高考数学理科一轮温习第7章立体几何第5讲课后作业.docx
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高考数学理科一轮温习第7章立体几何第5讲课后作业.docx
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高考数学理科一轮温习第7章立体几何第5讲课后作业
A组 基础关
1.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,那么以下四种位置关系中,不必然成立的是( )
A.AB∥mB.AC⊥m
C.AB∥βD.AC⊥β
答案 D
解析 如下图,AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β,只有D不必然成立,应选D.
2.如图,在正方形ABCD中,E,F别离是BC,CD的中点,G是EF的中点,此刻沿AE,AF及EF把那个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在那个空间图形中必有( )
A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFH
C.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF
答案 B
解析 依照折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变,∴AH⊥平面EFH,B正确;∵过A只有一条直线与平面EFH垂直,∴A不正确;∵AG⊥EF,EF⊥GH,AG∩GH=G,∴EF⊥平面HAG,又EF⊂平面AEF,∴平面HAG⊥AEF,过H作直线垂直于平面AEF,必然在平面HAG内,∴C不正确;已证平面HAG⊥平面AEF,假设证HG⊥平面AEF,只需证HG⊥AG,已证AH⊥HG,故HG⊥AG不成立,因此HG与平面AEF不垂直,∴D不正确.应选B.
3.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,那么以下结论正确的选项是( )
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
答案 D
解析 选项A,B,C显然错误.∵PA⊥平面ABC,∴∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角.∵ABCDEF是正六边形,∴AD=2AB.∵tan∠PDA=
=
=1,∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.应选D.
4.(2017·江西南昌摸底)如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么点D在平面ABC内的射影H必在( )
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
答案 A
解析 因为AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,因此AC⊥平面ABD,又AC⊂平面ABC,因此平面ABC⊥平面ABD,因此点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上.应选A.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,那么直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A.-
B.
C.-
D.
答案 B
解析 如图,延长BE与B1C1的延长线交于点F,
连接FD1,
因为E为C1C的中点,
四边形BCC1B1是正方形,
因此C1F=B1C1=BC,
因此∠C1D1F=∠C1D1B1=45°,
因此FD1⊥B1D1,易证FD1⊥平面BB1D1D.
因此∠BFD1是直线BE与平面B1BD所成的角.
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,那么
D1F=B1D1=
a.
BF=
=
a,
因此sin∠BFD1=
=
=
.
6.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,那么线段B1F的长为( )
A.
B.1
C.
D.2
答案 A
解析 设B1F=x,
因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,
因此AB1⊥DF.
由已知能够得A1B1=
,
矩形ABB1A1中,tan∠FDB1=
,
tan∠A1AB1=
=
.
又∠FDB1=∠A1AB1,因此
=
.
故B1F=
×
=
.应选A.
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F,G别离是线段DC,D1D和D1B上的动点,给出以下结论:
①关于任意给定的点E,存在点F,使得AF⊥A1E;
②关于任意给定的点F,存在点E,使得AF⊥A1E;
③关于任意给定的点G,存在点F,使得AF⊥B1G;
④关于任意给定的点F,存在点G,使得AF⊥B1G.
其中正确结论的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
答案 C
解析 因为DE⊥平面A1D,依照三垂线定理,关于任意给定的点E,A1E在平面A1D的射影为A1D,因此存在点F,使得AF⊥A1D,因此AF⊥A1E,①正确;若是关于任意给定的点F,存在点E,使得AF⊥A1E;那么AF⊥A1D,又AD1⊥A1D,取得过A有两条直线与A1D垂直,故②错误;只有AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影时,AF⊥B1G,因此当G位于D1B的上半部份时,在D1D上不存在F点,使AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影,③错误;对任意给定的点F,存在平面BCC1B1上的线段B1G′和AF垂直,且B1G′为B1G的投影,因此④正确,因此C正确.
