模运算和凯撒密码.docx
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模运算和凯撒密码.docx
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模运算和凯撒密码
模运算
百科名片
模运算即求余运算。
“模”是“Mod”的音译,模运算多应用于程序编写中。
Mod的含义为求余。
模运算在数论和程序设计中都有着普遍的应用,从奇偶数的判别到素数的判别,从模幂运算到最大公约数的求法,从孙子问题到凯撒密码问题,无不充满着模运算的身影。
尽管很多数论教材上对模运算都有必然的介绍,但多数都是以纯理论为主,关于模运算在程序设计中的应用涉及不多。
模运算及其性质
1.大体理论
2.大体性质
3.运算规那么
大体应用
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模运算及其性质
1.大体理论
2.大体性质
3.运算规那么
大体应用
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例如11Mod2,值为1
上述模运算多用于程序编写,举一例来讲明模运算的原理:
TurboPascal对mod的说明是如此的:
AModB=A-(AdivB)*B(div含义为整除)[1]
模运算及其性质
本文以c++语言为载体,对大体的模运算应用进行了分析和程序设计,以理论和实际相结合的方式向大伙儿介绍模运算的大体应用。
。
大体理论
大体概念:
给定一个正整数p,任意一个整数n,必然存在等式n=kp+r;
其中k、r是整数,且0≤r
关于正整数p和整数a,b,概念如下运算:
取模运算:
a%p(或amodp),表示a除以p的余数。
模p加法:
(a+b)%p,其结果是a+b算术和除以p的余数,也确实是说,(a+b)=kp+r,那么(a+b)%p=r。
模p减法:
(a-b)%p,其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法:
(a*b)%p,其结果是a*b算术乘法除以p的余数。
说明:
1.同余式:
正整数a,b对p取模,它们的余数相同,记做a≡b%p或a≡b(modp)。
2.n%p取得结果的正负由被除数n决定,与p无关。
例如:
7%4=3,-7%4=-3,7%-4=3,-7%-4=-3。
大体性质
(1)假设p|(a-b),那么a≡b(%p)。
例如11≡4(%7),18≡4(%7)
(2)(a%p)=(b%p)意味a≡b(%p)
(3)对称性:
a≡b(%p)等价于b≡a(%p)
(4)传递性:
假设a≡b(%p)且b≡c(%p),那么a≡c(%p)
运算规那么
模运算与大体四那么运算有些相似,可是除法例外。
其规那么如下:
(a+b)%p=(a%p+b%p)%p
(1)
(a-b)%p=(a%p-b%p)%p
(2)
(a*b)%p=(a%p*b%p)%p(3)
(a^b)%p=((a%p)^b)%p(4)
结合率:
((a+b)%p+c)%p=(a+(b+c)%p)%p(5)
((a*b)%p*c)%p=(a*(b*c)%p)%p(6)
互换率:
(a+b)%p=(b+a)%p(7)
(a*b)%p=(b*a)%p(8)
分派率:
((a+b)%p*c)%p=((a*c)%p+(b*c)%p)%p(9)
重要定理:
假设a≡b(%p),那么关于任意的c,都有(a+c)≡(b+c)(%p);(10)
假设a≡b(%p),那么关于任意的c,都有(a*c)≡(b*c)(%p);(11)
假设a≡b(%p),c≡d(%p),那么(a+c)≡(b+d)(%p),(a-c)≡(b-d)(%p),
(a*c)≡(b*d)(%p),(a/c)≡(b/d)(%p);(12)
假设a≡b(%p),那么关于任意的c,都有ac≡bc(%p);(13)
大体应用
1.判别奇偶数
奇偶数的判别是模运算最大体的应用,也超级简单。
易知一个整数n对2取模,若是余数为0,那么表示n为偶数,不然n为奇数。
C++实现功能函数:
/*
函数名:
IsEven
函数功能:
判别整数n的奇偶性。
能被2整除为偶数,不然为奇数
输入值:
intn,整数n
返回值:
bool,假设整数n是偶数,返回true,不然返回false
*/
boolIsEven(intn)
{
return(n%2==0);
}
2.判别素数
一个数,若是只有1和它本身两个因数,如此的数叫做质数(或素数)。
例如2,3,5,7是质数,而4,6,8,9那么不是,后者称为合成数或合数。
判定某个自然数是不是是素数最经常使用的方式确实是试除法:
用比该自然数的平方根小的正整数去除那个自然数,假设该自然数能被整除,那么说明其非素数。
C++实现功能函数:
/*
函数名:
IsPrime
函数功能:
判别自然数n是不是为素数。
输入值:
intn,自然数n
返回值:
bool,假设自然数n是素数,返回true,不然返回false
