAM的度数;
②当FH=
,DM=4时,求DH的长.
96.(2017浙江省宁波市,第26题,14分)有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.
(1)如图1,在半对角四边形ABCD中,∠B=
∠D,∠C=
∠A,求∠B与∠C的度数之和;
(2)如图2,锐角△ABC内接于⊙O,若边AB上存在一点D,使得BD=BO,∠OBA的平分线交OA于点E,连结DE并延长交AC于点F,∠AFE=2∠EAF.求证:
四边形DBCF是半对角四边形;
(3)如图3,在
(2)的条件下,过点D作DG⊥OB于点H,交BC于点G,当DH=BG时,求△BGH与△ABC的面积之比.
97.(2017浙江省杭州市,第23题,12分)如图,已知△ABC内接于⊙O,点C在劣弧AB上(不与点A,B重合),点D为弦BC的中点,DE⊥BC,DE与AC的延长线交于点E,射线AO与射线EB交于点F,与⊙O交于点G,设∠GAB=ɑ,∠ACB=β,∠EAG+∠EBA=γ.
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:
猜想:
β关于ɑ的函数表达式,γ关于ɑ的函数表达式,并给出证明:
(2)若γ=135°,CD=3,△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,求⊙O半径的长.
98.(2017浙江省温州市,第24题,14分)如图,已知线段AB=2,MN⊥AB于点M,且AM=BM,P是射线MN上一动点,E,D分别是PA,PB的中点,过点A,M,D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上),连结AC,DE.
(1)当∠APB=28°时,求∠B和
的度数;
(2)求证:
AC=AB.
(3)在点P的运动过程中.
①当MP=4时,取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求所有满足条件的MQ的值;
②记AP与圆的另一个交点为F,将点F绕点D旋转90°得到点G,当点G恰好落在MN上时,连结AG,CG,DG,EG,直接写出△ACG和△DEG的面积之比.
99.(2017浙江省绍兴市,第22题,12分)定义:
有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.
(1)如图1,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°.
①若AB=CD=1,AB∥CD,求对角线BD的长.
②若AC⊥BD,求证:
AD=CD;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点P是对角线BD上一点,且BP=2PD,过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F,使四边形ABFE是等腰直角四边形,求AE的长.
100.(2017金华,第23题,10分)如图1,将△ABC纸片沿中位线EH折叠,使点A对称点D落在BC边上,再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形,类似地,对多边形进行折叠,若翻折后的图形恰能合成一个无缝隙,无重叠的矩形,这样的矩形称为叠合矩形.
(1)将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG,则操作形成的折痕分别是线段,;S矩形AES▱ABCD=.
(2)如图4,四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC,AB=8,CD=10,小明把该纸片折叠,得到叠合正方形,请你帮助画出叠合正方形的示意图,并求出AD、BC的长.
101.(2017天门,第24题,10分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D与点B在AC同侧,∠DAC>∠BAC,且DA=DC,过点B作BE∥DA交DC于点E,M为AB的中点,连接MD,ME.
(1)如图1,当∠ADC=90°时,线段MD与ME的数量关系是;
(2)如图2,当∠ADC=60°时,试探究线段MD与ME的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图3,当∠ADC=α时,求
的值.
102.(2017湖北省十堰市,第24题,10分)已知O为直线MN上一点,OP⊥MN,在等腰Rt△ABO中,∠BAO=90°,AC∥OP交OM于C,D为OB的中点,DE⊥DC交MN于E.
(1)如图1,若点B在OP上,则:
①ACOE(填“<”,“=”或“>”);
②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是;
(2)将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(0°<α<45°),如图2,那么
(1)中的结论②是否成立?
请说明理由;
(3)将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(45°<α<90°),请你在图3中画出图形,并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式.
103.(2016山东省济南市)在学习了图形的旋转知识后,数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究.
(一)尝试探究
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分别在线段BC、CD上,∠EAF=30°,连接EF.
(1)如图2,将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′(A′B′与AD重合),请直接写出∠E′AF=度,线段BE、EF、FD之间的数量关系为.
(2)如图3,当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时,其他条件不变,请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系,并说明理由.
(二)拓展延伸
如图4,在等边△ABC中,E、F是边BC上的两点,∠EAF=30°,BE=1,将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′(A′B′与AC重合),连接EE′,AF与EE′交于点N,过点A作AM⊥BC于点M,连接MN,求线段MN的长度.
104.(2016山东省日照市)阅读理解:
我们把满足某种条件的所有点所组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.
例如:
角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹.
问题:
如图1,已知EF为△ABC的中位线,M是边BC上一动点,连接AM交EF于点P,那么动点P为线段AM中点.
理由:
∵线段EF为△ABC的中位线,∴EF∥BC,由平行线分线段成比例得:
动点P为线段AM中点.
由此你得到动点P的运动轨迹是:
.
知识应用:
如图2,已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点,连结EF;若AF=BE,且等边△ABC的边长为8,求线段EF中点Q的运动轨迹的长.