8.如图,平面ABC⊥平面BDC,∠BAC=∠BDC=90°,且AB=AC=a,那么AD=________.
答案 a
解析 作BC中点E,连接AE,DE,那么在Rt△ABC中,
AB=AC=a,由勾股定理得
BC=2AE=
a,且有AE⊥BC,
又平面ABC⊥平面BDC,平面ABC∩平面BDC=BC且直线AE在平面ABC内,
∴由面面垂直的性质定理得AE⊥平面BCD,
∵DE⊂平面BCD内,∴AE⊥DE,
又在Rt△BCD中,点E是BC的中点,
∴DE=
=
a,
∴在Rt△ADE中,AE=
a,
由勾股定理得AD=
=a.
9.(2016·全国卷Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有以下四个命题:
①若是m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;
②若是m⊥α,n∥α,那么m⊥n;
③若是α∥β,m⊂α,那么m∥β;
④若是m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)
答案 ②③④
解析 关于①,由m⊥n,m⊥α可得n∥α或n在α内,当n∥β时,α与β可能相交,也可能平行,故①错误;关于②,过直线n作平面与平面α交于直线c,由n∥α可知n∥c,∵m⊥α,∴m⊥c,∴m⊥n,故②正确;关于③,由两个平面平行的性质可知正确;关于④,由线面所成角的概念和等角定理可知其正确,故正确的有②③④.
10.(2018·兰州实战考试)α,β是两平面,AB,CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,
CD⊥α于D,假设增加一个条件,就能够得出BD⊥EF.现有以下条件:
①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.
其中能成为增加条件的序号是________.
答案 ①③
解析 由题意得,AB∥CD,∴A,B,C,D四点共面.
①中,∵AC⊥β,EF⊂β,∴AC⊥EF,又∵AB⊥α,EF⊂α,∴AB⊥EF,∵AB∩AC=A,∴EF⊥平面ABCD,
又∵BD⊂平面ABCD,∴BD⊥EF,故正确;②不能取得BD⊥EF,故错误;③中,由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD⊥β,又AB⊥α,AB⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥α.∵平面ABCD⊥α,平面ABCD⊥β,α∩β=EF,∴EF⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,∴BD⊥EF,故正确;④中,由①知,假设BD⊥EF,那么EF⊥平面ABCD,那么EF⊥AC,故错误,故填①③.
B组 能力关
1.(2018·静海月考)如下图,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,那么动点C的轨迹是( )
A.一条线段B.一条直线
C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点
答案 D
解析 ∵平面PAC⊥平面PBC,而平面PAC∩平面PBC=PC.
又AC⊂平面PAC,且AC⊥PC,∴AC⊥平面PBC,
而BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC,∴点C在以AB为直径的圆上,
∴点C的轨迹是一个圆,可是要去掉A和B两点.应选D.
2.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值,那么下面的四个值中不为定值的是( )
A.点P到平面QEF的距离
B.三棱锥P-QEF的体积
C.直线PQ与平面PEF所成的角
D.二面角P-EF-Q的大小
答案 C
解析 A中,因为平面QEF也确实是平面A1B1CD,显然点P到平面A1B1CD的距离是定值,因此点P到平面QEF的距离为定值;B中,因为△QEF的面积是定值(EF为定长,点Q到EF的距离确实是点Q到CD的距离,也是定长,即底和高都是定值),再依照A的结论,即点P到平面QEF的距离也是定值,因此三棱锥P-QEF的高也是定值,于是其体积固定,因此三棱锥P-QEF的体积是定值;C中,因为Q是动点,PQ的长不固定,而Q到平面PEF的距离为定值,因此PQ与平面PEF所成的角不是定值;D中,因为A1B1∥CD,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上任意两点,因此二面角P-EF-Q的大小即为二面角P-CD-A1的大小,为定值.