*/
boolIsPrime(unsignedintn)
{
unsignedmaxFactor=sqrt(n);//n的最大因子
for(unsignedinti=2;i<=maxFactor;i++)
{
if(n%i==0)//n能被i整除,那么说明n非素数
{
returnfalse;
}
}
returntrue;
}
3.最大公约数
求最大公约数最多见的方式是欧几里德算法(又称辗转相除法),其计算原理依托于定理:
gcd(a,b)=gcd(b,amodb)
证明:
a能够表示成a=kb+r,那么r=amodb
假设d是a,b的一个公约数,那么有d|a,d|b,而r=a-kb,因此d|r
因此d是(b,amodb)的公约数
假设d是(b,amodb)的公约数,那么d|b,d|r,可是a=kb+r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,amodb)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。
C++实现功能函数:
/*
函数功能:
利用欧几里德算法,采纳递归方式,求两个自然数的最大公约数
函数名:
Gcd
输入值:
unsignedinta,自然数a
unsignedintb,自然数b
返回值:
unsignedint,两个自然数的最大公约数
*/
unsignedintGcd(unsignedinta,unsignedintb)
{
if(b==0)
returna;
returnGcd(b,a%b);
}
/*
函数功能:
利用欧几里德算法,采纳迭代方式,求两个自然数的最大公约数函数名:
Gcd
输入值:
unsignedinta,自然数a
unsignedintb,自然数b
返回值:
unsignedint,两个自然数的最大公约数
*/
unsignedintGcd(unsignedinta,unsignedintb)
{
unsignedinttemp;
while(b!
=0)
{
temp=a%b;
a=b;
b=temp;
}
returna;
}
4.模幂运算
利用模运算的运算规那么,咱们能够使某些计算取得简化。
例如,咱们想明白3333^5555的末位是什么。
很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来,那样太大了。
但咱们想要确信的是3333^5555(%10),因此问题就简化了。
依照运算规那么(4)a^b%p=((a%p)^b)%p,咱们明白3333^5555(%10)=3^5555(%10)。
由于3^4=81,因此3^4(%10)=1。
依照运算规那么(3)(a*b)%p=(a%p*b%p)%p,由于5555=4*1388+3,咱们取得3^5555(%10)=(3^(4*1388)*3^3)(%10)=((3^(4*1388)(%10)*3^3(%10))(%10)
=(1*7)(%10)=7。
计算完毕。
利用这些规那么咱们能够有效地计算X^N(%P)。
简单的算法是将result初始化为1,然后重复将result乘以X,每次乘法以后应用%运算符(如此使得result的值变小,以避免溢出),执行N次相乘后,result确实是咱们要找的答案。
如此关于较小的N值来讲,实现是合理的,可是当N的值专门大时,需要计算很长时刻,是不切实际的。
下面的结论能够取得一种更好的算法。
若是N是偶数,那么X^N=(X*X)^[N/2];
若是N是奇数,那么X^N=X*X^(N-1)=X*(X*X)^[N/2];
其中[N]是指小于或等于N的最大整数。
C++实现功能函数:
/*
函数功能:
利用模运算规那么,采纳递归方式,计算X^N(%P)
函数名:
PowerMod
输入值:
unsignedintx,底数x
unsignedintn,指数n
unsignedintp,模p
返回值:
unsignedint,X^N(%P)的结果
*/
unsignedintPowerMod(unsignedintx,unsignedintn,unsignedintp)
{
if(n==0)
{
return1;
}
unsignedinttemp=PowerMod((x*x)%p,n/2,p);//递归计算(X*X)^[N/2]
if((n&1)!
=0)//判定n的奇偶性
{
temp=(temp*x)%p;
}
returntemp;
}
5.《孙子问题(中国剩余定理)》
在我国古代算书《孙子算经》中有如此一个问题:
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
”意思是,“一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合那个条件的最小数。
”
那个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一样解法,国际上称为“中国剩余定理”.
