天津大学理论力学运动学4刚体的平面运动.ppt
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第八章刚体的平面运动,第一节刚体平面运动的运动方程第二节求平面图形内各点速度的基点法第三节求平面图形内各点速度的瞬心法第四节平面图形内各点的加速度,第一节刚体平面运动的运动方程,在运动过程中,刚体内任一点始终保持在与某一固定平面平行的平面内运动,刚体作平面运动,过M点作平面与平面平行,与此刚体相交截出一个平面图形S,平面图形S始终保持在平面内运动,A1MA2:
做平动,垂直于平面,M点可代表直线A1MA2上各点的运动,结论:
刚体的平面运动,可以简化为平面图形S在其自身所在的固定平面内的运动,平面运动刚体的运动方程,设平面图形在静坐标系Oxy内运动。
为了确定图形在任意瞬时的位置,只须确定图形内任一条直线OM的位置即可,当平面图形S运动时,点的坐标和角坐标都是时间t的单值连续函数,,刚体的平面运动可分解为平移和转动,若为常量,即基点O的位置不动,平面图形S将绕通过基点O且与图形S的平面垂直的轴转动;,结论:
刚体的平面运动可以分解为随同基点的平移和绕基点的转动,若为常量,平面图形S作平移;,当都随时间变化时,平面图形即作平面运动。
随同基点平移的特点,选择不同的基点A和B时平移部分的位移,结论:
选择不同的基点,平面图形随同基点平移的速度和加速度是不相同的,绕基点转动的特点,选A为基点时,连杆的相对转角为1,选B为基点时,连杆的相对转角为2,转向相同,结论:
在任意瞬时,平面图形绕其平面内任意基点转动的角速度与角加速度都相同。
选择不同的基点,平面图形随同基点平移的速度和加速度是不相同的。
相对基点转动的角速度、角加速度与基点的选择无关。
今后标注平面图形的角速度和角加速度时,只需注明它是哪个刚体的,不必注明它是相对于哪个基点。
讨论,第二节求平面图形内各点速度的基点法,基点法速度投影定理,基点法,刚体平面运动的基点法源自点的合成运动,特殊之处在于动系的选择。
在点的合成运动中,动系是与动点有相对运动的刚体(严格的说是动系固结在该刚体上)而在刚体平面运动中,所研究的点是刚体上的点,点与刚体之间没有相对运动,所以这时不能选择该刚体作为动系。
这种情况下,动系是以基点为坐标原点,以基点的速度和加速度作为坐标系的速度和加速度,进行平动的直角坐标系,简称随基点平动的坐标系。
基点法,图形上各点随基点平移的速度是它的牵连速度相对基点作圆周运动的速度即为它的相对速度,取点O为基点,该点的速度为vO、图形的角速度为。
牵连运动是平移,相对运动是转动,点M的牵连速度,M点对于O点的相对速度大小,平面图形内任一点的速度等于基点的速度与绕基点转动速度的矢量和,通常把平面图形中速度为已知的点选为基点,速度投影定理,上式向O点和M点的连线上投影,,当已知平面图形内某点的速度大小、方向和另一点的速度方向,要求其大小时,应用速度投影定理就很方便,速度投影定理,速度投影定理:
平面图形内任意两点的速度在此两点连线上的投影相等,例8-1在图所示的曲柄连杆机构中,曲柄OA长r,连杆AB长l,曲柄以匀角速度转动,当OA与水平线的夹角=45时,OA正好与AB垂直,试求此瞬时AB杆的角速度、AB杆中点C的速度及滑块B的速度。
选速度已知的点A为基点,vA=r,x:
y:
再求连杆AB中点C的速度vC,仍选A为基点,B点的速度方向已知,求B点的速度大小还可用速度投影定理,小结,基点法:
平面图形上任一点的速度等于基点的速度与绕基点转动速度的矢量和。
用途:
建立了基点的速度大小和方向、该点的速度大小和方向、基点与该点的距离和平面图形转动的角速度这六者之间的联系。
已知其中任意四个可求其余两个。
速度投影定理:
平面图形内任意两点的速度在此两点连线上的投影相等。
用途:
已知平面图形内某点的速度大小和方向,以及另一点的速度方向,求另一点的速度大小。
局限性:
不能求速度方向,也不能求刚体转动的角速度。
在例8-1中,如果要求AB杆的中点C的速度,会比较麻烦,分析,此题所要求的c点速度方向未知,所以不能通过速度投影定理来求解c点速度。
若使用基点法,需要经过三步:
1)选A为基点,用基点法求出刚体平面运动的角速度;3)求出刚体平面运动的角速度后,用基点法求出c点的速度。
由于c点速度方向未知,只能将c点速度分解为两个分量,分别投影求解后再合成c点速度。
分析,基点法的公式是矢量公式,每个公式相当于两个标量公式,应用时需要先进行投影。
上述过程中三次使用基点法,不仅步骤多,计算量较大,且投影过程容易出错。
问题的提出,能不能找到一种方法,既能克服速度投影定理不能求解速度方向和刚体转动的角速度的局限性,又能相比基点法尽量减少解题步骤?