3.(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,那么α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 依照彼此平行的直线与平面所成的角是相等的,因此在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1D1与线AA1,A1B1,A1D1所成的角是相等的,因此平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,同理平面C1BD也知足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的,要求截面面积最大,那么截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的,且过棱的中点的正六边形,边长为
,因此其面积为S=6×
×
2=
,应选A.
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=4,过A1作底面ABC
的垂线,垂足为BC的中点,D为B1C1的中点.
(1)证明:
A1D⊥平面A1BC;
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
解
(1)证明:
如图,设E为BC的中点,连接AE,DE,A1E.
由题意得A1E⊥平面ABC,因此A1E⊥AE.
因为AB=AC,因此AE⊥BC.因此AE⊥平面A1BC.
由D,E别离为B1C1,BC的中点,得DE∥BB1,且DE=BB1,从而DE∥AA1,且DE=AA1,
因此四边形AA1DE是平行四边形,因此A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC,因此A1D⊥平面A1BC.
(2)如图,作A1F⊥DE,垂足为F,连接BF.
因为A1E⊥平面ABC,因此BC⊥A1E.
因为BC⊥AE,AE∩A1E=E,
因此BC⊥平面AA1DE.因此BC⊥A1F.
又因为DE∩BC=E,因此A1F⊥平面BB1C1C.
因此∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角.
由AB=AC=2,∠CAB=90°,得EA=EB=
.
由A1E⊥平面ABC,得A1A=A1B=4,A1E=
.
由DE=BB1=4,DA1=EA=
,∠DA1E=90°,
得A1F=
.因此sin∠A1BF=
=
.
C组 素养关
1.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=BC=
AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置,取得四棱锥A1-BCDE.
(1)证明:
CD⊥平面A1OC;
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36
,求a的值.
解
(1)证明:
在图1中,连接EC(图略),
因为AB=BC=
AD=a,∠BAD=90°,AD∥BC,
E是AD的中点,
因此四边形ABCE为正方形,
因此BE⊥AC,
即在图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,
又A1O∩OC=O,从而BE⊥平面A1OC,
又CD∥BE,因此CD⊥平面A1OC.
(2)由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,
且平面A1BE∩平面BCDE=BE,
又由
(1)可知A1O⊥BE,
因此A1O⊥平面BCDE,
即A1O是四棱锥A1-BCDE的高,
由图1知,A1O=
AB=
a,
平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2,
从而四棱锥A1-BCDE的体积
V=
×S×A1O=
×a2×
a=
a3,
由
a3=36
,解得a=6.
2.如图,直角三角形ABC中,∠BAC=60°,点F在斜边AB上,且AB=4AF,D,E是平面ABC同一侧的两点,AD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,AD=3,AC=BE=4.
(1)求证:
平面CDF⊥平面CEF;
(2)点M在线段BC上,异面直线CF与EM所成角的余弦值为
,求CM的长.
解
(1)证明:
连接DE.∵AD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,
∴AD∥BE,即AD,BE在同一平面上,且AD⊥AB,BE⊥AB.
在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AC=4,
∴AB=8,BC=4
.
∵AB=4AF,∴AF=2,由余弦定理可得CF=2
.
∵AD=3,BE=4,∴DE=
=
.
在Rt△ADF中,DF=
=
.
在Rt△ACD中,DC=
=5.
在Rt△BEF中,EF=
=
=
.
∴DF2+CF2=DC2,DF2+EF2=DE2,
∴DF⊥CF,DF⊥EF.又CF∩EF=F,
∴DF⊥平面CEF.∵DF⊂平面CDF,
∴平面CDF⊥平面CEF.
(2)过点M在平面ABC中作MN∥CF交AB于点N,连接EN,那么∠EMN即为异面直线CF与EM所成的角或其补角.
设
=k(0 ∴EM= = , EN= = . 显然EM>EN,∴cos∠EMN>0. ∴cos∠EMN= = = , 解得k= . ∴CM=(1-k)BC= .
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