我国古代学者早就研究过那个问题。
例如我国明代数学家程大位在他著的《算法统宗》(1593年)中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法:
三人同行七十稀,五树梅花甘一枝,七子团聚正半月,除百零五便得知。
"正半月"暗指15。
"除百零五"的原意是,当所得的数比105大时,就10五、105地往下减,使之小于105;这相当于用105去除,求出余数。
这四句口诀暗示的意思是:
当除数别离是3、五、7时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加。
加得的结果若是比105大,就除以105,所得的余数确实是知足题目要求的最小正整数解。
依照剩余定理,我把此种解法推行到有n(n为自然数)个除数对应n个余数,求最小被除数的情形。
输入n个除数(除数不能相互整除)和对应的余数,运算机将输出最小被除数。
C++实现功能函数:
/*
函数名:
ResidueTheorem
函数功能:
运用剩余定理,解决推行了的孙子问题。
通过给定n个除数(除数不能相互整除)和对应的余数,返回最小被除数
输入值:
unsignedintdevisor[],存储了n个除数的数组
unsignedintremainder[],存储了n个余数的数组
intlength,数组的长度
返回值:
unsignedint,最小被除数
*/
unsignedintResidueTheorem(constunsignedintdevisor[],constunsignedintremainder[],intlength)
{
unsignedintproduct=1;//所有除数之乘积
for(inti=0;i { product*=devisor[i]; } //公倍数数组,表示除该元素(除数)之外其他除数的公倍数 unsignedint*commonMultiple=newunsignedint(length); for(inti=0;i { commonMultiple[i]=product/devisor[i]; } unsignedintdividend=0;//被除数,确实是函数要返回的值 for(inti=0;i { unsignedinttempMul=commonMultiple[i]; //依照剩余理论计算适合的公倍数,使得tempMul%devisor[i]==1 while(tempMul%devisor[i]! =1) { tempMul+=commonMultiple[i]; } dividend+=tempMul*remainder[i];//用本除数取得的余数乘以其他除数的公倍数 } delete[]commonMultiple; return(dividend%product);//返回最小被除数 } 6.凯撒密码 凯撒密码(caeser)是罗马扩张时期朱利斯o凯撒(JuliusCaesar)制造的,用于加密通过信使传递的作战命令。 它将字母表中的字母移动必然位置而实现加密。 注意26个字母循环利用,z的后面能够看成是a。 例如,当密匙为k=3,即向后移动3位时,假设明文为”Howareyou! ”,那么密文为”Krzduhbtx! ”。 凯撒密码的加密算法极为简单。 其加密进程如下: 在那个地址,咱们做此约定: 明文记为m,密文记为c,加密变换记为E(key1,m)(其中key1为密钥), 解密变换记为D(key2,m)(key2为解密密钥)(在那个地址key1=key2,不妨记为key)。 凯撒密码的加密进程可记为如下一个变换: c≡m+key(modn)(其中n为大体字符个数) 一样,解密进程可表示为: m≡c+key(modn)(其中n为大体字符个数) C++实现功能函数: /* 函数功能: 利用凯撒密码原理,对明文进行加密,返回密文函数名: Encrypt 输入值: constcharproclaimedInWriting[],存储了明文的字符串 charcryptograph[],用来存储密文的字符串 intkeyey,加密密匙,正数表示后移,负数表示前移 返回值: 无返回值,可是要将新的密文字符串返回 */ voidEncrypt(constcharproclaimedInWriting[],charcryptograph[],intkey) { constintNUM=26;//字母个数 intlen=strlen(proclaimedInWriting); for(inti=0;i { if(proclaimedInWriting[i]>='a'&&proclaimedInWriting[i]<='z') {//明码是大写字母,那么密码也为大写字母 cryptograph[i]=(proclaimedInWriting[i]-'a'+key)%NUM+'a'; } elseif(proclaimedInWriting[i]>='A'&&proclaimedInWriting[i]<='Z') {//明码是小写字母,那么密码也为小写字母 cryptograph[i]=(proclaimedInWriting[i]-'A'+key)%NUM+'A'; } else {//明码不是字母,那么密码与明码相同 cryptograph[i]=proclaimedInWriting[i]; } } cryptograph[len]='\0'; } /* 函数功能: 利用凯撒密码原理,对密文进行解密,返回明文函数名: Decode 输入值: charproclaimedInWriting[],用来存储明文的字符串 constcharcryptograph[],存储了密文的字符串 intkeyey,解密密匙,正数表示前移,负数表示后移(与加密相反) 返回值: 无返回值,可是要将新的明文字符串返回 */ voidDecode(constcharcryptograph[],charproclaimedInWriting[],intkey) { constintNUM=26;//字母个数 intlen=strlen(cryptograph); for(inti=0;i { if(cryptograph[i]>='a'&&cryptograph[i]<='z') {//密码是大写字母,那么明码也为大写字母,为避免显现负数,转换时要加个NUM proclaimedInWriting[i]=(cryptograph[i]-'a'-key+NUM)%NUM+'a'; } elseif(cryptograph[i]>='A'&&cryptograph[i]<='Z') {//密码是小写字母,那么明码也为小写字母 proclaimedInWriting[i]=(cryptograph[i]-'A'-key+NUM)%NUM+'A'; } else {//密码不是字母,那么明码与明密相同 proclaimedInWriting[i]=cryptograph[i]; } } proclaimedInWriting[len]='\0'; } 模运算及其简单应用就先讲到这了,其实模运算在数学及运算机领域的应用超级普遍,我这那个地址搜集整理了一些最最大体的情形,希望能够起到一个抛砖引玉的作用,让更多的人关注模运算,并及其应用到更广漠的领域中。
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