确定速度瞬心位置的方法,第三节求平面图形内各点速度的瞬心法,瞬时速度中心(瞬心),速度瞬心法,瞬时速度中心,问题的提出,由基点法知:
平面图形上任一点的速度等于基点的速度与绕基点转动速度的矢量和。
基点是任意选择的,那么在每一瞬时,能不能在平面图形上找到一个速度等于零的点?
如果能找到这样的点,并以此点为基点,求平面图形上各点的速度就更简便了,问题的提出,已知某瞬时平面图形上O点速度为,平面图形的角速度为,如何确定此瞬时平面图形的瞬心?
在平面图形上,瞬时速度等于零的点称为瞬时速度中心,简称瞬心,一般用I表示,思路:
按定义,瞬心是此瞬时平面图形上速度等于零的点,假设该点为I。
由于现在只知道O点速度,所以选择O点为基点,得:
由于I点是此瞬时的瞬心,则有,动的速度与O点的速度相互平行呢?
的意义:
1.说明与的方向相反。
也就是说,I点绕O点转动的速度与O点的速度相反。
速度要相反,首先得相互平行才行。
平面图形上哪些点绕O点转,显然,过O点与垂直的直线上的各点,它们绕O点转动的速度与O点的速度相互平行。
再考虑速度的相反。
显然,根据刚体平面转动的角速度的方向,我们马上能判断出:
该直线上,只有上半(或下半)条直线上的点,它们绕O点转动的速度与O点的速度相反。
又因为,那么,这半条直线上的无数点中,哪个点是我们要找的瞬心呢?
由知,得,结论:
在已确定的过O点且垂直于的半条直线上,从O点出发,量取,得到的点就是此瞬时平面运动图形的瞬心I。
速度瞬心法,速度瞬心法:
以速度瞬心为基点,求平面图形上各点速度的方法,方向如图示,在平面图形运动的某瞬时,以速度瞬心I为基点,图形上各点的速度等于绕瞬心转动的速度。
在此瞬时,平面图形的运动就简化成为绕瞬心的转动,几点讨论,每一瞬时,平面图形上都存在唯一的速度瞬心。
它可位于平面图形之内,也可位于图形的延伸部分。
瞬心只是瞬时不动。
在不同的瞬时,图形一般具有不同的速度瞬心。
即速度瞬心的速度虽然等于零,但是加速度一般不等于零。
(注)平面图形在其自身平面内的运动,也可以看成是绕一系列的速度瞬心的转动。
确定速度瞬心位置的方法
(1),已知某瞬时平面图形的角速度和某点A的速度vA,如图(a)示。
此时,如果过A点沿着vA方向作半直线A,将此半直线顺图形角速度的转向转过一直角,然后在半直线上取线段AI,则I点就是瞬心,已知某瞬时平面图形上A、B两点的速度vA、vB的方向,且vA不平行于vB,如图(b)示。
此时,过A、B两点分别作vA与vB的垂线,这两条垂直线的交点即为瞬心I。
确定速度瞬心位置的方法
(2),确定速度瞬心位置的方法(3),如果vAvB,且ABvA,如图(c)、(d)。
那么,按比例在图中标示vA、vB的大小,用直线连接vA、vB矢量的末端,此直线与AB线的交点即为瞬心I。
即vA、vB同向时,I外分AB线段;vA、vB反向时,I则内分AB线段。
确定速度瞬心位置的方法(4),某瞬时,如果vA=vB,如图(e)、(f)所示。
在这种情况下,瞬心在无穷远处,表明平面图形在此瞬时的角速度等于零。
图形上各点的速度相等的情况称为瞬时平移。
平面图形为瞬时平移时,此瞬时平面图形的角速度等于零,但角加速度不一定等于零,平面图形上各点的速度相等,但加速度并不相等,如果平面图形沿某固定面只滚动而不滑动(即纯滚动),如图示。
则图形与固定面的接触点就是瞬心I。
本结论可以直接使用。
(注),确定速度瞬心位置的方法(5),确定速度瞬心位置的方法,例8-1在图所示的曲柄连杆机构中,曲柄OA长r,连杆AB长l,曲柄以匀角速度转动,当OA与水平线的夹角=45时,OA正好与AB垂直,试求此瞬时AB杆的角速度。
解:
连杆AB在图示瞬时的速度瞬心为I,连杆在这瞬时的角速度为AB,1)已知两点的速度方向,就可以确定瞬心的位置,不需要知道速度大小。