拓展提高:
如图3,P为线段AB上一动点(点P不与点A、B重合),在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD,连结AD、BC,交点为Q.
(1)求∠AQB的度数;
(2)若AB=6,求动点Q运动轨迹的长.
105.(2016山东省泰安市)
(1)已知:
△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图①).求证:
EB=AD;
(2)若将
(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其它条件不变(如图②),
(1)的结论是否成立,并说明理由;
(3)若将
(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其它条件不变,则
的值是多少?
(直接写出结论,不要求写解答过程)
106.(2016内蒙古包头市)如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分别是AC、AB边上点,连接EF.
(1)图①,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△EDF,求AE的长;
(2)如图②,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;
②求EF的长;
(3)如图③,若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=1,CE=
,求
的值.
107.(2016吉林省)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=
cm,AD⊥BC于点D,点P从点A出发,沿A→C方向以
cm/s的速度运动到点C停止,在运动过程中,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM,且∠PQM=90°(点M,C位于PQ异侧).设点P的运动时间为x(s),△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2)
(1)当点M落在AB上时,x=;
(2)当点M落在AD上时,x=;
(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
108.(2016贵州省贵阳市)(12分)
(1)阅读理解:
如图①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:
延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断.
中线AD的取值范围是;
(2)问题解决:
如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:
BE+CF>EF;
(3)问题拓展:
如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD于E、F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.
109.(2016辽宁省抚顺市)如图,在△ABC中,BC>AC,点E在BC上,CE=CA,点D在AB上,连接DE,∠ACB+∠ADE=180°,作CH⊥AB,垂足为H.
(1)如图a,当∠ACB=90°时,连接CD,过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F.
①求证:
FA=DE;
②请猜想三条线段DE,AD,CH之间的数量关系,直接写出结论;
(2)如图b,当∠ACB=120°时,三条线段DE,AD,CH之间存在怎样的数量关系?
请证明你的结论.
110.(2016辽宁省沈阳市)在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD,BE.
(1)如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F.
①求证:
△ABD是等边三角形;
②求证:
BF⊥AD,AF=DF;
③请直接写出BE的长;
(2)在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值.
温馨提示:
考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
111.(2016浙江省湖州市)数学活动课上,某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD=120°)进行探究:
将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点).
(1)初步尝试
如图1,若AD=AB,求证:
①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;
(2)类比发现
如图2,若AD=2AB,过点C作CH⊥AD于点H,求证:
AE=2FH;
(3)深入探究
如图3,若AD=3AB,探究得:
的值为常数t,则t=.
112.(2016四川省甘孜州)如图①,AD为等腰直角△ABC的高,点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上,连接BG,AE.
(1)求证:
BG=AE;
(2)将正方形DEFG绕点D旋转,当线段EG经过点A时,(如图②所示)
①求证:
BG⊥CE;
②设DG与AB交于点M,若AG:
AE=3:
4,求
的值.
113.(2016上海市)如图所示,梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,AD=15,AB=16,BC=12,点E是边AB上的动点,点F是射线CD上一点,射线ED和射线AF交于点G,且∠AGE=∠DAB.
(1)求线段CD的长;
(2)如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形,求线段AE的长;
(3)如果点F在边CD上(不与点C、D重合),设AE=x,DF=y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.
114.(2016吉林省长春市)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=8,∠BAD=60°,点E从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动,当点E不与点A重合时,过点E作EF⊥AD于点F,作EG∥AD交AC于点G,过点G作GH⊥AD交AD(或AD的延长线)于点H,得到矩形EFHG,设点E运动的时间为t秒
(1)求线段EF的长(用含t的代数式表示);
(2)求点H与点D重合时t的值;
(3)设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位,求S与t之间的函数关系式;
(4)矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′,当OO′∥AD时,t的值为;当OO′⊥AD时,t的值为.
115.(2016内蒙古巴彦淖尔市)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF的外接圆.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)过点E作EH⊥AB,垂足为H,求证:
CD=HF;
(3)若CD=1,EH=3,求BF及AF长.
116.(2015百色)已知⊙O为△ABC的外接圆,圆心O在AB上.
(1)在图1中,用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D(保留作图痕迹,不写作法与证明);
(2)如图2,设∠BAC的平分线AD交BC于E,⊙O半径为5,AC=4,连接OD交BC于F.
①求证:
OD⊥BC;
②求EF的长.
117.(2015南京)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.
(1)求证:
∠A=∠AEB;
(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD,求证:
△ABE是等边三角形.
118.(2015凉山州)如图,⊙O的半径为5,点P在⊙O外,PB交⊙O于A、B两点,PC交⊙O于D、C两点.
(1)求证:
PA•PB=PD•PC;
(2)若PA=
,AB=
,PD=DC+2,求点O到PC的距离.
119.(2015安徽省)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.
(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
120.(2015镇江)
【发现】
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 中考 数学 压轴