届高考数学一轮复习第四章三角函数层级快练26文.docx
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届高考数学一轮复习第四章三角函数层级快练26文
层级快练(二十六)
1.(2018·安徽马鞍山一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=( )
A. B.1
C.D.2
答案 B
解析 ∵a=,b=2,A=60°,∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得3=4+c2-2×2×c×,整理得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.
2.(2018·山西五校联考)在△ABC中,a=b,A=120°,则角B的大小为( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
答案 A
解析 由正弦定理=得=,解得sinB=.因为A=120°,所以B=30°.故选A.
3.(2018·陕西西安一中期中)在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是( )
A.(0,]B.[,π)
C.(0,]D.[,π)
答案 C
解析 ∵sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,由正弦定理,得a2≤b2+c2-bc,∴bc≤b2+c2-a2.∴cosA=≥,∴A≤.∵A>0,∴A的取值范围是(0,].故选C.
4.(2018·广东惠州三调)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,c=2,且C=,则△ABC的面积为( )
A.+1B.-1
C.4D.2
答案 A
解析 由正弦定理=,得sinB==.又c>b,且B∈(0,π),所以B=,所以A=,所以S=bcsinA=×2×2sin=×2××=+1.故选A.
5.(2018·东北八校联考)已知△ABC三边a,b,c上的高分别为,,1,则cosA=( )
A.B.-
C.-D.-
答案 C
解析 设△ABC的面积为S,则a=4S,B=2S,c=2S,因此cosA==-.故选C.
6.(2016·山东)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA).则A=( )
A.B.
C.D.
答案 C
解析 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA,所以2b2(1-sinA)=2b2(1-cosA),所以sinA=cosA,即tanA=1,又0 7.(2014·江西,文)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为( ) A.-B. C.1D. 答案 D 解析 由正弦定理可得=2()2-1=2()2-1,因为3a=2b,所以=,所以=2×()2-1=. 8.(2018·安徽合肥检测)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC.若a=,则b2+c2的取值范围是( ) A.(3,6]B.(3,5) C.(5,6]D.[5,6] 答案 C 解析 ∵(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,∴由正弦定理得(a-b)(a+b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,∴cosA===,∴A=,∴B+C=.又△ABC为锐角三角形, ∴解得 由正弦定理====2,得b=2sinB,c=2sinC, ∴b2+c2=4(sin2B+sin2C)=4[sin2B+sin2(-B)]=4-2cos(2B+).又 可得b2+c2∈(5,6].故选C. 9.在△ABC中,若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为________. 答案 或 解析 如图所示,由正弦定理,得sinC==.而c>b, ∴C=60°或C=120°. ∴A=90°或A=30°. ∴S△ABC=bcsinA=或. 10.(2018·河南信阳调研)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设S为△ABC的面积,S=(a2+b2-c2),则C的大小为________. 答案 解析 ∵△ABC的面积为S=absinC, ∴由S=(a2+b2-c2),得(a2+b2-c2)=absinC, 即absinC=(a2+b2-c2).根据余弦定理,得a2+b2-c2=2abcosC, ∴absinC=×2abcosC,得sinC=cosC,即tanC==. ∵C∈(0,π),∴C=. 11.(2017·甘肃定西统考)在△ABC中,若=,则△ABC的形状为________. 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 由正弦定理,得=,即=·.∵sinA>0,sinB>0,∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.∴2A=2kπ+2B或2A=2kπ+π-2B(k∈Z).∵0 故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 12.(2018·河北唐山一模)在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,且A-C=90°,则cosB=________. 答案 解析 ∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c. ∴2sinB=sinA+sinC. ∵A-C=90°,∴2sinB=sin(90°+C)+sinC. ∴2sinB=cosC+sinC. ∴2sinB=sin(C+45°).① ∵A+B+C=180°且A-C=90°,∴C=45°-,代入①式中,2sinB=sin(90°-). ∴2sinB=cos. ∴4sincos=cos. ∴sin=. ∴cosB=1-2sin2=1-=. 13.(2018·广东揭阳一模)在△ABC中,∠B=,AC=1,点D在边AB上,且DA=DC,BD=1,则∠DCA=________. 答案 或 解析 如图,过点C作CE⊥AB于E.设∠A=∠ACD=θ,则∠CDB=2θ.在Rt△AEC中,CE=sinθ,则在Rt△CED中,DE=-=-. 在Rt△CEB中,BE==sinθ.由BD=1,得+sinθ=1⇒sinθcos2θ+sinθsin2θ=sin2θ⇒cos2θ+sin2θ=2cosθ⇒cosθ=cos(2θ-)⇒2θ-=±θ⇒θ=或. 14.(2017·北京,理)在△ABC中,∠A=60°,c=a. (1)求sinC的值; (2)若a=7,求△ABC的面积. 答案 (1) (2)6 解析 (1)根据正弦定理: =⇒sinC==×sin60°=×=. (2)当a=7时,c=a=3 在△ABC中,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC =×+×=,∴S△ABC=ac×sinB=×7×3×=6. 15.(2018·河南豫南九校质量考评)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,且b=4. (1)求角B; (2)求△ABC面积的最大值. 答案 (1) (2)4 解析 (1)根据题意,由余弦定理得=,再由正弦定理得=,整理得sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC, ∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB. 即sin(B+C)=2sinAcosB,又sin(B+C)=sinA≠0, ∴cosB=.∵B∈(0,π),∴B=. (2)由b2=a2+c2-2accosB,得16=a2+c2-ac≥2ac-ac, ∴ac≤16,当且仅当a=c=4时取等号. 则△ABC的面积S=acsinB≤×16×sin=4,即△ABC面积的最大值为4. 16.(2017·课标全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cosB; (2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b. 答案 (1) (2)2 解析 (1)依题意,得sinB=8sin2=8·=4(1-cosB). ∵sin2B+cos2B=1,∴16(1-cosB)2+cos2B=1, ∴(17cosB-15)(cosB-1)=0,∴cosB=. (2)由 (1)可知sinB=. ∵S△ABC=2,∴ac·sinB=2, ∴ac·=2,∴ac=. ∵cosB=,∴=, ∴a2+c2-b2=15,∴(a+c)2-2ac-b2=15, ∴36-17-b2=15,∴b=2. 17.(2018·福建高中毕业班质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2bcosC-c=2a. (1)求B的大小; (2)若a=3,且AC边上的中线长为,求c的值. 答案 (1) (2)5 解析 (1)∵2bcosC-c=2a,∴由余弦定理得2b·-c=2a, 化简得a2+c2-b2=-ac,∴cosB==-. ∵B∈(0,π),∴B=. (2)由 (1)可得b2=a2+c2+ac=c2+3c+9.① 又cosC=,② 取AC的中点D,连接BD,在△CBD中,cosC==,③ 由②③得2c2-b2=1.④ 由①④得c2-3c-10=0,解得c=5或c=-2(舍去),∴c=5. 18.(2018·衡水中学调研卷)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC. (1)求角A的大小; (2)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长. 答案 (1) (2) 解析 (1)方法一: 由题设知,2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,因为sinB≠0,所以cosA=.
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- 高考 数学 一轮 复习 第四 三角函数 层级 26