这在很多问题中是非常方便的;2)已知瞬心位置和某一点的速度,用一个标量方程就可以求解刚体平面运动的角速度,无需进行投影。
3)已知瞬心位置和刚体平面运动的角速度,可以立刻得到刚体上任意一点的速度大小和方向,无需进行投影,也不必像基点法那样要通过矢量合成来确定速度方向。
讨论,4)速度瞬心法的优势在于求同一个刚体上多个点的速度。
5)由于速度瞬心法求出的速度方向是垂直于待求点到瞬心的连线。
如果需要用该点的速度进行后续计算,往往反而不如基点法方便;6)速度瞬心法求解的前提是确定速度瞬心的位置。
如果速度瞬心的位置不好确定,往往用基点法更简便。
在例8-1中,如果c点处连接有其他杆件,需要依靠c点的速度来求该杆件的运动,则使用基点法更方便。
例8-2汽车以速度v沿直线道路行驶,已知车轮的半径为r,车轮在路面上滚动而不滑动,如图示。
试求轮缘上M1、M2、M3、M4、M5各点的速度。
解:
车轮只滚不滑,所以车轮与地面的接触点I就是瞬心,轮心O的速度等于汽车行驶速度,例8-4四连杆机构如图示,已知曲柄OA长r,连杆AB长2r,摇杆O1B长。
在图示瞬时,四连杆机构中的点O、B和O1位于同一水平线上,而曲柄OA与水平线垂直。
如曲柄的角速度为O,求点B的速度。
例8-5图所示机构中,已知各杆长OA=20cm,AB=80cm,BD=60cm,O1D=40cm,角速度O=10rad/s。
求机构在图示位置时,杆BD的角速度、杆O1D的角速度及杆BD的中点M的速度,例8-5图所示机构中,已知各杆长OA=20cm,AB=80cm,BD=60cm,O1D=40cm,角速度O=10rad/s。
求机构在图示位置时,杆BD的角速度、杆O1D的角速度及杆BD的中点M的速度,解:
研究AB杆,求vB由速度投影定理知,由于BD杆上的D点和瞬心重合,则,第四节平面图形内各点的加速度,在图示瞬时,已知O点的加速度为aO,图形的角速度为、角加速度为。
取O点为基点,则图形上任一点M的牵连加速度为,M点的相对加速度是平面图形绕O转动时的加速度,根据牵连运动为平移的加速度合成定理,平面图形内任一点的加速度,平面图形内任一点的加速度,等于基点的加速度与绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和,例8-6(例8-1)在图所示的曲柄连杆机构中,曲柄OA长r,连杆AB长l,曲柄以匀角速度转动,当OA与水平线的夹角=45时,OA正好与AB垂直,试求此瞬时连杆AB的角加速度和滑块B的加速度,解:
以A为基点,B点的加速度,大小不知,X轴投影,AB方向投影,例8-7在例8-4中,如曲柄的角加速度,其它条件不变,试求B点的加速度。
已知曲柄OA长r,连杆AB长2r,摇杆O1B长。
在图示瞬时,四连杆机构中的点O、B和O1位于同一水平线上,而曲柄OA与水平线垂直。
如曲柄的角速度为O,,以A点为基点,轴:
负号表示的实际指向与假设相反,B点加速度的大小,aB与O1B杆的夹角为,是负值,表明B点的加速度aB应沿BO1杆的右上方,与BO1的夹角B=83.41,例8-8曲柄OA=r,以角速度绕定轴O转动。
连杆AB=2r,轮B半径为r,在地面上滚动而不滑动,如图示。
求曲柄在图示铅直位置时杆AB及轮B的角加速度。
速度部分,连杆AB作平面运动,此瞬时,vAvB,而AB不垂直于vA。
连杆AB作瞬时平移,其瞬心在无穷远处,AB=0,轮B作平面运动,轮与地面间无相对滑动,则接触点C为轮B的速度瞬心,求加速度,选A为基点,B点的加速度,:
AB杆在图示位置作瞬时平移,其角速度等于
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